9、用二分法求方程的近似解(省级获奖教案)

9、用二分法求方程的近似解 一、教学内容分析  本节选自《普通高中课程标准实验教科书 ·数学1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系。教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系。然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。 本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据。 二、学生学习情况分析  同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。 三、设计理念  本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。 四、教学目标 1、理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程； 2、体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度； 3、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法得到解决的快乐。 五、教学重点与难点 教学重点是能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解。根所在区间的确定及逼近的思想；难点是对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小。 深入探索发现问题提出课题“如何求函数零点？” 经历游戏过程探索一般规律“二分法” 解决问题“如何应用二分法求函数的零点” 应用所得方法解决实际问题“求出函数的零点” 通过练习与作业进行巩固与提高 课堂小结将所得到的知识进行归纳整理加入已有的知识链 通过游戏感受身边的数学 六、教学过程设计 1．教学基本流程图 2．教学情景设计 教学过程 教学设计 学情预设 设计意图 知识链接 创设情景 1、大家都看过李咏主持的吧,今天咱也试一回(出示游戏)。 2、竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？如何确定价格的最可能的范围？ 3、如何才能更快的猜中商品的预定价格？ 4、“二分” 的思路是什么？ 1、教师从学生熟悉的电视节目，引导学生体会、分析、归纳迅速猜价的方法。 2、学生能够主动参与游戏，并且参与游戏的同学可以比较并总结经验。学生会有很多种方案出来。3、对于“问题2”学生能够顺利的得出“主持人的“高了，低了”的回答是判断价格所在区间的依据”这个结论。 4、此时教师通过“问题3”引导学生进行比较哪种方法更快更好。从中学生可以得到用二分法解决问题的思路——二分指的是将解所在区间平均地分为两个区间。 [设计意图：1、利用视屏与游戏的形式，学生会踊跃参与；商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法会很多样，可以进行竞赛； 2、通过问题2，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索“用二分法求方程近似解”的时候埋下伏笔； 3、通过游戏，让学生经历游戏过程，感受数学来自生活，激发学生的学习兴趣；引导学生善于发现身边的数学，培养学生的归纳演绎的能力；学会将实际情景转化为数学模型。4、通过比较不同的方法得出最快的竞猜的方法——二分法；] 组织探究 1、上节课我们学了什么定理，它的作用是什么？还有什么问题没有解决？ 2、已知函数 在区间（2，3）内存在一个零点；如何求出方程 在区间（2，3）的近似解（精确度为0.01）？与刚才的游戏是否有类似之处？ 3、精确度的含义是什么？怎样的区间才算满足设定的精确度？ 4、区间（2，3）的精确度为多少？ 5、如何将零点所在的范围缩小（即如何将精确度缩小）？缩小的依据是什么？ 6、如何利用今天“猜价格”——“二分法”的逼近思想来将缩小区间？ 7、近似解是多少？ 1、教师通过“问题1”对上节课的内容进行复习引入，点出今天的课题。并且有前面游戏作为伏笔，学生能够得出“连续函数零点存在定理”是判断方程的根所在区间的依据。2、通过“问题2”应用具体的题目引导学生进行思考。学生通过引导将方程的解与商品的价格联系到一起，运用刚才的游戏的经验，得到缩小区间的想法。 3、学生对精确度的概念可能有所遗忘。教师可以借助数轴解释说明精确度的含义，引导学生思考什么时候停止操作。 4、教师通过“问题4～6”引导学生将“二分法”与“零点存在定理”相结合得到正确的新的零点所在的区间。并确定结束的时间。 5、学生按照游戏的方法也就是按照“二分法”的思路，不断缩小零点存在的区间，进行具体操作，填出（附录1）中的表格。表格刚开始的前几行学生可能会比较慢，也有可能会出错；通过多次的重复以及经验的总结，后面的表格可以正确的、快速的回答出来；使得最后的“应用二分法求函数的零点”的方法的总结更加顺利。 6、对于“问题7”学生比较不容易得到比较简洁的结论。教师可以进行解释说明：“由于整个区间内的数均满足精确度的条件，因此区间内的所有数均可以作为近似解，但，区间端点a，b是已知的值，所以可以取a或b作为近似解。”，最后得到方程的近似解（附录1的表格后面的内容）。 [设计意图：1、开门见山，延续上一节课的内容继续深入的研究，使得知识有一个连接让学生能够很容易的将知识建构到旧的知识体系中。 2、运用问题1，将学生的思路与前面已解决的问题联系起来，引导学生层层深入，抽丝拨茧，学习如何分析问题、如何利用新的知识解决问题；培养分析问题、解决问题的能力，以及运用知识、驾驭知识的能力。 3、师生的互动有利于一边引导一边总结。将二分法应用于解决实际问题，即将新的知识应用于解决新的问题。培养学生实际应用的能力，解决问题的严谨性，总结知识的逻辑性。使得最后方法的总结能够顺利进行。 4、有了前面的商品的竞猜过程的经历，学生比较容易入手，分析比较容易到位，从而降低思维的难度。 知识连接：1、函数零点存在定理  如果函数 在区间 上图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间内有零点，即存在 ，使得 ，这个c也就是方程 的根。 2、精确度是对同一个量的不同近似数的精确程度的度量。一般是：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。] 归纳总结 1、  我们刚才得求解过程中有哪些过程是一直重复出现的？ 2、我们取其一段，大家看如何用数学语言来描述？3、点明求方程的近似解的“二分法”：对于在区间（a，b）上连续不断、且f（a）·f（b）