第一节不等式的性质及一元二次不等式
本节主要包括2个知识点：
1.不等式的性质；2.一元二次不等式.
突破点(一) 不等式的性质
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．比较两个实数大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔bb，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒acb＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd>0
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒0，>，故A项错误；对于B项，由ab2，故B项错误；对于C项，由aab，即－ab>－a2，故C项错误；对于D项，由a9；反之不成立，例如x1＝，x2＝20，x1＋x2＝>6，x1x2＝10>9，但x13且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的充分不必要条件．
[答案] (1)D (2)C (3)A
[方法技巧]
不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
(1)不等式成立问题．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
(2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．
(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB
解析：选B 由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
2.若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( )
A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n
C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m
解析：选D 法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．
法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．
3.若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中，成立的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C ∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①不成立．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0，故②成立．∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③成立．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④成立．成立的个数为3.
4.设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋>b＋”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为a＋－＝，若
a>b>1，显然a＋－＝>0，则充分性成立，当a＝，b＝时，显然不等式a＋>b＋成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立．
突破点(二) 一元二次不等式
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．三个“二次”之间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|xx2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
2.不等式ax2＋bx＋c>0(0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋cxz，故选C.
4．不等式组的解集是( )
A．(2,3) B.∪(2,3)
C.∪(3，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：选B ∵x2－4x＋30的解集为－，，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．
解析：依题意知，∴解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a>0，即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－61}，所以A∩B＝{x|1b⇒ac2>bc2 B.>⇒a>b
C.⇒> D.⇒>
解析：选C 当c＝0时，ac2＝0，bc2＝0，故由a>b不能得到ac2>bc2，故A错误；当c⇒a0⇔或故选项D错误，C正确．故选C.
3．已知a>0，且a≠1，m＝aa2＋1，n＝aa＋1，则( )
A．m≥n B．m>n C．m0，n>0，两式作商，得＝a(a2＋1)－(a＋1)＝aa(a－1)，当a>1时，a(a－1)>0，所以aa(a－1)>a0＝1，即m>n；当00，a≠1，都有m>n.
4．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞)
C．[－4,3] D．[－4,3)
解析：选B 不等式x2－2x－3≤0的解集为[－1,3]，假设的解集为空集，则不等式x2＋4x－(a＋1)≤0的解集为集合{x|x3}的子集，因为函数f(x)＝x2＋4x－(a＋1)的图象的对称轴方程为x＝－2，所以必有f(－1)＝－4－a>0，即a0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，＋∞) D.
解析：选A 由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范围为.
6．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选D 由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．∵x2－x＋1＝2＋≥，∴a2－a≤，解得－≤a≤，则实数a的最大值为.
二、填空题
7．已知a，b，c∈R，有以下命题：
①若
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