“田忌赛马”中的实力对收益的影响

“田忌赛马”中的实力对收益的影响在我国古代，有一个运用计谋的非常有名的故事，讲的是齐威王怎样与大将田忌赛马，或者更准确地说是田忌的谋士孙膑，如何运用计谋帮助田忌以弱胜强的故事。从这个故事中我们可以引出一个很好的赌胜博弈问题。故事中说齐威王经常要大将田忌与他赛马，赛马的规则是这样的：每次双方各出三匹马，一对一比赛三场，每一场的输方要赔一千斤铜给赢方。齐威王的三匹马和田忌的三匹马按实力都可以分为上、中、下三等，但齐威王的上、中、下三匹马分别比田忌的上、中、下三匹马略胜一筹，因为总是同等次的马进行比赛，因此，田忌每次都是连输三场，连输三千斤铜。实际上，田忌的上马虽然不如齐威王的上马，却比齐威王的中马和下马都要好，而田忌的中马比齐威王的下马要好一些，因此，田忌每次都连输三场是有些冤枉的。后来田忌的谋士孙膑给田忌出了个主意，改变了这种局 面。孙膑让田忌不要用自己的上马去对抗齐威王的上马，而是用自己的下马去对抗齐威王的上马，上马则去对抗齐威王的中马，中马对抗齐威王的下马。这样，虽然第一场田忌必输无疑，但后两场却都能获胜，二胜一负，田忌反而能赢齐威王一千斤铜。这个著名的故事生动地告诉我们，巧用策略是多么重要，在实力、条件一定的情况下，对已方力量和有利条件的巧妙调度和运用，常常会起到意想不到的效果。但是，如果这个故事到这里结束，它还只是一个单方面运用策略的较为简单的问题。因为在赛马的齐威王和田忌两方面中，只有田忌一方意识到策略的重要性，在安排马的出场次序方面运用策略，而齐威王一方却没有作出相应的反应，没有同样运用策略与田忌的策略相对抗。实际上，一旦齐威王发觉田忌在使用计谋，明白了自己为什么输钱时，他必然也会改变自己三匹马出场的次序，以免再落入田忌的圈套，从而使齐威王和田忌之间的赛马，变成一个具有策略依存特性的决策较量，构成典型的博弈问题。 这时问题变成这样：齐威王和田忌双方都清楚各自马的实力，即齐威王的三匹马分别比田忌的三匹马略强一些和一旦改变出场次序，输赢的结果就可能会改变，也都明白输赢的关键，或主要关键之一是双方马的出场次序比较有利于哪一方。对齐威王来说，最理想的出场次序是各场比赛已方出场马的等级与田忌方出场马的等级相同，即不管出场的先后次序究竟如何，反正只要以自己的上马对田忌的上马，以自己的中马对田忌的中马，以自己的下马对田忌的下马，这样就肯定能连赢三场；次佳是三场中有一场是同等级的马比赛，或者自己的下马、上马和中马分别对上田忌的上马、中马和下马，这两种情况都能实现两胜一负，总体上齐威王还能赢一千斤铜；最坏的情况就是田忌最希望的那种情况，即齐威王的上、中、下马分别遇到田忌的下、上、中马，这样一胜二负，反而要输一千斤铜。因为齐威王的赢就是田忌的输，因此对齐威王最好的情况就是对田忌最坏的情况，而对齐威王最坏的情况是对田忌最好的情况，双方的愿望是格格不入的。这也意味着必须规定双方在决定各自每场比赛出场马的等级时，不能预先知道对方出场马的等级，并且一旦决定就谁也不准反悔，因为不这样就会造成双方都想等对方决定之后再决定，或见到对阵形势不利就想换马，比赛也就无法进行了。当然，也可以硬性规定必须相同等级的马进行比赛，也就是说总让齐威王赢。但这时就不再存在策略较量问题，不再是一个博弈问题了。这个引申出来的齐威王与田忌赛马表达成一个博弈问题如下：(1)该博弈中有两个博弈方，即齐威王和田忌；(2)两博弈方可选择的策略是已方马的出场次序，因为三匹马的排列次序共有3!=3× 2=6种，因此，双方各有6种可选择的策略(如图1.3)；(3)根据前面的讨论，知道双方在决策之前都不能预先知道对方的决策，因此，可以看做是同时选择策略的，决策没有先后次序关系；(4)如果把赢一千斤铜记成得益1，输一千斤铜记成得益-1，则两博弈方在双方各种策略的组合下的得益，如图1.3得益矩阵中数组的元素所示，每个数组表示两博弈方在对应行列代表的双方策略组合下各自的得益，其中前一个数字表示齐威王的得益，后一个数字表示田忌的得益。田忌上中下上下中中上下中下上下上中下中上收益合计齐威王上中下3，-31，-11，-11，-1-1，11，-16，-6上下中1，-13，-31，-11，-11，-1-1，16，-6中上下1，-1-1，13，-31，-11，-11，-16，-6中下上-1，11，-11，-13，-31，-11，-16，-6下上中1，-11，-11，-1-1，13，-31，-16，-6下中上1，-11，-1-1，11，-11，-13，-36，-6收益合计6，-66，-66，-66，-66，-66，-636，-36图1.3齐威王田忌赛马我们已经把齐威王和田忌两个博弈方的博弈关系表达清楚了。那么在这个博弈中齐威王和田忌会怎样选择自己的策略，最终的结果又应该是什么呢?为了回答这些问题，我们首先来考察一下这个博弈有什么特点。首先，在本博弈中，各博弈方千万不能让对方知道或猜中自己的策略，因为一旦自己的策略被对方猜中，则对方就可以针对性地选择策略，从而己方必输无疑。这也意味着任何一方的策略选择不能一成不变，甚至变动还不能有规律性，即必须以随机的方式选择策略。 其次，无论对齐威王还是田忌，六种可选择的策略本身相互之间并没有优劣之分。如对齐威王来说，每一种策略都可能有六种不同的结果，包括一种得益为3、四种得益为1、一种得益为-1，究竟最终得哪种结果，主要看对方策略与己方策略的对应情况，而不是己方的策略本身。同样的，对田忌来讲六种策略本身也无好坏之分，不过是每种策略的六个结果中只有一种得1，其余四种得-1，一种得-3。因此，两博弈方在决策时对己方的可选策略并无偏爱，应以相同的概率选用。实际上，偏爱某种特定策略的结果往往只是不利于自己，因为一旦对方得知你的偏爱就可以作针对性的选择，从而会有较多的机会赢你。对此下一章将有进一步的说明。根据以上讨论，实际上我们已经可以看出，这种博弈如果只进行一次，双方的策略选择和最终的博弈结果是无法确定的，输赢主要取决于机会和运气。当然，由于齐威王三匹马的总体实力强于田忌的马，因此，他仍然占有优势，赢的机会(赢三千斤铜或一千斤铜)比田忌要大得多。但如果这样的博弈进行不止一次，而是许多次，则上面的讨论给我们指出了各博弈方决策的原则，而且进一步的讨论还能告诉我们多次博弈以后的平均结果。第一种情形：王上田上王中田中王下田下 即齐威王的上等马优于中等马，中等马优于下等马，并优于田忌同等层次的马。假定比赛共36次（个回合），每个回合一对一地比3场。现在的问题是：在此等实力对比的情形下，齐威王与田忌赛马后的结果如何？各自赢得了多少？田忌上中下上下中中上下中下上下上中下中上收益合计齐威王上中下3，-31，-11，-11，-1-1，11，-16，-6上下中1，-13，-31，-11，-11，-1-1，16，-6中上下1，-1-1，13，-31，-11，-11，-16，-6中下上-1，11，-11，-13，-31，-11，-16，-6下上中1，-11，-11，-1-1，13，-31，-16，-6下中上1，-11，-1-1，11，-11，-13，-36，-6收益合计6，-66，-66，-66，-66，-66，-636，-36在36个回合中，齐威王赢30回合，田忌只赢6个回合。齐威王毛收益42（），损失6，净收益36田忌毛收益6（），损失42，净收益-36齐威王毛收益与田忌毛收益的比例是7:1齐威王获益的可能性7/8，田忌为1/8第二种情形：王上田上王中田中王下=田下 这种情形与第一种的唯一区别是：下等马由原来的不同变为相同的。若同等马比赛各得0。田忌上中下上下中中上下中下上下上中下中上收益合计齐威王上中下2，-21，-10，01，-1-1，11，-14，-4上下中1，-12，-21，-10，01，-1-1，14，-4中上下0，0-1，12，-21，-11，-11，-14，-4中下上-1，10，01，-12，-21，-11，-14，-4下上中1，-11，-11，-1-1，12，-20，04，-4下中上1，-11，-1-1，11，-10，02，-24，-4收益合计4，-44，-44，-44，-44，-44，-424，-24在36个回合中，齐威王赢30回合，田忌只赢6个回合。齐威王毛收益30（），损失6，净收益24田忌毛收益6（），损失30，净收益-24齐威王毛收益与田忌毛收益的比例是5:1齐威王获益的可能性5/6，田忌为1/6 第三种情形：王上田上王中=田中王下=田下这种情形与第二种的唯一区别是：中等马也相同。田忌上中下上下中中上下中下上下上中下中上收益合计齐威王上中下1，-11，-10，01，-1-1，11，-12，-2上下中1，-11，-11，-10，01，-1-1，12，-2中上下0，0-1，11，-11，-11，-11，-12，-2中下上-1，10，01，-11，-11，-11，-12，-2下上中1，-10，01，-1-1，11，-10，02，-2下中上0，01，-1-1，11，-10，01，-12，-2收益合计2，-22，-22，-22，-22，-22，-212，-12在36个回合中，齐威王赢30回合，田忌只赢6个回合。齐威王毛收益18（），损失6，净收益12田忌毛收益6（），损失18，净收益-12齐威王毛收益与田忌毛收益的比例是3:1齐威王获益的可能性3/4，田忌为1/4 第四种情形：王上=田上王中=田中王下=田下这种情形与第二种的唯一区别是：两人各等级的马均相同。田忌上中下上下中中上下中下上下上中下中上收益合计齐威王上中下0，00，00，01，-1-1，10，00，0上下中0，00，01，-10，00，0-1，10，0中上下0，0-1，10，00，00，01，-10，0中下上-1，10，00，00，01，-10，00，0下上中1，-10，00，0-1，10，00，00，0下中上0，01，-1-1，10，00，00，00，0收益合计0，00，00，00，00，00，00，0在36个回合中，齐威王赢30回合，田忌只赢6个回合。齐威王毛收益6（），损失6，净收益0田忌毛收益6（），损失6，净收益0齐威王毛收益与田忌毛收益的比例是1:1齐威王获益的可能性1/2，田忌为1/2