悬崖跳水模型

悬崖跳水模型摘要本文主要是对悬崖跳水运动做分析和计算，建立相关的物理模型，来解决这项跳水运动待解决的问题。首先，建立一个固流撞击模型，来计算人体下落时与水面瞬间接触时水面对人体的撞击力的大小。在假设固流撞击没有能量的损耗下，根据经典物体模型可以求解得到人体落水的一瞬间的水面对人体的作用力最小为男子为7946.9N；女子为5765.1N。然而人头部受900N就会受到很大的创伤，如严重的脑震荡等，因此基于此悬崖跳水运动员应该是脚朝下比较安全。根据跳水的三个阶段，空中降落，不完全入水及完全入水三个过程进行分析，在是否考虑摩擦力的情况下，建立模型Ⅱ、Ⅲ，来计算求男、女两种跳台的情况水池深度应该如何设置，在假设固流撞击能量的损耗最大的情况下，计算水池深度最小的值，经过运用Matlab编程可以得到如下表的值：性别无空阻力/m有气阻力/m男子16.119515.9424女子13.812813.7991最后建立模型Ⅳ将人体质量不同的情况下，计算设置水池深度的最小值，根据分析模型Ⅲ的三个阶段的过程，可以从化简后的式子看到，质量只是一个中间变量，但并不影响最终的结果。因此可以知道两个质量不同的人从同一跳台起跳所要求水池的最低深度是相同的。关键词：悬崖跳水水池深度固流撞击Matlab 目录_Toc3310521341.问题重述41.1问题背景41.2悬崖跳水的危险性41.3问题提出42.问题分析42.1固流碰撞分析42.2水池深度设置分析52.3重力变化的影响分析53.模型假设54.符号定义与说明65.模型的建立与求解65.1建立模型Ⅰ65.1.1模型Ⅰ假设65.1.2建模Ⅰ准备75.1.3模型Ⅰ的建立85.1.4模型Ⅰ求解95.2水池深度设置105.2.1模型准备105.2.2建立模型Ⅱ115.2.3建立模型Ⅲ125.3建立模型Ⅳ135.3.1模型假设135.3.2模型Ⅳ建立135.4灵敏度分析145.4.1阻力系数分析145.4.2跳台高度分析146.模型的评价156.1模型的优点156.2模型的缺点157.模型的推广158.参考文献15附录16附录1.16附录2.16附录3.17 1.问题重述1.1问题背景悬崖跳水是一种惊险刺激的体育运动项目，通行的比赛规则要求，男子起跳高度为23至28米，女子起跳高度为18至23米，运动员入水速度约为每小時78至100公里。运动员在空中完成比赛的规定动作或自选动作约需3秒钟左右。国际高空跳水是近年来刚兴起的体育运动项目，第一届世界高空跳水比賽于1997年在瑞士举办，至今已举办4届。在美国，有一种高空特技跳水比赛，特制的钢架跳台高48米，台面宽约70厘米。运动员自由选择比赛动作，由裁判员评分，得分多者为优胜。1.2悬崖跳水的危险性高空跳水是一项极限运动，在空中“飞行”的时间只有几秒钟，期间要表演一系列的扭腰和转身动作。当抵达水面时，速度将至少高达每小时60英里。当落进水池时，必须确保自己的双脚先“着陆”，并且身体还必须保持绝对紧张和笔直的状态。巨大的冲击力几乎就和落在水泥地上相似，稍有不慎，跳水者就可能会头骨碎裂，命丧当场。在地球的引力下有一个重力加速度，高度越高，到达水面时的速度越大，与水面撞击的作用力就越大，人或者物体受到的力也就越大，这样人体就承受不住那样大的力而受到破坏。当然，还要看人和水面的接触面积，接触面积越大，比如是水平拍上去了，受的力就大；栽进去的话，受的总作用力就小。1.3问题提出我国福建连城的冠豸山就举行过悬崖跳水比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。根据这些条件，解决下面三个问题:（1）计算、分析并回答，悬崖跳水选手是脚先入水，还是头先入水;（2）跳台下面的水池，水要多深才能安全，请大家分两种情况给以计算：1）在悬崖到水面之间，不考虑空气阻力；2）在悬崖到水面之间，考虑空气阻力；（3）分别就上述两种情，两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。2.问题分析本文主要的问题是分析、计算人从跳台上跳下来时水对人体的作用力大小、从两种不同高度的跳台跳下来时，所需的水深的深度至少是多少才能保证人的安全及人体体重对水深的要求三大问题，基于此，问题分析主要从三个大方面来叙述。2.1固流碰撞分析通过对人体的运动过程进行解剖，人体下落时与水面发生的碰撞过程，再通过经典力学的公式建立撞击力模型。 人体从高空跳下来，经过一段高度，人体的运动速度从零开始加速，到达水面时具有一定的速度。在人体接触水面的一瞬间，与水面发生了撞击，人体的运动速度发生了变化，这个变化所经历的时间是非常短暂的。经过对人体下落过程的分析，根据经典力学公式，可以得到一个数学模型来计算在与水面撞击时给人力的瞬间撞击力，根据这个力的大小分析对人脑和脚的作用分别产生的影响来决定跳水人员该是脚朝下还是头朝下更好。2.2水池深度设置分析对于水池深度至少是多少才能保证跳水人的安全问题。对其分析主要是三个阶段，第一个阶段是在空中降落的过程，第二个阶段是未完全入水过程，第三个阶段是完全入水的过程。而在这部分问题分析时，主要是对第一个阶段进行细分假设是否受空气阻力的问题。（1）假设人体在空中运动不受空气阻力影响假设人体在未入水前是不受空气中阻力影响，只在重力的作用下运动的过程，然后再对人体入水进行受力分析，在进入水里以后，人体是一个先做加速度运动，知道人的运动速度达到最大再做减速运动的一个过程。经过对这个过程的详细分析，可以计算得到最后人体减速为零时在水池中下落最低的距离，只要确保水池的深度大于这个数值就可以在水深的问题达到最低的要求。（2）人体在空中运行受空气阻力影响人体在空中降落时是受空气阻力影响的，这是一个真实的前提条件。在这个条件下，对人体在空中运动主要受两个力，即一个空气阻力和另一个人体本身的重力。经过在空中降落的一个过程中，人体在入水前一瞬间有一个速度，再和水平面发生撞击速度瞬间发生变化，然后再对人体入水进行受力分析，分析过程如上述的过程，只是在进入水中的初速度不同而已，计算在此前提条件下对水深的要求。2.3重力变化的影响分析本小节主要是分析计算当跳水运动人的体重变化对水池深度的要求是否影响。根据现实问题，可以用人体在空中运动时受空气阻力影响的模型对人重力变化进行计算，两种不同的跳台，性别不同的跳水运动员的体重变化下，对水池水深最低要求进行计算，然后对这两组数据进行比较，最后得到跳水运动员的体重是否影响水池水深最低设置。根据上述的结论来判断两个不同体重的运动跳水，哪个运动员更需要更深的水。3.模型假设（1）假设跳水运动员体型视为分布均匀的圆柱体；（2）假设水池底部无异常突出石块；（3）假设水池中的水是静止不动的；（4）假设跳水运动员入水后没有对水施加外力；（5）假设空气与水的阻力都与速度的n次方成正相关；（6）假设人体起跳后在跳板上跳起的高度是l；（7）假设人到水底速度为零才安全。 4.符号定义与说明序号符号符号说明1h表示跳水运动员的身高；2vi表示各个阶段运动员的运行速度；3mi表示为运动员的质量，i=1表示男生，i=2表示女生；4g表示为重力加速度；5F表示为撞击瞬间水对人的作用力；6s表示运动员在入水后下落的位移；7li表示跳板离水面的距离i=1表示28m，i=2表示20m；8m水表示人体排除水的质量；9H表示运动员在水中的位移。5.模型的建立与求解根据题目，本节主要解决三个问题，第一个问题是计算人体在刚接触水面与其发生撞击时，水作用到人体与水的接触面的力是多大，根据这个力的大小来解决跳水运动员应该是头朝下还是脚朝下更安全；第二个问题是在不考虑空气阻力与空气阻力两种不同的情况下计算两种不同的跳板起跳，水池应该至少多深的水才能保证男、女运动员的安全；第三个问题是不同体重的跳水运动员是否要求水池的最低水深不同。根据这三个问题分别建立模型，来解决这些问题。本节主要内容是四部分，即：l建立模型Ⅰ，计算撞击力的大小；l建立模型Ⅱ、Ⅲ，计算两种情况下，水池的水深的最低要求是多少；l建立模型Ⅳ，来计算运动员体重是否影响水池水深的最低要求；l对模型进行灵敏度分析。5.1模型Ⅰ建立5.1.1模型Ⅰ假设本部分主要是分析的是人体从跳板起跳到刚接触水面的一个过程，根据假设条件，运动员是视为一个质量均匀分布的圆柱体。身高h直径2R跳台图1.运动员假设的形象图 从图1.中可以看到运动员的宽度被假设为2R，根据质量、体积与密度的关系可以得到下面的式子：（1）（2）根据式子（1）、（2）可以转换得到半径R的公式（3）：（3）根据式子（3）可以计算到运动员下落与水面接触面积S，面积的公式为式子（4）：（4）其中式子中的m为运动员的质量，ρ人为人体的密度，v人为运动员的总体积，h为运动员的身高。假设跳水比赛的天气是温度适合、无风的天气。假设在碰撞过程中，能量没有损耗，圆柱体损失的能量全部转移到排开水的质量上。5.1.2建模Ⅰ分析运动员从起跳到入水前一瞬间的受力主要来自重力和空气中的阻力两个力，在空中降落时可以将运动员看作质点，所以该质点受两个力，一个垂直向上的阻力和一个垂直向下的重力。重力阻力图2.受力分析当跳水运动员在空中运动一段时间，经过一个变加速的垂直下落的运动，当运动员到达水面未接触时，有一定的速度v，根据经典物理学中牛顿第二定律建立该状态方程，可得连续型模型，此过程用数学式子表示为：（5）（6）经查阅资料可以知道空气对人体的阻力f空阻为： （7）其中，式子（5）、（6）、（7）中，m表示人的质量，g表示重力加速度，s表示人在空中下落的位移，ρ气为空气的密度，Cd为阻力系数，S人等效为圆柱底面积。经整理可以得到：（8）然后该运动员到达水面时速度为v1，然后以此速度与水面进行接触，发生撞击。人身高h直径2R水面图3.碰撞前的状态假设人在进入水里时，是垂直进入的，跳水运动员身体没有发生弯曲，如图3.所示的状态一样。发生碰撞时，根据物理中的动量守恒与能量守恒的两个定律可以得到下面一系列的连续性模型，运用数学表达式可以表示如下：（9）其中，m表示人的质量，m水表示人进入水里排开水的质量，v1表示人刚要进入水中前瞬间的速度，v2表示与水面接触后的速度。由于人体与水面进行碰撞会有能量损耗，但为了较快的求出撞击力最小是多少，因此在此模型上，假设能量是没有发生损耗，遵守能量守恒和动力守恒，这样算出的速度变化是最小的，所以撞击力对人体也是最小的。根据能量守恒可以列出下列物理公式：（10）5.1.3模型Ⅰ的建立根据上述模型准备的过程可以计算到人体在未接触水面的一瞬间速度v1和与水面接触的一瞬间的速度v2，由于动量的变化等于作用在此动量变化的物体的力与作用时间的乘积。这个公式，可以算到当时间小到接近作用时间的时候，就可以算出作用力的大小，根据这个力的大小来判断人头部是否能承受，（11） 其中，m是跳水运动员的质量，v1是入水前一瞬间的速度，v2是入水瞬间的速度，F是水对人体与水面接触面的作用力，t瞬间是v1变为v2的时间间隔。将式子（11）变形转换就为：（12）通过式子（11）可以得到作用力F的大小，再与头部所受力的最小值进行比较，如果作用力F大于头部所受力的最小值，则应该是脚朝下；如果是小于，则可以脚朝下，也可以头朝下。5.1.4模型Ⅰ求解根据中国跳水运动员的平均身高体重，在模型Ⅰ中，男生体重为取值为65kg身高为1.7m，女生体重选取55kg身高选取1.6m，作为此模型中的取值。空气的密度ρ气为1.24kg/m3，人体的密度可以为1008.4kg/m3,水的密度相同为1000kg/m3。表1.运动员情况性别体重平均身高底面积跳台高度男生651.70.03828女生551.60.03420表2.资料给定数据空、水阻力系数水密度人体密度0.4210001000其中，表1.、表2.中的数据都是国际标准单位。将表格中的数据代入上述（1）、（2）、…、（8），可以算到v1的值为：男子到达的速度为23.3753，女子到达的19.7668。在式子（12）中可以取瞬间时间t瞬间=0.01秒，由于v1的速度非常快，因此，在水人身高h直径2R距离l中会发生一段位移，此过程用图表示为：图4.碰撞瞬间根据碰撞的过程可以得到一个连续的入水运动状态方程，建立的方程如下： （13）（14），（15）将（13）、（14）、（15）代入，整理可得式子（16）：（16）其中，此时伏在运动员周围的水的质量为：（17）综合上述式子可以得到男子从28米跳下时到达的速度为23.3763m/s，女子从20米跳下来时的速度为19.7668m/s，经过位移发生l为0.05米时，与水面发生碰撞，男子的速度变为22.1537m/s，女子的变为18.7186m/s。将数据代入式子（12）中，由于发生的初速度都很大，取瞬间时间t瞬间=0.01秒两个式子都足够达到位移l为0.05米，将所有数独代入求解为：男子的撞击力为：女子的撞击力为：由于两种情况和水面发生撞击，水平面作用在人体部位的力都大于900N，而人体头部所受力度达到900N就可使人产生比较严重的脑震荡，而当运动员脚朝下时，大部分的作用力都作用在脚与水平面的接触面上，可以使头部减轻所有力度，因此在悬崖跳水比赛时，运动员不应该头部朝下，才是比较安全的保护头部的动作。5.2水池深度设置本小节主要包括两部分，第一部分是计算两种不同的跳台，在不考虑空气中的摩擦力时，两种情况应该设置水池深度至少是多少；在考虑空气中的摩擦力时，这两种情况下，水池深度又应该设置多少。5.2.1模型分析在此小节中，考虑跳水的三个步骤，空中降落；不完全入水；完全入水。根据几个步骤，来计算水池深度至少设置多深，才能保证运动员安全。而在这几个步骤当中，第一个阶段是在空中降落，应该忽略温度和天气的外在因素，考虑这个过程中是否受流体空气的阻力作用，分别建立一个模型，对照查看在不同情况下，这两种情况分别要求最低的水池深度是多少，来判断空气阻力对水池深度的影响大小。 悬崖人人第一阶段：空中降落第二阶段：入水过程第三阶段：下沉过程水底图5.跳水过程解剖图5.2.2模型Ⅱ建立与求解在不考虑摩擦力的情况下，只是在第一个阶段的降落时不考虑摩擦力，因此，在到达水面时，会比考虑的大，其余的两个阶段是相同的。人体到水面的速度式子为：（18）其中s为发生的位移既是H，v3是无摩擦力到达水面的速度，接着第二个阶段，固流发生碰撞，由于问题时求水池深度最小的时候能保证运动员的安全。根据物理知识可以知道，发生碰撞时能量是有损耗的，在这里本文假设能量损耗是达到最大限度50%，才是在水池中停止的最快，在水中发生的位移最短，从而要求的水池水的深度最浅。然后是运动员入水的一个过程，根据上述假设和动量与能量守恒定律可以得到下列的式子：(19)式子中，因为水的密度等于人体的密度，所以当人全部浸没时，人受到水的浮力等于人受到的重力。其中式子（19）中v4为圆柱体刚好全部浸没之后的速度，v3为无空气摩擦的时候到达水面的速度，然后对速度从v4至0开始进行求积分。 经计算（18）的式子可以知道v3，在没有空气阻力的情况下，男子到达水面的速度为23.4265m/s，女子到达水面的速度为19.7990m/s。然后根据上述算到的v3可以算到v4为男子的速度变为11.71325m/s，女子的速度变为9.8995m/s。将v4代入式子（19）中可以算到当v变为0时，通过运用Matlab计算可以得到，降到水池底部的距离时：男子发生的位移为14.4195米；女子发生的位移为12.2128米。然后分别加上男子的平均身高，所以水池的最低深度应该为16.1195米，而女子的至少为13.8128米。5.2.3模型Ⅲ建立与求解在考虑第一阶段有空气阻力的情况下，跳水运动员从速度从0变为v5，然后以此速度进入水池中，再通过积分可以得到在水池的最低深度。首先对第一个阶段空中降落开始到到达水面计算此速度v5，在此过程中考虑空中的阻力。（20）通过对（20）进行整理可以得到v5的值为:然后圆柱体进入水里时，发生的过程和模型Ⅱ相同，根据模型Ⅱ可以得到下面式子：（21）（22）将v5数据代入（21）、（22）的式子中，当v6的速度下降为0时可以得到水池的H深度。将模型Ⅰ中求出的初速度和该模型中到达水面的速度一样，因此v5分别为：男子的速度为23.3763m/s，女子的速度为19.7668m/s。经过碰撞后发生了能量损耗，速度分别为原来的一半，既是：男子的速度变为11.6882m/s，女子的速度为9.8884m/s。将上述的数据代入式子（22）中可以得到，速度从v5变为0时，通过运用Matlab计算，可以计算到在水中发生的位移分别为：男子发生的位移为14.2424米，而女子发生的位移为12.1991米。 将发生的位移再加上各自的平均身高可以得到，男子要求的水池的深度至少应该是15.9424米，而女子要求最低水深是13.7991米。根据上述可知，有空气阻力时的水池要求深度比没有的要求的深度要低，但是并不是很明显。5.3模型Ⅳ建立5.3.1模型假设在本模型中主要假设是跳水运动员体重变化的情况下，身高不发生变化，按照中国跳水运动员的平均身高，跳水运动员的体重变化是在我国标准的范围内变化。模型Ⅳ跳水运动员的体重变化范围为：男子在55公斤到65公斤范围内变化，女子在40公斤到50公斤范围内变化。5.3.2模型Ⅳ建立本小节中主要是对问题三进行求解，可以对模型Ⅲ进行变动，在跳水运动员质量的变动下，在两种跳台高度进行计算求解各个情况下水池中水深的最低要求。在第一个阶段中，物体重要受重力与阻力，既是模型Ⅲ中的式子（20），如下：该式子经过化简单后，发现和质量并没有关系，因此在第一个空中降落的过程并没有和跳水运动员的质量有任何关系。所以，跳水运动员的质量不影响第一个阶段的过程，只是一个中间变量。第二个阶段是入水过程，此过程在细分的情况下是受运动员的质量影响的，但是综合起来是不受跳水运动员的质量影响的。如下：但是将式子变形后可以看到，最终降落在水中全部淹没时的速度还是到达水面速度的一半，因为在假设中，是假设水的密度和人体的密度是一样的，因此，大体上认为第二个阶段也是不受跳水运动员的质量的影响的。第三个阶段是落水下沉到底，在此过程中，如下式子：可以看到第三阶段经化简后，也是没有含跳水运动员的质量的一个微分方程。因此可以表明，跳水运动员的质量也是第三个阶段的一个过程变量，是不影响最终结果的。 综合上述三个过程进行分析可以得到，跳水运动员的质量并不影响水池的最低深度，因此两个质量不相等的跳水运动员所要求的水池最低深度都是一样的，质量只是一个过程变量，不影响结果。5.4灵敏度分析由于本文的模型以模型Ⅲ为主线，因此本小节主要是对模型Ⅲ进行灵敏度分析。根据以阻力系数、跳台高度的变化来计算水池深度的最低要求的变化，来反应此模型的灵敏度变化。5.4.1阻力系数分析由于阻力系数的确定和雷洛系数是两个密切相关的量。而在本文中是直接取值为0.42的，这样缺乏考虑，因此在做灵敏度分析时，根据阻力系数的变化来确定水池的深度的变化。当0