二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质（三）教案

二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质（三）                                     整体设计 ◆教学分析 本节在前几节研究抛物线的基础上，从特殊到一般，研究一般形式二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）所具有的特征，在解决问题的过程中，不再像前几节课经历作图过程，而是直接根据配方的思想将一般式的二次函数化成顶点式，利用顶点式的性质来研究，用旧知识解决新问题，让学生体会由特殊到一般、将未知转化为已知、配方等数学思想，提高分析解决问题的能力. ◆三维目标 1.能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a（x-h）2+k(a≠0)的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标. 2.会利用对称性画出二次函数的图象,并运用其解决实际应用问题,体会数形结合思想. ◆重点难点 教学重点:能将一般式的二次函数化成顶点式并利用顶点式的性质来理解y=ax2+bx+c（a≠0）的性质. 教学难点:对一般式二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质的推导. 教学过程 ★导入新课 爱打篮球的小东学习了二次函数之后,从数学老师那里得知篮球运动的路线是抛物线,他很感兴趣,刨根问底,老师问他:如果篮球的水平距离x（米）与竖直高度y（米）之间和函数关系为y= x2+x+3,不画图象，你能直接说出篮球运动过程中的最大高度吗？小东想了想有点犯难，你能帮他解决这个问题吗？ ★推进新课 ＊新知探究 例 通过配方，确定抛物线y= x2+x+3的开口方向、对称轴和顶点坐标，最值. 解: y= x2+x+3= (x-1)2+ . 因此, 抛物线开口向下, 对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1， ）. 因为a= ﹤0，故函数有最大值 . 点拨:可见我们遇到一般式的二次函数可将它化成顶点式y=a（x-h）2+k来研究它的相关性质. 探究:对于二次函数y=ax2+bx+c,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗? y=ax2+bx+c  =a(x2+ x+ ) =a(x2+ x+ - + ) =a(x+ )2+ . 你能根据y=a（x-h）2+k(a≠0)的性质来概括y=ax2+bx+c（a≠0）的性质吗？ y=ax2+bx+c（a≠0） a﹥0 a﹤0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （- ， ) （- ， ) 对称轴 x=- x=- 最值 当x=- 时，y最小= 当x=- 时，y最大= 增减性 当x﹥- 时，y随x的增大而增大；当x﹤- 时，y随x的增大而减小 当x﹥- 时，y随x的增大而减小；当x﹤- 时，y随x的增大而增大 ＊应用示例 例1 已知抛物线y=x2-(a+2)x+4的顶点在坐标轴上，求a的值. 分析:顶点在坐标轴上有两种可能(1)顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0. 解:由二次函数的性质得， 抛物线y=x2-(a+2)x+4的顶点坐标是（ ， ）. 当顶点在x轴上时，有 =0，解得a=-2. 当顶点在y轴上时，有 =0，解得a=2或a=-6. 所以，当抛物线y=x2-(a+2)x+4的顶点在坐标轴上时，a有三个值，分别是-2，2，-6. 例2 判断抛物线y=x2+2ax+1+2a2的顶点所在的象限.  解：y=x2-(a+2)x+4=(x+a)2+a2+1, 所以顶点坐标为（-a,a2+1）. 当a﹥0时,顶点在第二象限;当a﹤0时,顶点在第一象限. 点拨：判断点所在的象限，关键是判断点的坐标的正负情况，当含字母时，要分类讨论.在解决一般式的二次函数所具有的性质时，可直接利用公式，或者通过配方将其化成顶点式，根据y=a（x-h）2+k的性质来研究y=ax2+bx+c的性质. ＊知能训练 课本本节练习1、2、3. ＊拓展训练 已知抛物线y=x2-2hx+h+h2(a≠0)，则它的顶点始终在直线＿＿＿上移动. 解：y=x2-2hx+h+h2=（x-h）2+h, 所以顶点坐标为（h,h）. 无论h取何值，顶点始终在y=x这条直线上移动. 说明：本题考查的是变量之间的关系，学生理解起来有一定的思维障碍，教师要精讲点拨，让学生自己思考明白. ★课堂小结 本节我们主要研究了y=ax2+bx+c的性质，将原来研究的特殊二次函数的性质推广到一般，将顶点坐标和最值程序化，在解决一般式的二次函数性质时，大部分情况下将其化成顶点式来研究，其中包含重要的配方的思想方法. ★作业 一、课本习题27.2   2. 二、备选题 1.抛物线y=ax2-4x-6的顶点横坐标是-2，则a=＿＿＿. 2.已知（2，6）、（6，6）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上的两点，则这条抛物线的对称轴为＿＿＿＿＿. 3.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1，求m. 答案： 1.-1 2.x=4(点拨：若(p,n),(q,n)是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上的两点，则这条抛物线的对称轴为x= ) 3.m=10.