生活中的变量关系
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2013年秋北师大版必修1示范教案2.1生活中的变量关系.doc

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资料简介
第二章 函 数 通过本章的学习,使学生关注现实,了解函数、映射等知识产生的背景.发展对变量的认识,了解现实世界充满变量间的相互依赖关系.通过操作和思考,感受抽象出函数概念的过程和方法.理解函数和映射等概念的本质,并掌握函数的单调性等性质.在初中学习的基础上,能熟练地说出二次函数图像的大小、位置和单调性、最大(小)值等性质.对幂函数和函数的奇偶性有所了解.使学生能借助图像想象出函数的单调性、奇偶性等性质,也能用解析式的特点抽象地得出函数的性质,能熟练地对二次函数配方,会用解析式证明函数的单调性和奇偶性,能根据需要对各种函数的解析式作变形,会对一些有关函数的应用题求解,会对有关数据作相应的处理.培养学生提出、分析、解决问题的能力,表达交流的能力,独立获取数学知识的能力,同时发展学生的应用意识、创新意识和数学地思考问题的意识.引导学生形成批判性、崇尚理性的思维习惯,体会数学美,树立辩证唯物主义的世界观.引导学生热爱数学,帮助他们建立学好数学的信心,并具有一定的数学视野;使其树立坚韧不拔的态度和崇尚科学的理性精神,强化对真善美的追求.‎ 在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图像、性质等.本章学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高.‎ 在章头语里,把函数的地位和意义作了简单说明.有作为背景的意图,也是想让学生在无形中想到曲线、图像和函数.本书从高速公路的里程和加油站的思考引入,一方面,让学生认识现实中处处充满变量间的依赖关系,另一方面,希望学生能由此及彼想到邮局、机场等实例.函数概念从实际引入,让学生在现实情境中体验和理解数学.函数是核心概念,初中讲了,高中还要深化.它将贯穿整个高中阶段,希望使学生遇到问题的时候,马上会有一种想到函数的潜意识产生.这种意识和函数观点是至关重要的.教材对函数概念,努力改变过去把因变量叫作自变量的函数的做法,而明确提出把对应关系f叫作函数.只是为了与学生过去的认识接轨,才又补充说:习惯上我们称y是x的函数.教材中,提到函数的时候,必须要说明函数的定义域.但是,教材有意弱化了求定义域和值域的技巧,不在这里浪费学生过多时间.本教材力图突出本质,而不在技巧上下更多工夫.考虑到分段函数在实际中会经常出现,明确给出了“分段函数”的概念.一般到特殊、特殊到一般,都是人类创造的重要思维方法,都很重要,只是要根据所遇到的具体情况而决定选用哪一种.考虑到与初中知识的衔接,同时又考虑到学生的认知次序,在函数概念和映射概念的处理上,特意先给出函数的概念再引出映射概念,从特殊到一般地安排了这段教材.在函数性质中,教材突出了更具本质的单调性,而弱化了函数的奇偶性.如前所说,我们没有把奇偶性专门列出一节,而是把它和幂函数放在了一起.有意把幂函数留了个尾巴到下一章,意在顺理成章.因为,此前学生只有整数幂,而分数指数幂、无理数指数幂在下章出现,所以,到下一章再重复一下幂函数,也十分自然.‎ 本章教学时间约需9课时,具体分配如下(仅供参考):‎ ‎§1‎ 生活中的变量关系 约1课时 ‎2.1‎ 函数概念 约1课时 ‎2.2‎ 函数的表示法 约1课时 ‎2.3‎ 映射 约1课时 ‎§3‎ 函数的单调性 约1课时 ‎4.1‎ 二次函数的图像 约1课时 ‎4.2‎ 二次函数的性质 约1课时 ‎§5‎ 简单的幂函数 约1课时 本章复习 约1课时 ‎§1 生活中的变量关系 教学分析     ‎ 在学生学习用集合语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系.生活中的变量关系一节,从高速公路的实例引入,“思考交流”则引导学生对类似的情境,如邮局、机场等进行思考并与同伴交流.安排了函数关系与非函数关系的对比.教学中一定要注意以人为本,要尊重学生,为了学生,调动学生参与到教学中.‎ 值得注意的是在本节的教学中,一定要给学生“留白”,即为学生留下必要的时间和空间让其自主地活动.当然,学生的数学活动必须以学生的思维为基础,可以是动手实践,也可以是平静的思考.思维,必须以学生独立的悟为前提,在独立思考的前提下,再强调必须与同伴的交流与合作;思维,必须以抓住知识的本质为目的,不能只求热闹.对教材中的“思考交流”应该组织学生进行讨论,不能一说而过.‎ 三维目标     ‎ ‎1.通过公路上的实际例子,引起积极的思考和交流,从而使学生认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系.‎ ‎2.能够利用初中对函数的认识,了解依赖关系中有的是函数关系,有的则不是函数关系.培养学生广泛的联想能力,树立热爱数学的态度.‎ 重点难点     ‎ 区分生活中的变量关系是否为函数关系.‎ 课时安排     ‎ ‎1课时 导入新课     ‎ 思路1.现实世界中充满了变化,静止是相对的,运动是永恒的.我们的生活中存在着各种各样的变量关系,其中函数关系是描述这种变化的重要数学模型,也是数学的基本概念,函数思想是研究问题的重要数学思想之一.今天我们学习如何确定函数关系,教师引出课题.‎ 思路2.人的体重和身高是函数关系吗?小麦的亩产量与亩施肥量是函数关系吗?正方体的体积和棱长是函数关系吗?如何判断呢?这就是本节课学习的内容,教师引出课题.‎ 推进新课     ‎ (1)说出初中所学函数定义?‎ (2)如何确定两个变量之间是函数关系?‎ 讨论结果:(1)函数定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数,y是因变量.‎ ‎(2)定义法:当且仅当变量x每取一个值,另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时,变量x,y之间具有函数关系,并且,y是x的函数.‎ 思路1‎ 例1 我国自1998年开始建设高速公路,全国高速公路通车总里程,于1998年底,位居世界第八;1999年底,位居世界第四;2000年底,位居世界第三;2001年底,超过了加拿大,跃居世界第二位.(如下表)‎ ‎1988—2001年全国高速公路总里程 单位:千米 年份 ‎1988‎ ‎1989‎ ‎1990‎ ‎1991‎ ‎1992‎ ‎1993‎ ‎1994‎ 总里程 ‎147‎ ‎271‎ ‎522‎ ‎574‎ ‎652‎ ‎1 145‎ ‎1 603‎ 年份 ‎1995‎ ‎1996‎ ‎1997‎ ‎1998‎ ‎1999‎ ‎2000‎ ‎2001‎ 总里程 ‎2 141‎ ‎3 422‎ ‎4 771‎ ‎8 733‎ ‎11 605‎ ‎16 314‎ ‎19 453‎ 根据表内数据作图(如图1).‎ 问:‎ ‎(1)高速公路里程数是年度的函数吗?‎ ‎(2)高速公路里程数与年度的变化有什么特点?‎ 活动:学生回顾函数的定义及确定函数关系的方法,教师适当提示或点拨.‎ 解:不难看出:‎ ‎(1)高速公路里程数随年度的变化而变化.所以,高速公路里程数可以看成因变量,年度看成自变量,从而高速公路里程数是年度的函数.‎ ‎(2)从1988年到2001年,里程数是不断增加的,其中从1999年到2000年增长得最快.‎ 点评:本题主要考查函数的定义.‎ 变式训练 一辆汽车在高速公路上行驶的过程中,请指出哪些变量是时间的函数.‎ 解:一辆汽车在高速公路上行驶的过程中,每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应.行驶路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化,故行驶路程是时间的函数.同样,汽车的速度、耗油量也是时间的函数.‎ 例2 图2是某高速公路加油站的图片,加油站常用圆柱体储油罐储存汽油.储油罐的长度d、截面半径r是常量;油面高度h、油面宽度ω、储油量v是变量.这些变量中,请指出哪两个具有依赖关系,哪两个变量具有函数关系.‎ 图2‎ 活动:学生结合生活经验思考.教师可提示,也可介绍相关知识.‎ 解:储油量v与油面高度h存在着依赖关系,储油量v与油面宽度ω也存在着依赖关系.‎ 并非有依赖关系的两个变量都有函数关系.只有满足对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有唯一确定的值时,才称它们之间有函数关系.对于油面高度h的每一个取值,都有唯一的储油量v和它对应,所以,储油量v是油面高度h的函数.而对于油面宽度ω的一个值可以有两种油面高度和它对应,于是可以有两种储油量v和它对应,所以,储油量v不是油面宽度ω的函数.‎ 点评:本题主要考查依赖关系和函数关系及其区别.由本题可见,函数关系一定是依赖关系,而依赖关系不一定是函数关系.‎ 变式训练 ‎1.进一步分析上述储油罐的问题,讨论:‎ ‎(1)还有哪些常量?哪些变量?‎ ‎(2)哪些变量之间存在依赖关系?‎ ‎(3)哪些依赖关系是函数关系?哪些依赖关系不是函数关系?‎ 解:(1)常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等,变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等;‎ ‎(2)依赖关系有:储油量和油的体积,储油量和圆柱底面上的弓形面积,油的体积和油面宽度;‎ ‎(3)储油量是油的体积的函数,油的体积也是储油量的函数,储油量是圆柱底面上的弓形面积的函数,油的体积不是油面宽度的函数.‎ ‎2.请列举一些与公路交通有关的函数关系.‎ 解:如修路中所花的费用和所修公路长度是函数关系等.‎ ‎3.请思考在其他情境下存在的函数关系,例如邮局、机场等.‎ 解:在邮局中,邮资是邮件重量的函数等.在机场,飞机票价是路程的函数等.‎ 思路2‎ 例1 在学校里你能发现哪些函数关系?‎ 活动:仔细观察,联系学校中老师、学生、师生的生活、校内物品等.‎ 解:(1)学生的学号是学生的函数;‎ ‎(2)教学任务是老师的函数;‎ ‎(3)学校的用电量是时间的函数,用水量也是时间的函数.‎ 点评:本题考查观察能力及发现问题、分析问题的能力.‎ 变式训练 ‎1.已知集合A={1,2,3,4,5},集合B={2,4,6,8}.集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量,B中的元素为因变量,能形成函数吗?‎ 答案:不能.因为A中的元素5的2倍为10,并没有在集合B中.‎ ‎2.在矩形中,若面积值作为自变量,其中一边长为因变量,能形成函数吗?‎ 答案:不能.因为面积一定时,其中一边的长不确定.‎ ‎3.某人骑车的速度是20千米/时.他骑1.5小时,走的路程是多少?你能写出时间与路程的函数吗?‎ 答案:1.5小时走的路程是20×1.5=30(千米).设时间为t,路程为s,则s=20t(t≥0).‎ ‎4.由下列式子是否能确定y是x的函数?‎ ‎(1)x2+y2=2;‎ ‎(2)+=1;‎ ‎(3)y=+.‎ 解:(1)由x2+y2=2,得y=±,因此由它不能确定y是x的函数;‎ ‎(2)由+=1,得y=(1-)2+1,‎ 所以当x在{x|x≥1}中任取一值时,‎ 由它可以确定一个唯一的y与之对应,‎ 故由它可以确定y是x的函数;‎ ‎(3)由得x∈,‎ 故x无值可取,y不是x的函数.‎ 例2 新华网北京‎2006年3月24日电:中国卫生部24日通报,上海市确诊一例人感染高致病性禽流感病例,患者‎3月13日发病,后因病情加重,经抢救无效,于‎3月21日死亡.为了更好地对付禽流感病毒,某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据检测,服药后每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间近似满足图3所示的曲线关系.请根据图3中给出的变化曲线,试判断每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间是否构成函数关系.‎ 图3‎ 解:时间的变化范围是数集A={x|x≥0},每毫升血液中含药量y(毫克)的变化范围是数集B={y|4≥y≥0},并且,对于数集A中的每一个时间x,按照图中的曲线,数集B中都有唯一确定的y与它相对应.‎ 所以每毫升血液中含药量y(毫克)是时间x(小时)的函数.‎ 点评:本题主要考查实际问题中的函数关系.‎ 变式训练 从20世纪70年代开始,我国就致力于控制人口过快增长,并逐步制定和完善了严格控制人口增长的政策措施.2002年我国颁布了第一部《人口与计划生育法》,将计划生育从一项基本国策上升为国家法律.根据国家统计局普查资料显示,我国人口再生产类型已经转入低生育、低死亡、低增长的发展阶段,进入了世界低生育水平国家行列.2005年底,我国总人口为13.075 6亿人,约占世界人口的20.12%.自实行计划生育以来,全国累计少生人口近3.1个亿.‎ 图4‎ 请根据图4中给出的我国人口出生率变化曲线,试判断我国人口出生率p和时间t(年)是否构成函数关系.‎ 解:时间t的变化范围是数集A={t|t≥1950},我国人口出生率p的变化范围是数集B={p|p≥0},并且,对于数集A中的每一个时间t,按照图中的曲线,数集B中都有唯一确定的p与它相对应,所以我国人口的出生率p是时间t(年)的函数.‎ ‎1.自由落体运动中,有哪几个常量,哪几个变量?这些变量之间有怎样的关系?‎ 答案:常量有:自由落体的质量和重力加速度;‎ 变量有:时间t、速度v和位移s,其中,速度依赖时间变化,关系是v=gt;位移也依赖时间变化,关系是s=gt2.‎ ‎2.银行的存款利息表算不算函数?‎ 答案:是函数关系.‎ 思考:字母一定是变量吗?‎ 探究:一般地,在研究一个问题的变化过程中,变量通常是一个字母,也就是说,只有字母才可以取不同的值来表示不同的量,那就是变量.但能否这样说,在变化过程中,字母就一定是变量呢?答案是否定的.‎ 例如,我们所熟悉的二次函数y=ax2(a≠0),它表示y与x之间存在依赖关系,这时,x、y都是变量,它表示的是y关于x的函数.虽然函数随着a的变化而表示不同的函数,但它是二次项的系数,是一个常量.‎ 如果把y=ax2看作表示y与a只存在依赖关系,则y=ax2=x‎2a在x≠0时是一个y关于a的一次函数,这里y,a是变量,x是常量.‎ 本节课学习了:用定义法判断变量之间的函数关系.‎ 习题2—1 A组1,2.‎ 本节课内容比较简单,在设计过程中,注重了与下节函数概念的联系.‎ ‎[备选例题]‎ ‎【例1】 下表展示了我国从1998年到2002年每年的国内生产总值.‎ 年份 生产总值(亿元)‎ ‎1998‎ ‎78 345‎ ‎1999‎ ‎82 067‎ ‎2000‎ ‎89 442‎ ‎2001‎ ‎95 933‎ ‎2002‎ ‎102 398‎ 观察上表,年国内生产总值是年份的函数吗?‎ 答案:是函数关系.‎ ‎【例2】 农业科学家研究玉米的生长过程,把生长过程分为32个时间段,通过实验得到了各时间段与植株高度之间的相关数据,如图5所示.‎ 图5‎ 观察上图,植株高度是时间的函数吗?‎ 答案:是函数关系.‎

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