13.3等腰三角形例题与讲解(2013-2014学年新人教版大八年级上).doc

‎13.3　等腰三角形 ‎1．等腰三角形 ‎(1)概念：有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两边叫腰，另一条边叫底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．‎ ‎(2)理解：①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大于第三边等．②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点也是研究它的重要方法．‎ 破疑点 等腰三角形有关概念的认识　(1)对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和错误的地方；(2)等腰三角形顶角可以是直角，是钝角或锐角，而底角只能是锐角．‎ ‎【例1】 等腰三角形两边长分别是‎5 cm和‎11 cm，则它的周长是(　　)．‎ A．‎27 cm B．‎‎22 cm C．‎27 cm或‎22 cm D．无法确定 解析：边长为‎5 cm的边可能是底，也可能是腰，当‎5 cm的边是底边时，腰长为‎11 cm，所以周长为‎27 cm，当‎5 cm的边是腰时，则底边长为‎11 cm，因为5＋5＜11，所以构不成三角形，因此只有一种情况，周长为‎27 cm.故选A.‎ 答案：A ‎2．等腰三角形性质1‎ ‎(1)性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．‎ ‎(2)理解：这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便．‎ ‎(3)适用条件：必须在同一个三角形中．‎ ‎(4)应用模式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.‎ ‎【例2－1】 已知等腰三角形的一个角为40°，则其顶角为(　　)．‎ A．40° B．80°‎ C．40°或100° D．100°‎ 解析：因为并未说明等腰三角形中40°的角是顶角还是底角，所以需要对角进行分类讨论．①当40°的角是底角时，则顶角的度数为：180°－40°×2＝100°；②当40°的角是等腰三角形的顶角时，则顶角的度数为40°.所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°，故选C.‎ 答案：C 哦，不指明是底角还是顶角时，要分类讨论，还要看三角形内角和是否是180°啊！‎ ‎【例2－2】 如图，AD、BC相交于O，AB∥CD，OA＝OB，求证：∠C＝∠D.‎ 分析：由等腰三角形的性质易得∠A＝∠B，由平行线的性质可得∠A＝∠D，∠B＝∠C，等量代换即得∠C＝∠D.‎ 证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.‎ ‎∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.‎ ‎∴∠C＝∠D.‎ ‎3.等腰三角形性质2‎ ‎(1)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质．‎ ‎(2)含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际上是一组定理，应用过程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一线”，就可以说明是其他的“两线”，性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系，所以应用非常广泛．‎ ‎(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．‎ ‎(4)应用模式：如图，在△ABC中，‎ ‎①∵AB=AC，AD⊥BC，‎ ‎∴AD平分∠BAC(或BD=CD)；‎ ‎②∵AB＝AC，BD＝DC，‎ ‎∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；‎ ‎③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，‎ ‎∴BD＝DC(或AD⊥BC)．‎ 解技巧 “三线合一”的应用　因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质实际的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活．‎ ‎【例3】 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，交BC于D，BD＝‎5 cm，求底边BC的长．‎ 分析：因为是等腰三角形，所以底边上的高也是底边上的中线，所以BC＝2BD，即可求出BC的长．‎ 解：因为AB＝AC，AD⊥BC，‎ 所以BC＝2BD＝2×5＝10(cm)．‎ 答：底边BC的长是10 cm.‎ ‎4．等腰三角形的判定 ‎(1)判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．‎ ‎(2)与性质的关系：判定定理与性质定理是互逆的，性质：→；‎ 判定：→.‎ ‎(3)理解：性质和判定应用的前提都是在同一三角形中，并且不经过三角形全等的证明，直接由等边得等角或由等角得等边，所以应用起来更简单、便捷．‎ 破疑点 等腰三角形的判定方法的理解 教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有两种：一是判定定理；二是定义．另外还有很多方法，如在同一个三角形中，三线中两线重合，也能说明是等腰三角形．但不常用，一般是通过推理得出角相等或边相等，再得出是等腰三角形．‎ ‎【例4】 如图，BE平分∠ABC，交AC于E，过E作DE∥BC，交AB于D.试证明△BDE是等腰三角形．‎ 证明：∵DE∥BC，‎ ‎∴∠EBC＝∠DEB.‎ ‎∵BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠DBE＝∠EBC.‎ ‎∴∠DBE＝∠DEB.‎ ‎∴BD＝DE，即△BDE是等腰三角形．‎ ‎5．等边三角形的概念和性质 ‎(1)等边三角形 ‎①概念：三边都相等的三角形是等边三角形．‎ ‎②认识：它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质．‎ ‎(2)性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.‎ ‎(3)拓展：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它三边相等，三个内角相等，各边上的高、中线，对应的角平分线重合，且长度相等．‎ ‎【例5】 如图，点M、N分别在等边△ABC的边BC、AC上，且BM＝CN，AM、BN交于点Q.求证：∠BQM＝60°.‎ 证明：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠BCA＝60°.‎ 在△ABM和△BCN中，‎ ‎∴△ABM≌△BCN(SAS)．‎ ‎∴∠BAM＝∠CBN.‎ ‎∴∠BQM＝∠BAM＋∠ABN ‎＝∠CBN＋∠ABN＝∠ABC＝60°.‎ ‎6．等边三角形的判定 ‎(1)判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．‎ ‎(2)判定方法：等边三角形的判定方法有三种：一是定义，另运用两个定理．‎ ‎(3)拓展理解：对于判定定理①，有时候在一个三角形中只要有两个角是60°也可判定是等边三角形．‎ 解技巧 巧用条件证明等边三角形　在证明三角形是等边三角形时，根据所给已知条件确定选择用哪个方法证明．若已知三边关系，一般选定义法；若已知三角关系，一般选判定定理①；若已知该三角形是等腰三角形，则选判定定理②.‎ ‎【例6】 如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．‎ 解：△APQ是等边三角形．‎ 理由：‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB＝AC，∠BAC＝60°.‎ 在△ABP和△ACQ中，‎ ‎∴△ABP≌△ACQ(SAS)．‎ ‎∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.‎ ‎∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠CAP＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAC＝60°.‎ ‎∴△APQ是等边三角形．‎ ‎7．含30°角的直角三角形的性质 ‎(1)性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．‎ ‎(2)应用模式：在Rt△ABC中，‎ ‎∵∠C＝90°，∠B＝30°，‎ ‎∴AC＝AB.‎ ‎(3)理解：①该性质是含有30°角的特殊的直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用；②这个性质主要应用于计算或证明线段的倍数关系；③该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．‎ 解技巧 巧用含30°角的直角三角形的性质　在有些题目中，若给出的角是15°角时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两内角和将15°的角转化为30°的角后，再利用这个性质解决问题．‎ ‎【例7】 如图，∠C＝90°，D是CA的延长线上一点，∠D＝15°，且AD＝AB，则BC＝__________AD.‎ 解析：∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠D＝15°.‎ ‎∴∠BAC＝30°.‎ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，‎ ‎∴BC＝AB＝AD.‎ 答案： ‎8．等腰三角形性质和判定的综合应用 类似于全等三角形的性质和判定的关系，等腰三角形的性质和判定很多时候也是综合运用的．‎ 一方面等腰三角形是特殊的三角形，由等腰三角形性质，可以知道许多相等的线段，相等的角，还能知道垂直关系，成倍数关系的线段或角，所以有时通过判定是等腰三角形来证明角相等、线段相等或垂直关系等；另一方面通过等腰三角形性质和判定的运用，直接由线段相等得到角相等，由角相等到线段相等，省去了全等的证明，简化了过程，因此很多时候，等腰三角形性质和判定的应用更广泛．注意：等腰三角形性质和判定的应用前提是在同一个三角形中．‎ ‎【例8】 如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是BC边上的高，求证：CD＝AB＋BD.‎ ‎ ‎ 图1 　　　图2‎ 证明：如图2，在DC上截取DE＝BD，连接AE，‎ 又∵AD是BC边上的高线，‎ ‎∴AD垂直平分BE.‎ ‎∴AB＝AE，‎ ‎∴∠B＝∠AED.‎ ‎∵∠AED＝∠C＋∠CAE，‎ ‎∠B＝2∠C，‎ ‎∴∠C＋∠CAE＝2∠C.‎ ‎∴∠CAE＝∠C.‎ ‎∴AE＝CE.‎ ‎∴AB＝CE.‎ ‎∴CD＝AB＋BD.‎ ‎9.巧用“三线合一”性质解题 ‎(1)性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”性质；‎ ‎(2)应用：它是等腰三角形特有的性质，这条线段是中线、高，也是角平分线，它包含有线段相等、角相等、垂直等关系，涉及量多，应用广泛，是证明线段相等、线段的倍数关系、角相等、角的倍数关系、垂直等常用的方法．‎ 构造“三线合一”解决等腰三角形问题　在等腰三角形问题中，最常添加的辅助线就是作底边上的高，或作顶角的平分线，或作底边上的中线，这样就可以由其中一线得到其他两线，从而知道更多的条件，以便更好地完成计算、证明．‎ ‎【例9】 已知：如图a所示，△ABC中，AB＝AC，BF是AC边上的高，求证：∠FBC＝∠BAC.‎ ‎ ‎ 图a 　　图b 证明：如图b，过A点作BC的垂线，垂足为E，‎ 则∠CAE＋∠C＝90°，∵AB＝AC，‎ ‎∴AE平分∠CAB，‎ 即∠CAE＝∠BAC.‎ ‎∵BF是AC边上的高，‎ ‎∴∠FBC＋∠C＝90°.‎ ‎∴∠CAE＝∠FBC.‎ ‎∴∠FBC＝∠BAC.‎ ‎10.等边三角形的应用 等边三角形也称正三角形，它是最特殊的三角形，它除了三边相等，三个内角相等，且每个角都是60°外，还具有很多特殊的性质：如，证明两个等边三角形全等只要有一边相等即可；同一个等边三角形的高、中线、角平分线都相等，并且任何一条高(或中线、顶角的平分线)将等边三角形都分成全等的两个含有30°角的直角三角形；它的高和边长也存在着特殊的比例关系，因此已知是等边三角形，就可以知道其中的许多等量关系．‎ 等边三角形的判定也具有自己独特的特点，可以由普通三角形满足条件直接判定，也可以在等腰三角形的基础上进行判定．‎ ‎【例10】 (学科内综合题)如下图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线分别交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE＝EF＝FC的道理．‎ 证明：如下图，分别连接OE、OF，‎ ‎∵E、F分别是OB、OC垂直平分线上的点，∴OE＝BE，CF＝OF.‎ ‎∴∠OBE＝∠BOE.‎ ‎∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.‎ ‎∵OB平分∠ABC，‎ ‎∴∠OBE＝∠ABC＝×60°＝30°.‎ ‎∴∠OEF＝∠OBE＋∠BOE＝60°.‎ 同理∠OFE＝60°，‎ ‎∴△OEF为等边三角形．‎ ‎∴OE＝OF＝EF.∴BE＝EF＝FC.‎ ‎11．面积法证明等腰三角形的性质 面积法是解决几何问题常用的一种的方法，它巧妙地运用面积之间的关系，通过计算的方式，求线段的长度，或用来证明线段之间的数量关系，有时它比运用线段之间的等量关系证明、计算更简捷，更巧妙，因而在特定条件下能出奇制胜，是一种很好的方法．‎ 面积法的运用，一般以同一个三角形的面积是相等的为基础，运用不同求法，即底不同、高不同、但面积都等于底×高的一半，或将一个图形分解成不同的图形来求面积，但面积之和相等．通过面积相等联系起各量之间的关系，再运用等式的性质，通过化简求出某些线段的长，或计算出某些线段之间的数量(如比例)关系．‎ 解技巧 巧用面积法证明线段的关系　因为直角三角形的特殊性，所以面积法最常用在直角三角形中求斜边上的高，有时也用在等腰三角形中证明线段相等或求线段的和．‎ ‎12．等腰三角形中的“二推一”模式应用 在等腰三角形问题中，“等边、角平分线(等角)、平行”是出现最多，最常见的数量与位置关系，若这三个关系出现在同一图中，一般以其中任意两个条件为题设，推导、证明出第三个条件成立，因此我们称它为等腰三角形中的“二推一”．‎ ‎(1)基本图形：等腰三角形中的“二推一”一般有两种情况，一种是角平分线在外，要用到一个外角等于和它不相邻的两内角和；另一种是角平分线在内，基本图形如图①和图②所示，‎ 演变图形类型较多，主要有以下几种：‎ ‎(2)方法：通过角相等作为纽带，将线段相等、线段平行联系起来，在此过程中要用到等量代换得出的角相等，方式一般是：‎ →→；‎ →→.‎ ‎【例11】 如图1，已知，在△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，G为底边BC上任一点，GF⊥AB，GE⊥AC，垂足分别为F、E.‎ 求证：GF＋GE＝BD.‎ 分析：要证明BD＝GF＋GE，按常规思路将BD分成两段，如图2，证明BH＝GF，DH＝GE.所以过G作BD的垂线，通过证明三角形全等和判定是矩形完成，既复杂又超出现在所学，但用面积法却简单得多．如图3，连接AG，运用面积法，分别表示出△ABG和△ACG的面积，由于同一三角形面积是相等的，所以S△ABC＝S△ABG＋S△ACG，所以AB·GF＋AC·GE＝AC·BD，由于AB＝AC，经过等量代换和化简即可得到GF＋GE＝BD.‎ 证明：连接AG，如图3，则S△ABC＝S△ABG＋S△ACG＝AB·GF＋AC·GE，‎ ‎∵AB＝AC，∴S△ABC＝AC·(GF＋GE)．‎ 又∵S△ABC＝AC·BD，‎ ‎∴AC·(GF＋GE)＝AC·BD.∴GF＋GE＝BD.‎ ‎【例12－1】 如图，在△ABC中，∠CAE是△ABC的外角，在下列三项中：①AB＝AC；②AD平分∠CAE；③AD∥BC，选择其中两项为题设，另一项为结论，组成一个真命题，并证明．‎ 分析：任意两项组合，第三项当结论组成命题都成立，都是真命题．以①②为题设，以③为结论为例．‎ 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.‎ ‎∵∠CAE＝∠B＋∠C，∴∠C＝∠CAE.‎ ‎∵AD平分∠CAE，∴∠DAC＝∠CAE.‎ ‎∴∠C＝∠DAC，∴AD∥BC.‎ ‎【例12－2】 如图，已知△ABC中，AC＋BC＝24，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，MN过O点，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为___．‎ 解析：因为AO是∠BAC的角平分线，‎ 所以∠BAO＝∠CAO.‎ 因为MN∥BA，所以∠BAO＝∠AON.‎ 所以∠CAO＝∠AON.所以AN＝ON.‎ 同理BM＝OM，‎ 所以△CMN的周长＝CN＋CM＋MN＝CN＋CM＋ON＋OM＝CN＋CM＋AN＋BM＝AC ‎＋BC＝24.‎ 答案：24‎ ‎【例12－3】 如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BO、CO相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，△OEF的周长＝10，求BC的长．‎ 解：∵OE∥AB，∴∠BOE＝∠ABO.‎ ‎∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBE.‎ ‎∴∠BOE＝∠OBE.∴BE＝OE.‎ 同理可得CF＝OF，∵△OEF的周长＝10，‎ ‎∴BC＝BE＋EF＋CF＝OE＋EF＋OF＝10.‎ 即BC的长为10.‎