人教版数学第一轮复习《四边形》

中考第一轮复习四边形2新课标剖析考试内容考试要求层次ABC多边形了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个三角形、四边形或正六边形可以进行镶嵌；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能依据图形条件分解与拼接简单图形平行四边形会识别平行四边形掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题会运用平行四边形的知识解决有关问题特殊的平行四边形会识别矩形、菱形、正方形掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决简单问题会运用矩形、菱形、正方形的知识解决有关问题梯形会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题本讲结构13 知识导航一、四边形知识结构图二、平行四边形及特殊平行四边形的性质及其判定名称定义性质判定面积平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．①对边平行；②对边相等；③对角相等；④邻角互补；⑤对角线互相平分；⑥是中心对称图形．①定义；②两组对边分别相等的四边形；③一组对边平行且相等的四边形；④两组对角分别相等的四边形；⑤对角线互相平分的四边形．（为一边长，为这条边上的高）．矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．除具有平行四边形的性质外，还有：①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形．①定义；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．（、为一组邻边）．菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．除具有平行四边形的性质外，还有：①四条边相等；②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形．①定义；②四条边相等的四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形．①（为一边长，为这条边上的高）；②（、为两条对角线的长）．正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．具有平行四边形、矩形、菱形的性质：①四个角是直角，四条边相等；②对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形．①定义；②有一组邻边相等的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形．①（为边长）；②（为对角线长）．三、梯形常见辅助线作法：四、特殊四边形性质特点：（以下性质需先证明后运用）13 1.对角线互相垂直的四边形：性质1中点四边形为矩形；如图1性质2四边形面积等于对角线乘积的一半；即性质3四边形对边的平方和相等.即2.筝形：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，也称之为半菱形．如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O．性质1性质2一组对角相等，即性质3（1）对角线平分一组对角，即平分.（2）对角线互相垂直，即.（3）一条对角线平分另一条对角线，即平分（）.性质4性质5筝形是轴对称图形，即所在直线为其对称轴.【编写思路】本讲内容主要包括：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的性质与判定的应用，以及与其他知识点的综合运用，例如相似全等、几何变换等，由于近三年中考淡化了对梯形的考察，因此我们放入了平四、矩形、菱形、正方形的两问的中档题，而削弱了梯形的题量和难度.本讲针对核心考点——中点的构造，进行探究，再次回顾、总结中点的重要辅助线构造.模块一平行四边形及特殊平行四边形的性质和判定及和判定夯实基础【例1】⑴如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是（　　）A.①②B.②③C.②④D.③④（2）如图，矩形中，,点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为_______.(2103河南中考)（3）人教版八年级数学下册92页第14题是这样叙述的：如图1，ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，HG∥AB，图中哪两个平行四边形面积相等？为什么？①根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为和；13 ②如图2，点P为ABCD内一点，过点P分别作AD、AB的平行线分别交ABCD的四边于点E、F、G、H.已知S□BHPE=3，S□PFDG=5，则；③如图3，若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重复、无缝隙）.已知①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD的面积为11，则菱形EFGH的周长为．（2013昌平一模）（4）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC．其中正确结论的序号是．【解析】（1）B（2），提示：①当，由题可知：，即：在同一直线上，落在对角线上，此时，设，则，，在中，解得；②当时，即落在上，，此时在中，斜边大于直角边，因此这种情况不成立；③当时，即落在上，此时四边形是正方形，所以（3）①AEPH和PGCF或ABGH和EBCF或AEFD和HGCD；②1.③24．（4）①②④⑤【例1】1.如图，在中，是的中点，延长到点，使，连接，.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，，求的长.（2013北京中考）【解析】（1）在中，∵是中点.∴，又∵.∴且∴四边形为平行四边形（2）过作于在中∵∴∵，∴∴，13 在中，，∴在中，2.如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．（1）求证：∠CED=∠DAG；（2）若BE=1，AG=4，求的值．（2013东城一模）【解析】（1）证明：∵矩形ABCD，∴AD∥BC.∴∠CED=∠ADE.又∵点G是DF的中点，∴AG=DG.∴∠DAG=∠ADE.∴∠CED=∠DAG.（2）∵∠AED=2∠CED，∠AGE=2∠DAG，∴∠AED=∠AGE.∴AE=AG.∵AG=4，∴AE=4.在Rt△AEB中，由勾股定理可求AB=.∴.3.已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2.（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证AM=DF+ME.（2012重庆）【解析】（1）解：∵四边形是菱形，∴，.∵，∴，∴.又∵，，∴，∴.（2）证明：延长和相交于点.∵为的中点，∴.∵，，∴又∵，，∴≌，∴.∵四边形是菱形，∵，∴.又∵，，∴≌，∴.∵，，∴，∴.∵，，，∴.4.已知：如图，过正方形ABCD的顶点B作直线BE平行于对角线AC，AE=AC（E，C均在AB的同侧）.求证：∠CAE=2∠BAE.（2013大兴一模）【解析】过A作AG⊥BE于G，连结BD交AC于点O，∴AGBO是正方形.∴AG=AO=AC=AE∴∠AEG=30°.∵BE∥AC，∴∠CAE=∠AEG=30º.13 ∴∠BAE=45º–30º=15º.∴∠CAE=2∠BAE.能力提升【例1】在中，的平分线交直线于点，交直线于点．⑴在图1中证明；⑵若，是的中点（如图2），直接写出的度数；⑶若，，，分别连结、（如图3），求的度数．（2011北京中考）【解析】⑴证明：∵平分∴.∵四边形是平行四边形，∴.∴.∴.∴.⑵.⑶解：分别连结、、.∵∴∵且∴四边形是平行四边形.由⑴得∴是菱形.∴.∴是等边三角形.∴①.∴.∴.②由及平分可得.∴.在中，.∴.③由①②③得.∴.∴.∴.【点评】此题与第一讲的例3的第2问类似，第（2）问13 已知为等腰直角三角形，欲证为等腰直角三角形，只需证；第（3）问已知为等边三角形，欲证为等边三角形，只需证.【例1】已知：如图1，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连结DF，G为DF中点，连接EG，CG．⑴求证：EG=CG；⑵将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．⑶将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问⑵中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）（2011平谷二模）【解析】（1）∵，G为DF中点，∴EG=CG=；（2）方法一：如下图1，延长EG交AD延长线于点M，连结CM、CE，易证、，然后可证为等腰直角三角形，于是EG=CG，同时还可得EG⊥CG；方法二：如下图2，延长CG到M，使得MG=CG，连结MF、ME、EC，类似方法一通过证两次全等和一个等腰直角三角形即可证得结论；方法三，如下图3，过点G作GM⊥AD于点M，延长MG、EF交于点N，连结AG，通过证明AG=GE、AG=GC证得结论；（3）结论为EG=CG且EG⊥CG，证明思路如下：方法一：如下图1，延长CG到M，使得MG=CG，连结MF、ME、EC，并延长MF交BC于点H，先证，再通过证明四边形EBHF对角互补证明，从而可证以及为等腰直角三角形，于是EG=CG且EG⊥CG；方法二：如下图2，分别取FB、DB的中点M、N，连结EM、CN、MG、GN，通过证明证出结论；方法三：如下图3，延长FE到M，使FE=EM，延长DC到N，使CN=DC，连结BM、BN、MD、FN，通过证明证出结论.13 【点评】回顾总结“中点”的辅助线构造：以下探究主题为：中点的构造【探究1】在正方形ABCD中,点F在AD延长线上，且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中点,点E在直线CF上（点E、C不重合）.且BN=NE，请判断BN与EN的位置关系、以及CE与BM的数量关系并证明.【解析】如图，延长BN交CD的延长线于点G，连结BE、GE，过E作EH⊥CE，交CD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CG．∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN.∵N为MD的中点，∴MN=DN．∴△BMN≌△GDN．∴MB=DG，BN=GN.∵BN=NE，∴BN=NE=GN.∴∠BEG=90°．∵EH⊥CE，∴∠CEH=90°．∴∠BEG=∠CEH．∴∠BEC=∠GEH．由（1）得∠DCF=45°．∴∠CHE=∠HCE=45°．∴EC=EH,∠EHG=135°．∵∠ECB=∠DCB+∠HCE=135°，∴∠ECB=∠EHG．∴△ECB≌△EHG．∴EB=EG，CB=HG．∵BN=NG，∴BN⊥NE.∵BM=DG=HG-HD=BC-HD=CD-HD=CH=CE，∴=.【探究2】在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠DAE=∠BAC，D、E、B三点共线，F为BD中点，求证：BE-DE=2CF；【解析】方法一：如下左图，连结CE，过点C作CE的垂线交BD于点G，13 设BD与AC的交点为Q.由题意，tan∠BAC=，∴.∵D、E、B三点共线，∴AE⊥DB.∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,∴∠QBC=∠EAQ.∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，∴∠ECA=∠BCG.∴.∴.∴GB=DE.∵F是BD中点，∴F是EG中点在中，,∴方法二：如下右图，延长BC至M，使BC=CM，在EB上取一点N，使EN=DE，连结DM，AM.易证，于是DM=BN=2CF，即BE-DE=2CF.【探究3】△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．请判断ED和FD的数量关系并说明理由．【解析】DE=DF理由如下：分别取BP、CP的中点M、N，联结EM、DM、FN、DN．∵D为BC的中点，∴．∵∴．∴．∴．同理．∴四边形MDNP为平行四边形．∴．∵∴．∴．∴△EMD≌△DNF．∴DE=DF．模块二梯形定义示例剖析直接开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解或13 夯实基础【例1】如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°．（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________；（2）若射线EF经过点C，则AE的长是_________．（2012浙江丽水）【解析】（1）6；（2）2或5，提示：在AE上取点M，使得，利用“一线三等角”的相似模型求解.能力提升【例2】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=，AD=.（1）求与的函数关系式；（2）若∠APD=45°，当时，求PB•PC的值；（3）若∠APD=90°，求的最小值.（2013福建福州）【解析】（1）如图，过点作于点在中，，∴∵，∴，∴（2）∵又∴∵四边形是等腰梯形，∴，∴∽，∴，∴，∴当时，即13 ∴（3）如图，取的中点，连接，过点作于点∴当时，有最小值又∵，∴，∴∴，∴，∵，∴，即的最小值为【思维拓展训练】尖子班学案1.如图，在中，AC与BD交于点O，E为OD中点，连结AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A.1：4B.1：3C.2：3D.1：2(2013湖北恩施)【解析】B学案2.阅读材料：⑴操作发现:如图，矩形中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到，且点G在矩形内部．小明将BG延长交DC于点F，认为，你同意吗？说明理由．⑵问题解决:保持⑴中的条件不变，若，求的值；⑶类比探求:保持⑴中条件不变，若，求的值．【解析】（1）同意，连接EF，∵∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF=DF；（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=2DF，∴CF=x，DC=AB=BG=2x，∴BF=BG+GF=3x；在Rt△BCF中，，即，∴，∴；（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=n·DF，∴DC=AB=BG=nx∴CF=（n-1）x，BF=BG+GF=（n+1）x在Rt△BCF中，，即∴，∴.13 学案1.如图，在梯形中，．点，分别在边上运动，并保持，垂足分别为．⑴求梯形的面积；⑵求四边形面积的最大值；⑶试判断四边形能否为正方形，若能，求出正方形的面积；若不能，请说明理由．【解析】（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．∵AB∥CD，CDABEFNMGH∴DG＝CH，DG∥CH．∴四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．∵DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，∴△AGD≌△BHC（HL）．∴AG＝BH＝＝3．∵在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5，∴DG＝4．∴．CDABEFNMGH（2）∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，∴ME＝NF，ME∥NF．∴四边形MEFN为矩形．∵AB∥CD，AD＝BC，∴∠A＝∠B．∵ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°，∴△MEA≌△NFB（AAS）．∴AE＝BF．设AE＝x，则EF＝7－2x．∵∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°，∴△MEA∽△DGA．∴．∴ME＝．∴．当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．（3）能．由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝．若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF．即7－2x．解，得．∴EF＝＜4．∴四边形MEFN能为正方形，其面积为．13 实战演练模块一特殊平行四边形的性质和判定课后演练【演练1】⑴如图，矩形中，，，平分，于点，于点．则的值为（用含的代数式表示）（）A．aB．　C．D．⑵如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A.16B.17C.18D.19【解析】（1）C（2）B【演练2】在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE．⑴如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；⑵如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；⑶如图③，在⑵的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；⑷如图④，在⑶的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．HGFEODCBA图①HGFEODCBA图②ABCDOEFGH图③ABCDOEFGH图④【解析】（1）由全等证得OE=OF，OG=OH即可；（2）菱形；（3）菱形；（4）四边形EGFH为正方形，先证平行四边形ABCD为正方形.【演练3】已知：如图，在□ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．（1）求证：AE⊥DF；（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．（2013昌平一模）【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC.∴∠BAD+∠ADC=180°.∵AE、DF分别平分∠BAD、∠ADC，13 ∴.∴.∴∠AGD=90°.∴AE⊥DF.（2）由（1）知：AD∥BC,且BC=AD=10，DC=AB=6，∠1=∠3,∠2=∠4.∴∠1=∠AEB,∠2=∠DFC.∴∠3=∠AEB,∠4=∠DFC.∴BE=AB=6，CF=DC=6.∴BF=4.∴EF=2.∵AD∥BC,∴△EFG∽△ADG.∴.∴.∴EG=.∴AG=.由（1）知∠FGE=∠AGD=90°，由勾股定理，得DG=，FG=∴DF=.【演练1】已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF于点E．⑴延长EF交正方形ABCD的外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；⑵在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【解析】（1）AE=EP，在AB上截取BN=BE，证明即可；（2）存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形，如图，过点D作DM∥PE，交AE于点K，交AB于点M，连结ME、DP.证明即可.模块二梯形课后演练【演练2】如图，已知梯形ABCD中，，，，.⑴求BC、AD的长度；⑵若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以lcm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围（不包含点P在B、C两点的情况）；⑶在⑵的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）BC=6cm，AD=3cm；（2）（3）当时，线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为.13