第三章  数列
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第三章  数列

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时间:2010-09-05

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资料简介
第三章  数列 考试内容:数列.等差数列及其通项公式.等差数列前n项和公式.等比数列及其通项公式.等比数列前n项和公式.考试要求:(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.(2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题.(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,井能解决简单的实际问题.                   §03. 数 列  知识要点   数列 数列的定义 数列的有关概念 数列的通项   数列与函数的关系   项 项数 通项                   等差数列 等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前n项和 等比数列 等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前n项和                       等差数列 等比数列 定义 递推公式 ; ; 通项公式 ( ) 中项 ( ) ( ) 前 项和 重要性质       1. ⑴等差、等比数列:   等差数列 等比数列 定义 通项公式 = +(n-1)d= +(n-k)d= + -d   求和公式   中项公式 A=     推广:2 = 。推广: 性质 1 若m+n=p+q则 若m+n=p+q,则 。 2 若 成A.P(其中 )则 也为A.P。 若 成等比数列 (其中 ),则 成等比数列。 3 .  成等差数列。 成等比数列。 4  ,    5      ⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法: ① ②2 ( ) ③ ( 为常数).                                                                          ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① ② ( , )① 注①:i. ,是a、b、c成等比的双非条件,即 a、b、c等比数列. ii. (ac>0)→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. 且 →为a、b、c等比数列的充要. 注意:任意两数a、c不一定有等比中项,除非有ac>0,则等比中项一定有两个. ③ ( 为非零常数). ④正数列{ }成等比的充要条件是数列{ }( )成等比数列. ⑷数列{ }的前 项和 与通项 的关系: [注]: ① ( 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)→若 不为0,则是等差数列充分条件). ②等差{ }前n项和   → 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若 为零,则是等差数列的充分条件;若 不为零,则是等差数列的充分条件.  ③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) 2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列,其公差为原公差的k2倍 ; ②若等差数列的项数为2 ,则 ; ③若等差数列的项数为 ,则 ,且 ,   .      3. 常用公式:①1+2+3 …+n =     ②     ③ [注]:熟悉常用通项:9,99,999,… ; 5,55,555,… . 4. 等比数列的前 项和公式的常见应用题: ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为 ,年增长率为 ,则每年的产量成等比数列,公比为 . 其中第 年产量为 ,且过 年后总产量为: ⑵银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存 元,利息为 ,每月利息按复利计算,则每月的 元过 个月后便成为 元. 因此,第二年年初可存款: = . ⑶分期付款应用题: 为分期付款方式贷款为a元;m为m个月将款全部付清; 为年利率. 5. 数列常见的几种形式: ⑴ (p、q为二阶常数) 用特证根方法求解. 具体步骤:①写出特征方程 ( 对应 ,x对应 ),并设二根 ②若 可设 ,若 可设 ;③由初始值 确定 . ⑵ (P、r为常数) 用①转化等差,等比数列;②逐项选代;③消去常数n转化为 的形式,再用特征根方法求 ;④ (公式法), 由 确定. ①转化等差,等比: . ②选代法: . ③用特征方程求解: . ④由选代法推导结果: . 6. 几种常见的数列的思想方法: ⑴等差数列的前 项和为 ,在 时,有最大值. 如何确定使 取最大值时的 值,有两种方法: 一是求使 ,成立的 值;二是由 利用二次函数的性质求 的值. ⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前 项和可依照等比数列前 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: ⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,公差是两个数列公差 的最小公倍数.    2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证 都成立。 3. 在等差数列{ }中,有关Sn 的最值问题:(1)当 >0,d

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