第二单元表内除法（一）一、教学目标1．让学生在具体情境中理解平均分及除法运算的含义，能进行平均分。会读、写除法算式，知道除法算式各部分的名称。2．使学生初步认识乘法、除法之间的关系，能够比较熟练地用2～6的乘法口诀求商。3．使学生会用画图、语言叙述等方式表征理解问题和分析问题的过程，能运用加法、减法、乘法和除法解决简单的实际问题。4．结合教学使学生受到爱学习、爱劳动、爱护大自然的教育；同时培养学生认真观察，独立思考等良好的学习习惯。二、内容安排及其特点1．教学内容和作用本单元教材划分为除法的初步认识、用2～6的乘法口诀求商两节，主要的教学内容包括：平均分、除法的含义、用2～6的乘法口诀求商和用所学的除法运算解决问题。教材内容安排如下表：表内除法是学生学习除法的开始，是今后学习除法的基础。让学生体会除法运算的含义，在理解的基础上，掌握用2～6的乘法口诀求商的方法及解决问题，是本单元教学的重点。本单元教学的难点是：除法的含义，用除法运算解决简单的实际问题。从具体编排来说，“除法的初步认识”分为两个层次：(1)以生活中常见的“每份同样多”的实例和活动情境，让学生通过对比建立“平均分”的概念。教材通过让学生参与平均分的活动，探索平均分的方法，认识平均分的两种不同情况：等分和包含。同时通过让学生操作、说一说、圈一圈等方式理解“平均分”
，既重视平均分的过程，也注重对平均分结果的认识和表述。(2)在建立“平均分”概念的基础上引出除法运算，说明除法算式各部分的名称。教材结合具体事例和活动情境，在“平均分”的基础上，通过观察、动手操作、研讨等学习活动，让学生逐步体会除法运算的含义，掌握除法算式各部分的名称。这样编排可以让学生充分参与“平均分”的活动，既为学生认识“除法”积累丰富的感性知识，又促进学生对除法产生“亲切感”，使后面对除法的认识“水到渠成”。用2～6的乘法口诀求商的编排，教材遵循由易到难的原则，按被除数从小到大的顺序分成被除数不超过12和被除数不超过36两段。(1)被除数不超过12，即所用的乘法口诀中积不超过12。先教学被除数小的除法计算，便于学生充分利用学过的连加、连减、乘法的基础和“平均分”物品的实践经验，探索求商的方法。教材中呈现了小猴分桃后的直观图，体现出除法与乘法的联系，便于学生理解用乘法口诀求商的道理，也为进一步学习用2～6的乘法口诀求商奠定基础。(2)被除数不超过36，即所用的乘法口诀中积不超过36。这部分教材，突出了用乘法口诀求商的方法。用乘法口诀求商的方法，是用乘法口诀求积的逆思考，学生初学时往往感到困难。为了突破这一难点，教材第19页例2呈现情境图作为形象支撑，先出现乘法算式4×6＝24，再出现两个除法算式24÷4＝□、24÷6＝□，促使学生领会乘法、除法的关系，为学生用“四六二十四”这句口诀想商打开“通道”。教材中设计的看算式写乘法口诀练习和有关联的一乘两除一组的计算练习，都是为了让学生理解和掌握用乘法口诀求商的方法。在解决问题部分，教材通过对比的方式使学生加深对除法含义的认识，学生可以通过画图、语言叙述等不同的方式表征问题结构，重点是突出对数量关系的分析和把握，学生在理解题意的基础上，根据运算的意义选择算法，又可以使学生在实际应用中进一步领会除法运算的含义。通过解答后的回顾与反思，渗透用乘法检验除法的方法，并通过比较，让学生体会用除法解答的两种情况的问题其本质是相同的，都是平均分，进而加深学生对除法含义的理解。2．教材编排特点(1)加强除法概念的教学。对除法概念的理解与掌握情况，是学生探索求商的方法和用除法解决问题的重要基础。为了帮助学生理解除法的含义，教材的编排从以下几方面加以落实。第一，在对比与活动中突出平均分的含义。除法的含义是建立在“平均分”的基础上的。因此教材在例1中通过创设“分一分”
的活动情境，鼓励学生积极参与数学活动。通过呈现3种不同的分物情况，使学生在对比中获得对“平均分”的直观认识。再通过小精灵的提示，进一步理解平均分的含义。第二，让学生充分经历平均分的过程，同时关注分的结果。从平均分的操作过程来看，客观上存在两种不同的情况：一是先确定要平均分成的份数再分；二是先确定每一份要分得多少再分。由于平均分的过程（方法）不同，相应的除法算式的具体含义也就不同，但都要用除法表示。因此让学生充分经历平均分的过程并形成相应的表象，同时关注平均分的结果，是学生理解除法必备的“拐杖”o因此，教材在主题图的设计中，既突出体现了学生对平均分物过程的参与性，又注意引导学生关注平均分的结果，使学生感受到平均分的两种不同情况的共同性。具体到例题的编排，例2通过直观图和文字，既呈现了两种将18个橘子平均分成6份的过程，并由学生提出的“还可以怎样平均分？”表明对学生不同分法的尊重；又用两个箭头指向了共同的平均分的结果。例3通过有关联的两幅情境图，展现了学生根据每份要分得多少进行平均分物的过程及最后分得的结果。结合例4、例5及第二小节的例1可以看出既关注结果也关注过程地理解平均分对于认识除法、探索求商方法的重要性。第三，注重用数学语言描述平均分，实现“多元表征”的统一。布鲁纳的多元表征理论表明，对数学概念的理解有多种方式，多种方式之间建立起联系，才能深化对概念的理解。因此，教材在注重动手操作的基础上，注重用数学语言描述平均分。让学生边摆边说平均分的过程，可以不断加深平均分活动在学生脑海中的相应表象，从而为建立除法概念打下基础。教材在例题和多个练习的设计中，都在“分一分”“摆一摆”或“圈一圈”的活动后，增加了“填一填”的活动，目的是让学生用语言描述平均分的过程。这样编排，一方面加深了学生对平均分概念的理解，另一方面为用语言叙述除法算式的含义和运用除法运算的意义解决问题、说明选择算法的依据都作了充足的准备。第四，遵循儿童认知发展规律，帮助学生建立除法概念。由于乘法的现实模型中最重要的等量组的聚集模型是不对称的*，因此就出现了两种具有现实意义的平均分的情况，除法的这两种现实情境模型一般被称为等分（分配）和包含（重复的减法或比率）。教材通过例4和例5的编排，让学生借助两种不同的现实情境模型建立除法的概念。两个例题的编排都是从学生熟悉的操作活动引入，通过让学生动手分一分、圈一圈，获得平均分的直观经验；再通过说一说、填一填的活动，尝试用数学语言描述平均分的过程；最后学习用除法算式进行表示。这样的编排，使学生经历了从动作表征到语言表征，再到符号表征的过程，从具体到抽象，符合儿童认知发展的规律。第五，渗透数学文化，加深学生对除法含义的理解。
教材通过“你知道吗？”的版块设计，介绍了第一个使用“÷”的数学家，使学生初步了解相关的史料。再通过小精灵的提示，突出“÷’’所表示的平均分的意思，从而加深学生对除法含义的理解。(2)鼓励学生动手操作、合作交流，自主探索求商的方法。只有经历“从头到尾”的探究过程，学生才有可能真正理解用乘法口诀求商的道理。为此，教材选用了除法中包含（重复的减法或比率）的现实情境模型作为研究素材，便于学生与已有减法、加法和乘法的概念建立联系；同时被除数是较小的数据12，为学生进行动手操作和自主探究创造了条件。在展示、交流探究方法的过程中，教材首先呈现连减的方法，这是最基础、也是学生最容易理解的方法，并以对照排列的方式，逐一记录了分桃过程中逐次减3的过程。在此基础上，教材呈现了连加的方法，这里没有给出思考的全过程，只是点明思路，为学生的思考留有空间。接着教材将平均分的结果用直观图展现出来，这与乘法现实模型中等量组的聚集模型是完全一致的，形象地展现了乘法与除法两者之间的关系，并将乘法算式和怎样想乘法口诀确定商的过程呈现出来，最终使学生理解用乘法口诀求商的道理并获得用乘法口诀求商的方法。这样的编排，使学生从已有的经验出发，借助教材提供的“脚手架”，自主建构数学知识。(3)重视培养学生分析数量关系的能力，同时深化学生对运算的意义的理解。我们通常将学生解决问题失败归因为“数量关系不清”，确切地说是学生在“分析数量间的关系”时运算模型识别不敏锐，而该能力的培养关键在于四则运算意义的建构初期。为此，本单元力求通过解决问题的教学，重点突出对数量关系的分析，加深学生对数量关系的感悟，并逐步学会用语言表达自己的想法，用除法运算解决问题，做到“知其然”亦“知其所以然”。在呈现方式上，本单元用对比编排的方式，呈现了用除法解决的两种不同模型的现实情境问题。在文字呈现有联系的两个问题后，教材将两个问题的条件和问题用示意图展现出来，帮助学生把抽象问题具体化、直观化，既便于激活学生已有的平均分的活动经验，又为学生理解题意和分析数量关系提供了形象化的支撑。在此基础上，引导学生用语言表述已知数量之间的关系，并与除法的意义联系起来，从而用除法运算解决问题：在语言表述的过程中，允许学生用自己的方式进行表述，不要求说套话，充分体现了对学生个性的尊重。在相应的练习设计中，教材将已经学过的用加法、减法、乘法解决的问题与用除法解决的问题进行混合编排，有些提供直观化图示，有些借助小精灵的提示：“你是怎样解答的？”
引导学生用操作、画图、语言表述等多种方式，分析数量之间的关系，结合运算的意义确定解决问题的方法。通过这样的活动，学生经历了从现实生活或具体情境中抽象出数学问题的过程，获得了解决问题的基本经验与方法，提高了分析和解决问题的能力。三、教学建议对于本单元的教学内容，教学建议如下。(1)进行除法教学，要立足于除法概念本质的建立。在小学的第一学段，对除法概念本质的理解就是“平均分”。建议教师在本单元各部分内容的教学中，组织学生进行多次对比与辨析，突出对除法概念本质的认识。在“平均分”的教学中，既要引导学生关注平均分的过程与分的方法，也要关注平均分的结果——每份同样多。在除法概念的教学中，无论是“等分”的情境，还是“包含”的情境，首先让学生体会到是平均分的活动，再学习用除法表示，并结合“÷”的使用，加深对除法含义的理解。在用除法解决问题的教学中，通过组织学生回顾与反思，比较两种不同现实情境模型问题的不同，更要看到它们相同的地方，都是平均分，都是用除法解决问题，在运用中提升对除法概念本质的认识。(2)运用多种表征方式之间的相互转换，帮助学生深入理解除法概念。布鲁纳认为，在人类的智慧生长期，有3种表征系统在起作用，即动作表征、表象表征和符号表征。Lesh在布鲁纳表征系统的基础上，又增加两种表征：口头语言表征和现实情境表征。有学者认为，要获得真正意义上的理解，就要灵活地实现5种表征方式之间的转化。因此教师在“除法的初步认识”的教学中，应充分利用多种表征方式的相互转换，帮助学生建立除法概念。根据低年级儿童的认知特点，可以从动作表征和表象表征开始，让学生借助学具平均分一分、摆一摆，或者在图中连一连、圈一圈，积累丰富的平均分的活动经验；进而组织学生用语言表述自己的操作过程，再写出相应的算式，最后还可以让学生说说算式表示的意思。此外，教师还可以组织学生进行根据算式摆学具、画图，看算式讲故事等活动。通过多种表征方式的相互转化，使学生真正理解除法的概念。需要说明的是，用语言表述平均分的过程时，切记让学生说套话，可让学生结合动作，用自己的语言说清楚即可。(3)设计丰富、有趣的活动和练习，提高学生表内除法运算的能力。熟练口算表内除法，是小学生应具备的最基本的计算能力。《标准(2020)》在评价建议中提出，到学期末学生应做到每分钟8～10题。要达到这个目标，就要有计划、有目的地指导并组织学生进行练习。首先，教师应组织学生自主探索求商的方法，借助直观模型沟通乘法与除法的关系，理解用乘法口诀求商的道理。其次，借助乘法算式进行相应的除法运算的练习，如根据3×5＝15，计算15÷3＝□和15÷5＝□
等。第三，针对除数小于商的算式，进行运用乘法口诀的指导。如，24÷4＝□，学生往往知道想4的乘法口诀，但从“一四得四”想到“四四十六”就放弃了。教师应使学生认识到，4的乘法口诀不止4句（这一点在乘法口诀的教学建议中已提出，但学生可能还会存在问题），鼓励学生继续想下去，直至“四六二十四”。最后，针对难记、易错的问题进行练习，这种练习形式适合于学生在经过一段时间的练习后进行。需要教师在前面的练习中注意收集学生的错例，进而让学生针对容易出错的题目进行练习，减少练习的盲目性，提高练习效果。(4)不断提高学生分析数量关系、解决实际问题的能力。理解与表征数量之间的关系，是解决问题的前提条件。结合例3的教学，在联系除法的含义用除法解决问题的教学中，教师应注意以下几方面的工作。第一，以动手操作为基础。平均分的两种不同情况，如果只从结果上看是无法区分的，都是每份同样多。学生只有在动手操作的过程中，经历了动手分的过程，体会到平均分的方法的不同，才能为理解“等分”和“包含”这两种平均分的不同情况奠定基础。第二，以直观图示为桥梁。画图是理解与解决问题的重要策略。将抽象的文字用直观的图示表示出来，是对一类数学问题的提炼和概括，既反映出学生对问题的理解情况，也便于学生清楚地看出条件与条件之间、条件与问题之间的关系，并通过对数量关系的分析获得解决问题的方法。因此，教师应引导学生在读懂题意的基础上，鼓励学生用直观图将题目中的条件和问题表示出来，并组织学生交流、比较所画直观图的异同，体会图的形式不同，但结构是相同的，使实际问题抽象为数学问题，达到明晰数量关系、促进问题解决的目的。第三，以语言表述为标志。语言是思维的外壳。学生对数量关系的分析，不仅仅是对题目中条件的重复，更重要的意义在于能用自己的语言将自己对数量关系的理解与运算的意义联系起来，说明自己选择算法的道理。根据学生的年龄特点，可以让学生结合动作、直观图边比画边说。通过语言表述，了解学生对数量关系的理解状况。允许不同的学生有不同的表达方式，只要表达意思合理即可。总之，通过动作、画图、语言表述等多种方式，最终达到提高学生分析数量关系、解决实际问题能力的目的，逐步落实课标中“四能”的目标。(5)建议用10课时教学。
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