§2.3 数学归纳法（第二课时）
一、教学目标
1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．
2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．
3．抽象思维和概括能力进一步得到提高．
二、教学重点与难点
重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。
难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；
2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
教学过程：
教学过程:
1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般
2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.
3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.
完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.
4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kÎN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0
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时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
学生探究过程：数学归纳法公理；
用数学归纳法证明：当时．
数学运用
例1．设，．
（1）当时，计算的值；
（2）你对的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想．
解：（1）当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
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（2）猜想：当时，能被8整除．
①当时，有能被8整除，命题成立．
②假设当时，命题成立，即能被8整除，
那么当时，有
．
这里，和均为奇数，它们的和必为偶数，从而能被8整除．又依归纳假设，能被8整除，所以能被8整除．这就是说，当时，命题也成立．
根据（1）和（2），可知命题对任何都成立．
变式：求证当取正奇数时，能被整除。
证明：（1）时，，能被整除，命题成立。
（2）假设 (为正奇数)时，有能被整除,
当时，
∵以上两项均能被整除，∴能被整除，即当时命题仍成立。
由（1）、（2）可知，对一切正奇数，都有能被整除．
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例2．在平面上画条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点．问：这条直线将平面分成多少个部分？
解：记条直线把平面分成个部分，我们通过画出图形观察的情况：
从图中可以看出
，
，
，
，
．
由此猜想
．
接下来用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，结论均成立；
（2）假设当时，结论成立，即，
当时，第条直线与前面的条直线都相交，有个交点，这
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个交点将这条直线分成段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，
所以，结论也成立．
根据（1）和（2），可知对，均有，即．
例3．已知，求证：．
证明：（1）当时，，即时命题成立．
（2）假设当时命题成立，即，
当时，
故当时，命题成立．
由（1）和（2）可知，对，不等式都成立．
巩固练习：1. 证明对，成立．
2． 课本练习
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