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反证法教案(人教版高中数学选修1-2)

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反证法教案(人教版高中数学选修1-2)

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章节 2.2.2 课时 第三课时 备课人        二次备课人 
课题名称 反证法
三维目标 结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点.
重点目标 会用反证法证明问题;了解反证法的思考过程. 难点目标 根据问题的特点,选择适当的证明方法.
导入示标 1. 讨论:三枚正面朝上的硬币,每次翻转2枚,你能使三枚反面都朝上吗?(原因:偶次)
2. 提出问题: 平面几何中,我们知道这样一个命题:“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题?
3. 给出证法:先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点,
       则O在AB的中垂线l上,O又在BC的中垂线m上,
       即O是l与m的交点。
       但 ∵A、B、C共线,∴l∥m(矛盾)
       ∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.
目标三导 学做思一: 教学反证法概念及步骤:
① 练习:仿照以上方法,证明:如果a>b>0,那么
② 提出反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.
证明基本步骤:假设原命题的结论不成立 → 从假设出发,经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立,从而原命题的结论成立
应用关键:在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等).
方法实质:反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个命题与其逆否命题同真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实.
 注:结合准备题分析以上知识.
学做思二:教学例题:
① 出示例1:求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析:如何否定结论? → 如何从假设出发进行推理? → 得到怎样的矛盾?
与教材不同的证法:反设AB、CD被P平分,∵P不是圆心,连结OP,
则由垂径定理:OPAB,OPCD,则过P有两条直线与OP垂直(矛盾),∴不被P平分.
② 出示例2:求证 是无理数.  ( 同上分析 → 板演证明,提示:有理数可表示为 )
证:假设 是有理数,则不妨设 (m,n为互质正整数),
从而: , ,可见m是3的倍数.
设m=3p(p是正整数),则  ,可见n 也是3的倍数.
这样,m, n就不是互质的正整数(矛盾). ∴ 不可能,∴ 是无理数.
③ 练习:如果 为无理数,求证 是无理数.
提示:假设 为有理数,则 可表示为 ( 为整数),即 .
  由 ,则 也是有理数,这与已知矛盾.  ∴  是无理数.
  
达标检测 1. 练习:教材P54  1、2题
反思总结 小结:反证法是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围(“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题)

课后练习 作业:教材P54  A组3题.


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