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第七章 二元一次方程组
３．鸡兔同笼
一、 教材分析
《鸡兔同笼》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第七章《二元一次方程组》第三节.本节安排1个课时。借助"鸡兔同笼"这一中国古代名题，让学生经历列二元一次方程组解决实际问题的过程，进行根据实际问题情境列二元一次方程组的训练，强化方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.，同时将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体。当然，在题材的选择上，教科书注意了题材的现实性、科学性和趣味性；在题材的呈现顺序上，遵循了由易到难的原则，教学中，教师可以根据学生的生活实际和认知实际，选择更贴近学生实际的素材进行教学，此外，在教学过程中，教师应更多地关注学生的建模过程，关注学生是否能顺利地列出正确的二元一次方程组.
二、学情分析
l 学生的年龄特点和认知特点
初中二年级的学生，正处于少年期，已具备了初步的抽象、概括和分析问题解决问题能
力，要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志.鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的看法，以从中获得成功的体验，激发学习激情.
l 在学习本课之前，应具备的基础知识和基本技能
(1) 方程的思想;
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(1) 能整体地系统地审清题意，找出等量关系;
(2) 能从具体问题中的数量关系列出二元一次方程组;
(3) 熟练解二元一次方程组.
l 学习者对即将学习的内容已经具备的水平
(1) 本课是在学生已对一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组解法有了足够的认识的基础上来学习的，也学过了列一元一次方程解决实际问题，因此，大部分学生学习本课应该没有太大的困难的.
(2) 初二的学生已经初步的具备了初步的抽象、想象、逻辑思维能力，初步的分析问题和解决问题的能力.
三、教学目标
l 知识目标
1.在具体问题的解决过程中提高学生的解二元一次方程组的技能；
l 能力目标
1.使学生掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤，让学生亲自经历和体验运用方程（组）解决实际问题的过程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的抽象、概括、分析解决实际问题的能力;
l 情感目标
1.进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.
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2．通过"鸡兔同笼"，把同学们带入古代的数学问题情景，学生体会到数学中的"趣"；进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神；通过对祖国文明史的了解，培养学生爱国主义精神，树立为中华崛起而学习的信心.
l 教学重点
根据等量关系列二元一次方程组解应用题.
l 教学难点
1.读懂古算题;
2根据题意找出等量关系，列出方程.
四、 教学方式
采用"问题情境—建立模型—解释—应用与拓展"的模式展开教学.充分利用实际问题、古代的趣题，尽可能增加教学过程的趣味性、实践性；利用多媒体课件和实物等丰富学生的学习资源，生动活泼地展示所学内容；强调学生的动脑思考和主动参与，通过丰富多彩
的集体讨论、小组活动，以合作学习促自主探究.
五、 教学媒体和教学技术选用
本次教学需要实物教具：细绳一条；多媒体课件辅助教学.
实物教具和多媒体课件分别在本课"设立问题情境"，"建立模型"，"解释应用"，"拓展"，"感悟与收获"等环节中得到应用，它们的使用可以更好地帮助学生体会应用，使学生的学习资源更为丰富.
六、 教学活动过程
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（一）教学准备阶段
1.准备多媒体课件；制作"鸡兔同笼"、"以绳测井"等一系列图片、动画.
2.课前让学生准备细绳一条，以使他们体会什么是三折、四折等.
3.让学生查字典，认识"雉"字.
（二）整个教学过程叙述
本节课主要为数学教学活动，课题："鸡兔同笼"，共需1课时，40--45分钟完成.
根据以往经验，在本节课的第一环节"设立问题情境"容易出现障碍，此时要求学生在实际情境中，考虑怎么用两个未知数列方程组，解决实际问题。
（三）具体教学过程设计
本节课设计了五个教学环节：第一环节： 引入课题；第二环节：典型例题；第三环节：闯关练习；第四环节：反馈练习；第五环节：感悟和收获；第六环节：作业布置.
第一环节：引入课题
内容1：例1 今有雉（兔）同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
提问：（1）"上有三十五头"的意思是什么？"下有九十四足"呢？
（2）你能解决这个有趣的问题吗？
（说明：多媒体展示"鸡兔同笼"问题后，说明该问题是古代著名的"难题"，以此激发学生解决问题的好奇心；提出问题后，让学生先思考，后讨论，然后找学生说出他的解题思路,
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写出解题过程，让学生讨论对不对，有没有不同的思路和观点；最后在学生充分讨论的基础上，老师用多媒体课件，给出正确的答案.）
1.用一元一次方程求解
解：设有鸡x只，则有兔（35-x）只,得
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
所以有鸡23只，兔12只.
小结：一元一次方程解法优点： 思维便捷些.
一元一次方程解法不足：计算较复杂.
2.用二元一次方程求解：
解：设有鸡x只，兔y只，则
x+y=35, ①
2x+4y=94. ②
①×2,得 2x+2y=70 , ③
②－③,得 2y=24,
y=12,
把 y=12 代入①，得x=23.
所以有鸡23只，兔12只.
小结：用二元一次方程组解答优点：思维快速简单.
用二元一次方程组解答不足：计算复杂些.
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意图：体会解决鸡兔同笼问题的不同思维过程，通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点，从而感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组，思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性.
效果：这样，一方面在列方程组的建模过程中，强化了方程的模型思想，并通过比较，感受了列二元一次方程组的优越性，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力；另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能.
内容2：随堂练习1
列方程解古算题："今有牛五、羊二，值金十两；有牛二、羊五，值金八两.牛、羊各值金几何？
（在引例及例题的基础上，学生已基本掌握了列二元一次方程组解决实际问题的方法，此题可由学生独立完成.当然由于本题是古文，可以先找学生说出题目的大意：5头牛、2只羊共价值10两"金"，2头牛、5只羊共价值8两"金"，每头牛、每只羊各价值多少"金"？在题的结果上强调只要分数表示即可；要学生板书整个解题过程.）
解：设每头牛值"金" x 两，设每只羊值"金" y 两,则有方程：
5x+2y=10 , ①
2x+5y=8. ②
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①×2,得 10x+4y=20 , ③
②×5, 得 10x+25y=40 , ④
④-③, 得 21y=20,
解得 y=, 把 y= 代入②得：x=.
所以，每头牛值"金" 两，设每只羊值"金"两.
意图：让学生通过练习巩固列二元一次方程组解应用题的技能。
效果：学生能用方程的思想简化思维过程，解决同类古算题.
第二环节：典型例题
内容1： 例1 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？
提问：1."将绳三折测之，绳多五尺"，什么意思？[来源:学科网]
2."若将绳四折测之，绳多一尺"，又是什么意思？可以让学生演示.
（此时课堂讨论可能很热烈，要注意引导，在充分讨论的基础上，显示完整的解题过程.）
解：设绳长x尺，井深y尺，则
-y=5 , ①
-y=1. ② 联立①，②
①-②，得 -=4,
=4,
x=48,
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将 x=48 代入①，得 y=11.
答：绳长48尺，井深11尺.
内容2：小结列二元一次方程组解应用题的步骤
根据上面几例，总结列二元一次方程组解应用题的步骤：
1） 审清题意，设未知数;
2） 弄清各个量之间的关系，找出等量关系;
3） 列出方程，联立方程，得二元一次方程组;
4） 解二元一次方程组;
5） 作答.
并指出：列二元一次方程组解决实际问题的关键是，找出等量关系列方程.
意图：此例用于巩固例一中用列二元一次方程组解应用题的思想以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤.
效果：学生在列方程组的建模过程中，一方面强化了方程的模型思想和其优于算术方法的地方即简化了思维过程，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能.
内容3：随堂练习2
古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：
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隔壁听到人分银，
不知人数不知银.
只知每人五两多六两，
每人六两少五两，
问你多少人数多少银？
意图：熟练有关“以绳测井”类似应用题的求解.
效果：熟练了学生列方程组解应用题的步骤.
[来源:学。科。网]
第三环节：感悟和收获
内容：
1． 通过前面几个题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握的怎样？
2． 这里面应该注意的是什么？关键是什么？
3． 通过今天的学习，你能不能解决求两个量的问题？（可以用二元一次方程组解决的。
4． 列二元一次方程组解决实际问题的主要步骤是什么？
说明：通过以上四个问题，学生基本上掌握了列二元一次方程组解决实际问题的方法和步骤，可启发学生说出自己的心得体会及疑问.
意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化.
说明：还可以建议有条件的学生去读一读《孙子算经》，可以在网上查，找出自己喜欢的问题，互相出题；同位的同学还可互相编题考察对方；还可以设置"我为老师出难题"活动，每人编一道题，给老师，老师再提出："谁来帮我解难题"，以此激发学生的学习兴趣和信心。
第四环节：布置作业
习题7.4 1，2
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七、教学设计说明与反思
（1）设计理念
教师是学生学习的组织者、促进者、合作者，在本节的备课和教学过程中，教师要为学生的动脑思考，自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；尊重和自己意见不一致的学生，赞赏每一位学生对教科书的质疑和对自己的超越，尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，作学生健康心理、健康品德的促进者、引路人；通过恰当的教学方式引导学生学会自我调适，自我选择.学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的大脑去亲自探索，用自己的心灵去亲自感悟。教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程.当学生迷路的时候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登.
（2）突出重点、突破难点的策略
二元一次方程组是初二数学的重点，而"鸡兔同笼"是中国古代《孙子算经》中的一个
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有趣的问题，是用二元一次方程组解决实际问题的一个典型的例子.通过古代的"鸡兔同笼"问题，进行列二元一次方程组解决实际问题的训练，这样，一方面在列方程组的建模过程中，强化了方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能。本节通过几个现实的问题情景，进行二元一次方程组解决实际问题的训练.在题材的选择上，注意了题材的现实性、科学性和趣味性；在题材的呈现顺序上，遵循了由易到难的原则；在教学进程中，在建立方程思想的过程中采用了循序渐进的思路，由算术方法到一元一次方程再到二元一次方程组，遵照了学生的思维梯度逐步建立起学生的用二元一次方程解应用题的思想，充分感受它的优点和思维的简化；教学中，还根据学生的生活实际和任职实际，选择更贴近学生实际的素材进行教学，更多地关注学生的建模过程，关注学生是否能顺利地列出正确的二元一次方程组；在具体的古文理解过程中充分借助多媒体展示和实物演示形象化题目的概念.
（3）评价方式
（1）通过课堂观察，关注学生在探讨思考讨论等活动中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、强化、指导和矫正.
（2）通过提问，给学生更多机会，在自然放松的状态下，揭示思维过程和反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学效果.
（3）通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的教学效果.
（4）注意事项
学生在做作业时，个别学生对第一题的列方程组，仍然感觉困难。此类型题还需要老师多加引导.
附：板书设计
鸡 兔 同 笼
一、情境引入
（列二元一次方程组解应用题的必要性） 二、典型例题
例1.鸡兔同笼 （怎样列二元一次方程组解应用题）
（1）算术解法 例2 以绳测井
（2）一元一次方程解法 列二元一次方程组解应用题步骤……
（3）二元一次方程解法 练习2 学生板演
小结：各自优缺点……
练习1 学生板演 ……………….
三、闯关练习（临时性板书）
…………………
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课后反思：
1、本节课通过两道古代算题，引导学生对古代算题进行详细的分析与解决，通过解决问
题，帮助学生检视自我，树立方向，明了自己想要学什么，获得什么。培养了学生的分析
问题和解决问题的能力。
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