数学建模跳水问题

.WORD完美.格式编辑..技术资料.专业整理. .WORD完美.格式编辑.目录摘要11、问题重述21.1问题背景21.2问题提出22、问题分析23、问题假设34、符号说明35、模型建立于求解35.1问题一模型建立与求解35.1.1跳水运动员入水前下落模型45.1.2碰撞过程分析55.1.3完全进入水中直到速度为0的过程55.2问题二模型建立与求解66、模型评价与改进76.1模型评价与检验76.1.1模型检验：76.1.2模型评价：76.2模型的改进：77、参考文献8附录8.技术资料.专业整理. .WORD完美.格式编辑.悬崖跳水的水池深度摘要本文主要以跳台高度：男子28米，女子20米作为讨论对象，通过建立微分方程模型，将人体看成为一个长方体模型，用matlab软件求解出了为保证运动运的跳水安全，水池深度需要满足的条件以及对于轻重不同的运动员哪种需要更深的水。问题一，采用高等物理动力学以及流体力学知识，将跳水问题分为3个过程——空气中运动过程、与水的碰撞过程、完全进入水中的过程。在空气中运动过程中，通过牛顿第二定律，得出微分方程，从而建立微分方程模型，利用matlab软件求解微分方程模型可以得出悬崖高度s关于时间t的函数关系如下所示：速度v关于时间t的函数关系：其中m表示人体质量，g表示重力加速度。由于本文主要根据福建连城的冠豸山举办的悬崖跳水环境考虑，g这里取9.790，k表示空气中人体所受阻力的系数：CρS(C是空气阻力系数，ρ是空气密度，S为人体迎风面积)。通过关系式，得出了空中运动过程中速度刚要碰到水的速度v0。然后，在与水碰撞过程中，利用流体力学的有关基础知识，从能量角度分析，人水系统总能量守恒，列出方程：解出入水时的速度v1。最后，在水中运动时，利用微分方程模型，与第一过程相同的方法思路，解出了当人体速度到达安全速度3.5m/s时，所到达的水池深度h，即安全深度h。最终得出在男子28米跳台中，水池所需至少10.409米，女子20米至少为7.859米。问题二在问题一的基础上，推导各个跳台的不同体重所需的不同水池深度。将质量m代入所列出的方程和微分方程中，分别选取质量为60.027、63.665和77.04，得出所需水池深度分别为10.5170米、10.409米和10.2369米。从结果可看出，不同质量的运动员所需水池深度并没有较大的区别，由此得出质量与水池深度没有存在必然联系。在男子跳台中，可以将水池深度至少设为11m。但从数字微小的差别可看出，质量较小的运动员所需水池深度相对比质量大的更深。关键词：悬崖跳水matlab软件微分方程模型水池安全深度流体力学.技术资料.专业整理. .WORD完美.格式编辑.1、问题重述1.1问题背景近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。悬崖跳水是一种十分惊险的跳水运动。运动员从很高的悬崖上或特制的超高跳台上起跳并完成空中动作后入水。在美国，有一种高空特技跳水比赛，特制的钢架跳台高48米，台面宽约70厘米。运动员自由选择比赛动作，由裁判员评分，得分多者为优胜。在墨西哥，有一种传统的悬崖跳水比赛，悬崖高达60米，下面是大海。运动员所跳动作与美国48米高空跳水相似。悬崖跳水是一项极限运动，在空中“飞行”的时间只有几秒钟，期间要表演一系列的扭腰和转身动作。当抵达水面时，速度将至少高达每小时60英里。当落进水池时，必须确保自己的双脚先“着陆”，并且身体还必须保持绝对紧张和笔直的状态。由于悬崖跳水危险性较大，容易出现伤害事故，所以在世界上开展得不很普遍。1.2问题提出悬崖跳水是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，比赛规定男子跳台高度为23至28米，女子为18至23米。我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。请大家做两件事:1.跳台下面的水池要多深才能安全，请给以计算和说明。2.分析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。2、问题分析对于问题一，可以采用高等物理动力学分析的一般方法，通过对跳水时人体合理化的等效（将人体模型等效为长方体），建立微分方程模型。若要求解安全水深，则需要计算出从人体完全进入水中到人体在水中速度为零时，此段运动距离，再加上人体的高度则为所需跳水水深的最小长度。然而我们必须联系跳水阶段的不同过程，才能得到最终的结果。首先，当人未落入水前时，考虑运用动力学基本定律，找出落水前速度与位移分别与时间的函数关系。当与水碰撞时，分析人体运动基本规律，运用动量守恒和能量守恒定理，同时，考虑流体力学，利用matlab求解出碰撞后人的速度。当在水下运动时，同样根据牛顿第二定律得出深度与速度的关系，进而求解出所需的水深。对于问题二，题目要求两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。基于对问题一的模型求解，经过仔细分析，将两位不同身高的男子作为已知量，那么人体质量则不是假定得来的，而是根据质量-密度(m=ρV)公式求解得出，这里人体密度可以通过查找资料得出，那么此题同样可以建立微分方程模型，利用流体力学基础知识，从而得出不同的水深。3、问题假设1、人体模型为长方体，底面积S男生为350平方厘米，女生为300平方厘米，男生为170厘米，女生为160厘米。且人体质量分布均匀；2、跳水当天天气适宜，没有风雨雪等外在因素的影响；3、忽略水的湍流效应；4、人体进入水面前，速度垂直向下，水平方向速度为0，水面保持静止；.技术资料.专业整理. .WORD完美.格式编辑.5、人体进入水中速度到达速度3.5m/s时，为绝对安全，此段水的深度为跳水所需水深的最小值；6、运动员起跳速度为0。4、符号说明序号符号说明1m人体平均质量；2s悬崖高度；3t人从悬崖跳下到刚要接触水面的时间；4k空气中人体所受阻力的系数(k=CρS)；5v0人刚要接触水面的速度；6v1人与水碰撞后完全进入水中的速度；7v2与人碰撞后水的速度；8S人体迎风面积；9ρ水水的标准密度；10T人与水碰撞的时间；11V人体体积；12k’水中人体所受阻力系数。13a加速度；14h水深注：以上符号在模型建立中全为全局符号，在后面的具体分析中可能会引入局部符号5、模型建立于求解5.1问题一模型建立与求解针对问题一的考虑，将整个跳水过程分为3个过程分别为：空气中运动过程、与水的碰撞过程、完全进入水中的过程。空中运动过程与完全进入水中的过程是两个类似的过程，通过查找资料可得阻力系数方程式为：CρS=k，而阻力与速度的关系是通过速度的大小而确定的。在高速运动过程中，f=kv2；但在低速运动中，f=kv。第一过程中，人体运动速度可以看成为高速运动；进入水后，人体瞬间减速，速度小于10m/s，则把这个过程中的运动看成为低速运动。在过程二人与水的碰撞过程中，则通过分析人体运动过程，运用动量守恒和能量守恒定理，求解出人完全进入水中的速度。5.1.1跳水运动员入水前下落模型.技术资料.专业整理. .WORD完美.格式编辑.Gf1图一：人体在空气中运动过程此图为空中受力分析图，人受到重力和空气阻力，加速度垂直向下。首先由人体的运动规律可得，人受到重力、空气阻力的作用，根据牛顿运动学第二定律得出人体受到的合力F满足：F=G-f1(1)由文献四可知当物体为高速运动时，所受的空气阻力与运动速度的平方成正比例关系。这里空气阻力公式f1=CρSv2式中：C为空气阻力系数（这里取值为0.15）；ρ为空气密度（本本论文中取空气密度为福建省常温下的空气密度）；S物体迎风面积（本论文中为两脚底板面积）；为物体在空气的运动速度。由上式可知，正常情况下空气阻力的大小与空气阻力系数及迎风面积成正比，与速度平方成正比。又因为F=ma==,G=mg可得到人体的位移和速度满足下面的微分方程：=mg-k(2)=mg-kv2(3)由matlab求解出位移s与时间t的函数关系式：(4)同时，也得出速度v与时间t的函数关系式为：(5)将所知的数值带入公式(4)(5)中，最后得到从男子28米跳台跳出，到达水面的速度v0=23.382m/s，从女子20米跳台跳出，到达水面的速度v0=19.763m/s。5.1.2碰撞过程分析.技术资料.专业整理. .WORD完美.格式编辑.Gf浮图二：人体与水瞬间碰撞时受力分析图由人水系统能量守恒、动量守恒及流体力学相关知识可得E0=E1(E0代表碰撞前人的能量，E1代表碰撞过程中人和水系统的能量包括人的动能，浮力和阻力所做的功)。水的速度为v2，则在T时间内，水的质量m可表示为：ρ水Sv2T；而在人完全进入水中后，相当于水排出的体积等于人的体积，即v2TS=V。根据以上，列出方程化简可得(6)(7)(8)联立以上三式，利用matlab求解三元方程组，v1(m/s)v2(m/s)T男子2.315822.69590.7340女子1.9371218.99150.8260表一可得从28米跳台跳出的运动员完全进入水中后的速度v1=2.3158m/s；从20米跳台跳出的运动员完全进入水中后的速度v1=1.93712m/s。5.1.3完全进入水中直到速度为3.5m/s的过程根据物体在水中受力情况进行分析.技术资料.专业整理. .WORD完美.格式编辑.Gf2f图三：水中受力分析图同理，从人在水中的运动规律，由于人在运动过程中受到本身的重力以及水的浮力f2和水的阻力f的作用，根据牛顿运动定律得到人体受到的合力F满足F=G-f2-f(9)由于在人体完全进入水中后，速度小于10m/s(由文献四得知，速度小于10m/s定义为低速运动)，所以可以得出在水中的阻力公式f2=CρSv2，又因为F=ma==,G=mg可得到人体的位移和速度满足下面的微分方程：=mg-gρV-k(10)=mg-gρV-kv2(11)在确定流体阻力系数k方面，选择运用k=CρS公式，C流体阻力系数定为0.15，ρ为常温下的水的密度，S为人体迎水的面积。最后算出，男子k=5.25女子k=4.5。而在安全速度设定方面，由于人体在水中速度不可能完全为0，通过资料得知，当速度到达3.5m/s时，人体可以自行控制，从而达到安全。所以水池深度最小值在速度为3.5m/s时取得。根据上式两方程，以及本文中设定的数据利用matlab求解得出28米跳台h’=8.7090m，20米跳台h’=6.2597m由于这是从运动员完全入水后时得出的h’,所以最后水深的总深度需要加上人的身体长度。进而算出在28米跳台跳出的水池应该至少为h=10.5m；而从20米跳台跳出的水池应该至少需要h=8m，才能达到安全。5.2问题二求解关于问题二，对不同质量的人体，求解其所需水池深度，建立模型方法类似问题一中，只需要将人体高度作为已知量，根据质量-密度(m=ρV)公式求解得出人体质量，这里我们以选取男子28米跳台为例，求解出不同质量所需的水深。从而推广至所有高度的跳台，在对于不同质量的运动员，其所需水池深度的安全解。首先，对于体重的选取，我们定义人体身高为165和180cm.技术资料.专业整理. .WORD完美.格式编辑.的不同运动员，那么，运动员的质量则根据质量-密度公式：m=ρV(12)公式中ρ为男子身体的平均密度据专业文献查找可知为1.07*103kg/cm3，V为人体的理想化模型的体积(在本文中我们看作是长方体模型)，则可求出人体质量分别为60.027kg和77.04kg。其次，再根据微分方程模型，将已知数据带入公式(4)(5)(6)(7)(8)(10)(11)，即求解出本题中不同水深分别为：10.5170m和10.2369m。从得出的数据与问题一中选取63.665kg的结果可看出，在质量相差很大的运动员中，对水池深度的要求差异并不大，只是在小数点中有一定的变化。所以，在对于不同质量的运动员分析中，不同跳台所需的安全水池深度不需要有较大的变化，也可以说质量与水池深度并没有必然的联系。从本例来看，可以至少取11m，这样就不会因运动员体重的不同而调节不同的水池深度。但从求解出的水池深度也可以看出，虽然得出的数字差距不是很大，但也可说明质量越小的，所需水池安全深度相对来说要多些。6、模型评价与改进6.1模型评价与检验6.1.1模型检验：本论文通过设定的一系列方法，计算出了从不同高度跳出的水池所需深度。为判断本模型是否具有一定的实际运用价值，我们计算了10米跳台所需的水池深度，将计算结果和现实生活中的跳水比赛规定比较，计算值与实际值相差了1m左右，比较接近实际，所以具有一定的实际运用和参考价值。6.1.2模型评价：优点：(1)本模型基于物理学原理将跳水的运动过程分成了3个过程进行考虑，具有一定的科学参考价值，同时，通过建立成微分方程模型，运用matlab软件求解，简单直观，便于得出变量之间的关系；(2)本模型在取值方面并没有单单的选取通量，而是通+过对福建连城的冠豸山的地理位置和环境因素全方位考虑，例如在取重力加速度g时，本论文取的是g=9.79m/s2;(3)通过模型检验，计算值与实际值相差不大，具有一定的实际运用价值。(4)在安全速度方面，本模型并没有一味的取速度为0，而是取了个安全速度3.5m/s，比较合理。缺点：(1)模型建立中，将人体看成长方体，比较理想化，与实际存在一定差距，从而使计算中存在误差，也可能是模型算出的水池深度与实际中有差距的主要原因；(2)模型中忽略了运动员在空中所做的具体跳水动作，则可能导致在计算空中的空气阻力与实际有较大的偏差，同时，在求解到水面速度及时间上存在一定的误差；(3)本文忽略了运动员起跳速度，在计算第一过程时速度存在一定的误差;(4)在人完全进入水中后，所受的水流阻力并没有通过专业公式计算得出，而是在查找资料的帮助下自定义了一个。6.2模型的改进：本模型在基于物理学基础上建立，在该模型中，本文是选取了以长方形代替人体模型。但在现实中，跳水运动员身型基本处于倒三角状，若采用楔形模型求解，想必与现实中更为接近，参考价值更为大些；同时，应考虑运动员起跳速度，可结合数学相关知识与物理学基础建立出更为科学合理地模型，以致计算出的水池深度更安全；也可以在设定安全速度方面，选取更具有权威性的研究报告，得到更准确的结果。.技术资料.专业整理. .WORD完美.格式编辑.7、参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊．《数学建模》．高等教育出版社，2003【2】韩中庚．《数学建模方法及其应用》．解放军信息工程大学第二版2009【3】龚纯王正林．《MATLAB语言常用算法程序集》．电子工业出版社2008【4】罗固源，梁智权．《流体力学》．重庆大学出版社，2002【5】王高雄，周之铭．《常微分方程》．高等教育出版社，2000【6】百度文库：www.wenku.baidu.com【7】中国期刊网：http://www.cnki.net/【8】严敏．《工程流体力学》．重庆大学出版社，2007.技术资料.专业整理. .WORD完美.格式编辑..技术资料.专业整理.