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幂函数教学设计(人教A版必修一)

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幂函数教学设计(人教A版必修一)

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教学设计
2.3 幂函数
整体设计
教学分析
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y= 等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性:当幂指数α>0时,幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1),且在第一象限内函数单调递增;当幂指数α<0时,幂函数的图象都经过点(1,1),且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.
将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x2,y=x-1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数:指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.
三维目标
1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生的概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣.
2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望.
3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力.
重点难点
教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.
教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1
1.如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系?根据函数的定义可知,这里p是w的函数.
2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.
3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a= ,这里a是S的函数.
5.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t-1 km/s,这里v是t的函数.
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?(右边指数式,且底数都是变量).
(适当引导:从自变量所处的位置这个角度)(引入新课,书写课题:幂函数).
思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:幂函数.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)给出下列函数:y=x,y= ,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数?
(2)根据(1),如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.
(3)我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?
(4)画出y=x,y= ,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.
 
(5)通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象?哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断?
(6)通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?
活动:考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示.
讨论结果:
(1)通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.
(2)由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
如y=x2,y= ,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.
(3)我们研究指数、对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.
(4)学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y= ,y=x2,y=x3,y=x-1的图象.
列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=
…    0 1 1.41 1.73 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=x3 … -27 -8 -1 0 1 8 27 …
y=x-1 … -13
-12
-1  1 12
13

描点、连线.画出以上五个函数的图象如图1.
 
图1
让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.
通过观察图象,完成表格.
 
(5)第一象限一定有幂函数的图象;第四象限一定没有幂函数的图象;而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数的定义域和奇偶性来判断.
(6)幂函数y=xα的性质.
①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因:1x=1);
②当α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数(从左往右看,函数图象逐渐上升).
特别地,当α>1时,x∈(0,1),y=xα的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.
当0<α<1时,x∈(0,1),y=xα的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.
③当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.
思路1
应用示例
例1 判断下列函数哪些是幂函数.
①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y= .
活动:学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.
解:①y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;
②y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
③y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;
④y= 的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数.
点评:判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.
变式训练
判别下列函数中有几个幂函数?
① ;②y=2x2;③ ;④y=x2+x;⑤y=-x3.
解:①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;
②的变量x2的系数为2,因此不是幂函数;
④的变量是和的形式,因此也不是幂函数;
⑤的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数.
例2 求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.
(1) ;(2) ;(3)y=x-2.
活动:学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法,一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.
解:(1)要使函数 有意义,只需y=3x2有意义,即x∈R.所以函数 的定义域是x∈R.又f(-x)=f(x),所以函数 是偶函数,它在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数.
(2)要使函数 有意义,只需y=12x3有意义,即x∈R+,所以函数 的定义域是R+,由于函数 的定义域不关于原点对称,所以函数 是非奇非偶函数,它在(0,+∞)上是减函数.
(3)要使函数y=x-2有意义,只需y=1x2有意义,即x≠0,所以函数y=x-2的定义域是x≠0,又f(-x)=f(x),所以函数y=x-2是偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.
点评:在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域;当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.
例3 证明幂函数f(x)=x在[0,+∞)上是增函数.
活动:学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性.
证明:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1-x2=(x1-x2)(x1+x2)x1+x2=x1-x2x1+x2,因为x1-x2<0,x1+x2>0,所以x1-x2x1+x2<0.所以f(x1)<f(x2),即f(x)=x在[0,+∞)上是增函数.
点评:证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x1)与f(x2)的符号要一致.
思路2
例1 函数y= 的定义域是(  )
A.{x|x≠0,或x≠2}        B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,0]∪[2,+∞)     D.(0,2)
解析:函数y= 化为y=1x2-2x,要使函数有意义需x2-2x>0,即x>2或x<0,所以函数的定义域为{x|x>2,或x<0}.
答案:B
变式训练
函数y= 的值域是(  )
A.[0,+∞)     B.(0,1]     C.(0,1)     D.[0,1]
活动:学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导.函数的值域要根据函数的定义域来求.函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域,这是复合函数求值域问题,利用换元法.
分析:令t=1-x2,则y=t,
因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以0≤t≤1.所以0≤y≤1.
答案:D
点评:注意换元法在解题中的应用.
例2 比较下列各组数的大小:
(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.
活动:学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.比较数的大小,常借助于函数的单调性.对(1)(2)可直接利用幂函数的单调性.对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.
解:(1)由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1.
(2)由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,在定义域内函数单调递减,又因为0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.
另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.
点评:指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性;底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.
知能训练
1.下列函数中,是幂函数的是(  )
A.y=2x     B.y=2x3     C.y=1x     D.y=2x
2.下列结论正确的是(  )
A.幂函数的图象一定过原点
B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数
C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数
D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数
3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是(  )
A.y=x3     B.y=x2     C.y=1x     D.
4.已知某幂函数的图象经过点(2,2),则这个函数的解析式为__________.
答案:1.C 2.D 3.A 4.
拓展提升
分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.
①y=x-1,y=x-2,y=x-3;② , ;
③y=x,y=x2,y=x3;④ , .
活动:学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.
解:利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2、图3,图4、图5.
   

图2                                 图3
    
图4                     图5
①观察图2得到:
函数y=x-1、y=x-2、y=x-3的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
②观察图3得到:
函数 、 的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.
③观察图4得到:
函数y=x、y=x2、y=x3的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间[0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,从第一象限来看,图象向上离y轴近,向下离x轴近.
④观察图5得到:
函数 、 的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间[0,+∞)上是单调增函数,指数越小图象上凸越大,从第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离y轴近,在点(1,1)的右边离x轴近.
根据上述规律可以判断函数图象的分布情况.
课堂小结
1.幂函数的概念.
2.幂函数的性质.
3.幂函数的性质的应用.
作业
课本习题2.3 1,2,3.
设计感想
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.
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历史上数学计算方面的三大发明
你知道数学计算方面的三大发明吗?这就是阿拉伯数字、十进制和对数.
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一直到18世纪,瑞士数学家欧拉(L.Euler,1707—1783)才发现了指数与对数的关系,他指出“对数源出于指数”,这个见解很快被人们所接受。

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