函数的单调性
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函数的单调性

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时间:2008-09-07

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资料简介
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    意图:从形象到抽象,从具体到一般.先让学生尝试描述一般函数f(x)在上“图象上升”、“随着x的增大,相应的f(x)值也增大”的特征.     这个问题具有较高的思维要求,需要“跳一跳才能摘到果子”.教学上,可以让学生开展讨论、交流.通过学生的活动,逐渐认识函数单调性的刻画方法.在这个过程中,二次函数的特征是一个具体的载体,可以起到验证、支持作用.     如果学生主动提出函数单调增的一般定义,则可以议论“为什么?”,让学生以二次函数f(x)=x2为例解释定义的合理性.     给出函数单调性的一般定义.     一般地,设函数f(x)的定义域为I:     如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.     练习     下列说法是否正确?请画图说明理由:     (1)如果对于区间上的任意x有f(x)>f(0),则函数f(x)在区间上单调增;     (2)对于区间上(a,b)的某3个自变量的值x1,x2,x3,当a<x1<x2<x3<b时,有f(a)<f(x1)<f(x2)<f(x3)<f(b),则函数f(x)在区间(a,b)单调增.     意图:使学生进一步体验到定义中“任意”二字的必要性.     3.单调性概念的应用   通过具体的函数单调性的证明过程进一步加深对函数单调性的认识.   例1  物理学中的波利尔定律p=(k是正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V减小,压强p将增大.试用函数的单调性证明之. 分析怎样来证明“体积V减小,压强p将增大”呢,根据函数单调性的定义,只要证明函数p=((k是正常数)是减函数.怎样证明函数p=((k是正常数)是减函数呢,只要在区间(0,+∞)(因为体积V>0)任意取两个大小不相等的值,证明较小的值对应的函数值较大,即   设V1<V2,去证明p1>p2.也就是只要证明p1-p2>0.   证明 设V1<V2,V1,V2∈(0,+∞).   p1-p2=-=.   因为k是正常数,V1<V2,所以>0,p1>p2.   所以,体积V减小,压强p将增大.   教师把重心放在思路的分析(函数单调性的理解、运用)上,而让学生进行具体证明步骤的书写.     练习   画出反比例函数y=的图象.   (1)指出这个函数的定义域I是什么;   (2)它在定义域I上具有怎样的单调性?证明你的结论.      答:(图象略).   (1)这个函数的定义域I=(-∞,0)∪(0,+∞).   (2)在区间(-∞,0)上函数单调减,在区间(0,+∞)上函数也单调减.(证明略)     六.目标检测设计     1.举一个与实际生活联系的例子,并说明这个函数在定义域上是减函数.     2.画图说明:函数f(x)在它的定义域I内的两个区间D1,D2上都单调增,而在定义域I上并不单调增.     3.证明函数f(x)=x2-2x在区间(1,+∞)上是增函数.     4.研究函数f(x)=的单调性.     本文为“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计案例

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