第3章 勾股定理
★知识梳理：
1．会运用勾股定理解决简单问题．
2．会运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形．
★预习练习：
1．常见勾股数有：3、 、 ；5、 、 ；6、 、 ；
7、 、 ；8、 、 ；9、 、 ；
2．下列各组数为勾股数的是( )
A．6，12，13 B．3，4，7 C．4，7. 5，8.5 D．8，15，16
3．若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的( )
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
4．下列说法中，不正确的是( )
A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形
B．三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形
C．三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形
D．三边长度之比为9：40：41的三角形是直角三角形
5．三角形的三边长满足关系(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
6．若△ABC的三边长满足a2＝b2＋c2，则△ABC是____三角形且∠ =90°．
7．某直角三角形的周长为30，且一条直角边长为5，求另一条直角边的长．
4
★例题：
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，DE是AB边的垂直平分
线，垂足为D，交BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为…………………( )
A．16 B．15
C．14 D．13
☆点评：本题考查了勾股定理和线段的垂直平分线的性质定理．
2．如图，是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1．
（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，
求它所行走的最短路线的长．
（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒长度的为多少？
解：（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图所示，由勾股定理
计算出AG2的值分别为 、 、 ，比较后得AG2最小为 ．
即最短路线的长是 ．
（2）如图，AG2＝AC2＋CG2＝AB2＋BC2＋CG2＝42＋22＋12＝21．
☆点评：把题中的长方体变成正方体或圆柱时，找直角三角形运用勾股定理
3．一个三角形三条边长的比为5：12：13，且周长为60 cm，求它的面积．
4
4．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，其中a、c的面积分别为5和11．
求正方形b的面积．
☆点评：正方形的面积就是边长的平方，此题综合考查了勾股定理及三角形全等的知识．
★巩固练习：
1．在Rt△ABC中，已知两边的边长分别为6和8，则三角形第三边的长为_______．
2．Rt△ABC两直角边的长分别为6 cm和8 cm，则连接这两条直角边中点的线段长为( )
A．10 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
3．已知x、y为正数，且=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三
角形，那么这个直角三角形的斜边长_______．
4．在△ABC中，若三条边的长度分别为9，12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四
边形的面积是_______．
5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，正方形A、B、C的面积分别是8 cm2、10 cm2、14 cm2，则正方形D的面积是_______cm2．
第5题图
第6题图
6．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，
则筷子露在杯子外面的长度至少为_______厘米．
4
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝25，点D在BC上，AD＝24，BD＝7．
AD平分∠BAC吗？请说明理由．
8．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为6m、8 m．现
要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边长的直角三角形．
求：扩建后的等腰三角形花圃的面积．
解：
4
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