知识讲解_余弦函数的图象与性质_提高
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知识讲解_余弦函数的图象与性质_提高

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时间:2020-06-09

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资料简介
1 余弦函数的图象与性质 【学习目标】 1.了解作余弦函数图象的三种方法,会用“五点法”作出余弦函数的图象; 2.理解余弦函数在区间 上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与 轴的交点等). 【要点梳理】 要点一:余弦函数图象的画法 1.描点法: 按照列表、描点、连线三步法作出余弦函数图象的方法。 2.几何法 利用余弦线作出余弦函数在 内的图象,再通过平移得到 的图象。 3.五点法 先描出余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点,再利用光滑曲线把这五点连接起来,就得到 余弦曲线在一个周期内的图象。 在 确 定 余 弦 函 数 在 上 的 图 象 形 状 时 , 起 关 键 作 用 的 五 个 点 是 要点诠释: (1)熟记余弦函数图象起关键作用的五点。 (2)若 ,可先作出余弦函数在 上的图象,然后通过左、右平移可得到 的图象。 (3)由诱导公式 ,故 的图象也可以将 的图象上所有点向左 平移 个单位长度得到。 要点二:余弦函数的性质 余弦函数 y=cosx 定义域:R 值域及最值:值域为[-1,1];当 时, ,当 时, 。 奇偶性:偶函数 周期性:最小正周期 单调区间: 增区间 k∈Z 减区间 k∈Z 对称中心: k∈Z 对称轴: k∈Z 要点诠释: (1)余弦函数的值域为 ,是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线,如果定义域不是全体实 数,那么余弦函数的值域就可能不是 ,因而求余弦函数的值域时,要特别注意其定义域. [ ]2 2k kπ π π+, ( ,0)2k ππ + ]2,0[ π x ]2,0[ π cosy x= cosy x= ]2,0[ π 3(0,1),( ,0),( , 1),( ,0),(2 ,1)2 2 π π π π− x R∈ ]2,0[ π cosy x= cos sin( )2y x x π= = + cosy x= xy sin= 2 π 2x kπ= max 1y = 2x kπ π= + min 1y = − 2π [ ]2 2k kπ π π− , x kπ= [ ]1,1− [ ]1,1−2 (2)求余弦函数的单调区间时,易错点有二:一是单调区间容易求反,要注意增减区间的求法,如求 的单调递增区间时,应先将 变换为 再求解;二是根据单调性的定义, 所求的单调区间必须在函数的定义域内,因此求单调区间时,必须先求定义域. 要点三:三角函数定义域的求法 正弦函数 和余弦函数 的定义域都为 R,在求由它们与其他函数复合而成的函数定义 域时,可由解析式有意义得到关于正弦和余弦的三角不等式组,解之即可。 确定三角函数定义域的依据: (1)正、余弦函数的定义域。 (2)若函数是分式函数,则分母不能为零。 (3)若函数是偶次根式函数,则被开方式非负。 (4)若函数是形如 的函数,则其定义域由 确定。 (5)若函数是由实际问题确定的,其定义域不仅要使解析式有意义,同时还要使实际问题有意义。 要点四:三角函数值域与最值的求法 1.直接法:直接利用 和 的有界性求值。 2.分离常数法:形如 的函数,可先分离常数,再利用三角函数的有界性求值 域。 3.几何意义法:形如 的函数,也可利用斜率的几何意义求值域。由于点 可看成是单位圆上的动点,从而转化为定点于圆上动点连线的斜率问题。 【典型例题】 类型一:“五点法”作余弦函数的图象 例 1.作出下列函数在[-2π,2π]上的图象. (1) ;(2) . 【思路点拨】(1)先利用五点法作出函数 在[0,2π]上的图象,然后作出它关于 y 轴对 称的图象即可.(2)由于 ,因此只需作出函数 y=|cos x|,x∈[-2π,2π]的图 象即可. 【解析】 (1)描点、作图 x 0 1 1 其图象如下图所示. cos( )y x= − cos( )y x= − cosy x= siny x= cosy x= log ( )( 0, 1)ay f x a a= > ≠ ( ) 0f x > siny x= cosy x= cos ( 0)cos a x by acc x d += ≠+ sin cos x by x d += + ( )cos ,sinx x 11 cos3y x= − 3sin 2y x π = +   11 cos3y x= − 3sin | cos |2y x x π = + =   2 π π 3 2 π 2π 11 cos3y x= − 2 3 4 3 2 33 (2)函数 y=|cos x|,x∈[-2π,2π]的图象可采用将函数 y=cos x,x∈[-2π,2π]的图象在 x 轴下 方的部分翻折到 x 轴上方的方法得到,所得图象如下图所示. 【总结升华】 作图是一项很重要的能力,而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法.在 利用“五点法”作图时,一定要弄清楚是哪五点,为什么要取这五点等.此外第(2)小题中我们使用了 对称变换,并且我们还可以发现,加了绝对值后,其周期变为原来的一半了. 举一反三: 【变式 1】用五点法作出函数 , 的图象. 【思路点拨】取 上五个关键的点. 【解析】 找出五点,列表如下: 0 x y=cos u 1 0 -1 0 1 描点作图(如下图). 【总结升华】 在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接 起来,即可得到函数的简图,这种近似的“五点法”是非常实用的. 类型二:余弦函数图象的应用 例 2(2015 春 澄城县期末)已知角 α 的终边过点 P(1, ). (1)求 sin(π﹣α)﹣sin( +α)的值; (2)写出满足 2cosx﹣tanα>0 的角 x 的集合 S. cos 6y x π = +   11,6 6x π π ∈ −   11,6 6 π π −   6u x π= + 2 π π 3 2 π 2π 6 π− 3 π 5 6 π 4 3 π 11 6 π4 【思路点拨】(1)利用任意角的三角函数的定义,求出 sinα,cosα 的值,化简 sin(π﹣α)﹣sin( +α), 即可求解它的值; (2)化简 2cosx﹣tanα>0,利用余弦函数的注意直接求解角 x 的集合 S. 【解析】(1)∵角 α 的终边过点 P(1, ),可设 x=1,y= ,则 r=2, ∴sin α= ,cos α= .∴sin(π﹣α)﹣sin( +α)=sin α﹣cos α= . (2)由 2cos x﹣tan α>0 及 tan α= ,得 cos x> , 由 y=cos x 的图象可得 x 的集合为: S={x|﹣ +2kπ<x< +2kπ,k∈Z}. 举一反三: 高清课堂:正、余弦函数的图象 394835 例 3 【变式 1】下列各式中正确的为( ) A. B. C. D. 【答案】D 类型三:余弦函数的定义域与值域 例 3.求下列函数定义域. (1) ; (2) . 【思路点拨】首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组,然后分别求解,最后求交集即 可. 【解析】(1)要使函数有意义,只需 . 又∵ ,∴ . ∴ 函数定义域为 . (2)要使函数有意义,只需 即 解得 或 或 . 5 4sin >sin7 7 π π sin ( )>sin( )5 6 − −π π 15cos >cos( )8 7 − ππ 3 9cos( )>cos( )5 4 − −π π sin(cos )y x= 236 lg(cos )y x x= − + sin(cos ) 0x ≥ cos [ 1 1]x∈ − , cos [0 1]x∈ , 2 22 2x k x k k π ππ π − ≤ ≤ + ∈   Z, 236 0 cos 0 x x  − ≥  > , , 6 6 2 2 ( )2 2 x k x k k π ππ π − ≤ ≤ − < < + ∈ Z , . 36 2x π− ≤ < − 5 2x π π− < < 3 62 xπ < ≤5 ∴ 函数的定义域为 . 举一反三: 【变式 1】【2016 河南期末】求函数 y= 的定义域. 【解析】要使函数 y= 有意义,可得﹣1﹣2cosx≥0,即,cosx≤ , 解得 x∈[2k ,2k ],k∈Z. 函数 y= 的定义域:[2k ,2k ],k∈Z. 【变式 2】已知 的定义域为[0,1),求 的定义域. 【思路点拨】求函数的定义域:要使 0≤cosx<1,这里的 cosx 以它的值充当角. 【解析】0≤cosx<1 ,且 . ∴所求函数的定义域为 . 例 4.求函数 , 的最大值和最小值. 【思路点拨】将此函数看作是关于 的二次函数,利用二次函数在闭区间上的单调性和有界性可 解决问题. 【解析】 . ∵ ,∴ . 从而当 ,即 时, ; 当 ,即 时, . 【总结升华】(1)解题时要注意定义域 对值域的影响; (2)二次函数求值域,注意对称轴与区间的关系对最值的影响. 【总结升华】 一般函数的值域求法有:观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等,而三角函数 是函数的特殊形式,其一般方法也适用,只不过要结合三角函数本身的性质。 举一反三: 【变式 1】求函数 的值域: 【答案】 3 36 62 2 2 2 π ππ π     − − −          , , , )(xf )(cos xf 2 22 2k x k π ππ π⇒ − ≤ ≤ + ( )2x k k Zπ≠ ∈ [2 2 ) (2 2 ]2 2k k k k k Z π ππ π π π− + ∈, , , 23cos 4cos 1y x x= − + 2 3 3x π π ∈  , cos x 2 2 2 13cos 4cos 1 3 cos 3 3y x x x = − + = − −   2 3 3x π π ∈  , 1 1cos 2 2x  ∈ −  , 1cos 2x = − 2 3x π= max 15 4y = 1cos 2x = 3x π= min 1 4y = − 2 3 3 π π    , cos 2 cos 1 xy x −= − 3 ,2  +∞ 6 【解析】 ∵ , 当 cos x=-1 时, , ∴函数的值域为 . 类型四:余弦函数的单调性 例 5.求函数 的单调递减区间和最小正周期. 【思路点拨】函数 是关于 x 的复合函数,判断复合函数的单调性要综合考察内、外 层函数的单调性,最终判断 y 随 x 的增加是增加还是减少. 【解析】令 ,∵ 在 上单调递增, 在 上单调递减,根据复合函数的单调性法则,得 在 上单调递 减. ∴ 其单调递减区间为 . 令 , ∵ , ∴ . ∴ 最小正周期 . 【 总 结 升 华 】( 1 ) 在 复 合 函 数 中 , 若 和 的 增 减 性 相 同 , 则 为增函数;若 和 的增减性相反,则 为减函数. (2)本题在求单调减区间时,也可先将函数解析式变形,再求其减区间: 变形为 ,则由 , cos 2 cos 1 1 11cos 1 cos 1 1 cos x xy x x x − − −= = = +− − − min 1 31 2 2y = + = 3 ,2  +∞  cos 24y x π = −   cos 24y x π = −   24t x π= − cosy t= [2 2 ]( )k k kπ π π− ∈Z, 24t x π= − ( )−∞ + ∞, cos 24y x π = −   5 8 8k k π ππ π + +  , ( )k ∈Z 5 8 8k k π ππ π + +  , ( )k ∈Z ( ) cos 24f x x π = −   cos 2 cos 2 24 4x x π π π    − + = − + −         cos 2( ) 4x ππ = − + +   ( ) ( )f x f x π= + T π= ( ( ))y f g x= ( )g xµ = ( )y f µ= ( ( ))y f g x= ( )g xµ = ( )y f µ= ( ( ))y f g x= cos 24y x π = −   cos 2 4y x π = −   2 2 24k x k ππ π π≤ − ≤ +7 解得 . 故原函数的单调递减区间为 . 举一反三: 【变式 1】(1) ;(2) 。 【思路点拨】(1)要将原函数化为 再求之(2)这个函数是复合函数,复合函 数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定,即“同增异减”。 【解析】(1) . 故由 2kπ- ≤ - ≤2kπ+ . 3kπ- ≤x≤3kπ+ (k∈Z),为单调减区间; 由 2kπ+ ≤ - ≤2kπ+ . 3kπ+ ≤x≤3kπ+ (k∈Z),为单调增区间. ∴递减区间为[3kπ- ,3kπ+ ], 递增区间为[3kπ+ ,3kπ+ ](k∈Z). (2)由 sin x>0,得 2k <x<2k + (k∈Z)。 ∵ ,∴函数 的递增区间即为 u=sin x 的递减区间, ∴ (k∈Z)。 故函数 的递增区间为 (k∈Z)。 【总结升华】(1)求函数 的单调区间时,应由 (k∈ Z)或 (k∈Z),求得 x 的范围,即为函数的单调区间,这实际上是换元法 的应用。 (2)求单调区间应在定义域内求解。 类型五:余弦函数的奇偶性 例 6.判断下列函数的奇偶性: 2 π 3 2x 4 π 2 π 2 π3 5 ( )8 8k x k k π ππ π+ ≤ ≤ + ∈Z 5 ( )8 8k k k π ππ π + + ∈   Z, 1 2sin2 4 3 xy π = −   1 2 log siny x= 1 2sin2 3 4 xy π = − −   1 2 1 2sin sin2 4 3 2 3 4 x xy π π   = − = − −       ⇒ 8 π3 8 π9 2 π 3 2x 4 π ⇒ 8 π9 8 π21 8 π3 8 π9 8 π9 8 π21 π π π 1 12 < 1 2 log siny x= 2 22k x k ππ π π+ ≤ < + 1 2 log siny x= 2 ,22k k ππ π π + +   sin( )y A xω ϕ= + 2 22 2k x k π ππ ω ϕ π− ≤ + ≤ + 32 22 2k x k ππ ω ϕ π π+ ≤ + ≤ +8 (1) ; (2) (3) ; (4) . 【思路点拨】本题考查函数的奇偶性,利用函数奇偶性的定义予以判断. 【解析】(1)函数应满足 , ∴ 函数定义域为 . ∵ 函数定义域不关于原点对称, ∴ 函数是非奇非偶函数. (2)由 , 得函数定义域为 ,关于原点对称. 又 . ∴ 函数 是奇函数. (3)由 , ∴ , ∴ 定义域关于原点对称,而此时 , ∴ 即是奇函数又是偶函数. (4)函数的定义域为 R,且 , ∴ 函数 是偶函数. 【总结升华】判断函数奇偶性时,应先化简,再判断,但要注意化简后对定义域的影响. 举一反三: 【变式】关于 x 的函数 =sin(x+ )有以下命题: ①对任意的 , 都是非奇非偶函数; ②不存在 ,使 既是奇函数,又是偶函数; 21 sin cos( ) 1 sin x xf x x + −= + ( ) lg(1 sin ) lg(1 sin )f x x x= − − + ( ) cos 1 1 cosf x x x= − + − ( ) sin(cos )f x x= 1 sin 0x+ ≠ 32 2x x k k ππ ≠ + ∈   Z, 1 sin 0 1 sin 11 sin 0 x xx − > ⇒ − <  2x x x k k π π ∈ ≠ + ∈   R Z,且 , ( ) lg[1 sin( )] lg[1 sin( )]f x x x− = − − − + − lg(1 sin ) lg(1 sin ) ( )x x f x= + − − = − ( )f x 1 cos 0 cos 1cos 1 0 x xx − ≥ ⇒ = − ≥ 2 ( )x k kπ= ∈Z ( ) 0f x = ( ) cos 1 1 cosf x x x= − + − ( ) sin[cos( )]f x x− = − sin(cos ) ( )x f x= = ( ) sin(cos )f x x= )(xf ϕ ϕ )(xf ϕ )(xf9 ③存在 ,使 是奇函数; ④对任意的 , 都不是偶函数. 其中一个假命题的序号是_____.因为当 =_____时,该命题的结论不成立. 【思路点拨】 当 =2kπ,k∈Z 时, =sinx 是奇函数. 当 =2(k+1)π,k∈Z 时 仍是奇函数. 当 =2kπ+ ,k∈Z 时, =cosx, 当 =2kπ- ,k∈Z 时, =-cosx, 都是偶函数. 所以②和③都是正确的.无论 为何值都不能使 恒等于零.所以 不能既是奇函数又是偶函 数.①和④都是假命题. 【解析】①,kπ(k∈Z);或者①, +kπ(k∈Z);或者④, +kπ(k∈Z) 类型六:正弦函数、余弦函数性质的综合应用 例 7.奇函数 在其定义域 上是减函数,且 ,求 的取值范围. 【思路点拨】根据已知条件,先求出 ,然后把所给的不等式整理,利用已知函数的奇偶性和 单调性,将“f”去掉,解关于 的不等式组即可. 【答案】 【解析】∵ 在 上是奇函数, ∴ ,即 , ∴ . 又∵ , ∴ . ∵ 在 上是减函数, ϕ )(xf ϕ )(xf ϕ ϕ )(xf ϕ xxf sin)( −= ϕ 2 π )(xf ϕ 2 π )(xf )(xf ϕ )(xf )(xf 2 π 2 π ( )f x 1 1,2 2  −   2(1 cos ) (1 cos ) (0)f f fα α− + − < α (0) 0f = cosα (2 ,2 ) 2 ,2 ( )4 4k k k k k z π ππ π π π − + ∈   ( )f x 1 1 2 2  −  , ( 0) (0)f f− = − (0) (0)f f− = (0) 0f = 2(1 cos ) (1 cos ) (0)f f fα α− + − < 2 2(1 cos ) (1 cos ) (cos 1)f f fα α α− < − − = − ( )f x 1 1 2 2  −  ,10 ∴ 【总结升华】本题将抽象函数、余弦函数、函数的性质和解不等式联系在一起,具有一定的综合性,解题 时要考虑每一个条件在解题中的应用。 举一反三: 【变式 1】已知函数 = ,求 的定义域,判断它的奇偶性,并求其值 域. 【解析】由 cos2x≠0 得 2x≠kπ+ ,解得 x≠ ,k∈Z, 所以 的定义域为{x|x∈R 且 x≠ ,k∈Z}, 因为 的定义域关于原点对称, 且 = = . 所以 是偶函数. 又当 x≠ (k∈Z)时, = . 所以 的值域为{y|-1≤y< 或 (sin ) (sin )f fα β> (sin ) (cos )f fα β> (sin ) (cos )f fα β< 2cos 3y x= − 2 ,2 ( )6k k k z ππ π − ∈   112 ,2 ( )6k k k z ππ π π + + ∈  13 C. D. 8.函数 的图象是下图中的( ) 9.当 时,函数 的最小值是_______,最大值是________. 10.(2016 秋 宣武区校级月考)y=2﹣3cos(x+ )的最大值为  ,此时 x=  . 11.设 ,若函数 在 上单调递增,则 的取值范围是________. 12.函数 的图象为 C,以下结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号) ①图象 C 关于直线 对称; ②图象 C 关于点 对称; ③函数 在区间 内是增函数; ④由 y=3sin2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 13.(2015 秋 海口校级期末)已知函数 . (1)求函数的最小正周期; (2)求函数的单调减区间. 14.已知函数 . (1)求 的定义域、值域; (2)判断 的奇偶性. 15. , ,若该函数是单调函数,求实数 a 的最大值. [ ]2 ,2 2 ( )k k k zπ π π π+ + ∈ 2 ,2 ( )6k k k z ππ π + ∈   ln cos 2 2y x x π π = − < ( ) 2sinf x xω= [ , ]3 4 π π− ω ( ) 3sin 2 3f x x π = −   11 12x π= 2 ,03 π     ( )f x 5,12 12 π π −   3 π 1 2 1 sin( ) log 1 sin xf x x −= + ( )f x ( )f x 12cos 2 3y x π = − +   28 ,5x aπ ∈  14 【答案与解析】 1.【答案】B 【解析】向左、右平移 2π个单位,图象都不变的函数并不只有正弦函数. 2. 【答案】C 【解析】(法一:数形结合;法二:特殊值代入检验). 3.【答案】D 【解析】 ,由 的图象性质可得 D 错误. 4.【答案】D 【解析】∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=sin2x, ∴f(﹣ )=f( )=sin =(6 )=﹣ 故选 D 5.【答案】A 【解析】由已知,函数的最小正周期 且 ,故 6.【答案】D 【解析】∵奇函数 y=f(x)在[-1,0]上为单调递减函数, ∴f(x)在[0,1]上为单调递减函数,∴f(x)在[-1,1]上为单调递减函数,又 α、β 为锐角三角形的 两内角,∴α+β> , , ∴f(sinα)<f(cosβ),故选 D. 7.【答案】D 【解析】由 ,解得 ,解得 . 8.【答案】A 【解析】当 时,cos x 递增, 也递增;当 时,cos x 递减, 也递减,又 为偶函数. 9.【答案】 【解析】当 当 时, ;当 时, . 10.【答案】5,2kπ+ ,k∈z 【解析】∵y=cos(x+ )的值域为[﹣1,1],所以 y=2﹣3cos(x+ )的最大值为 5,此时 cos(x+ ) =﹣1, ∴x+ =2kπ+π,k∈Z, ( ) sin( ) sin( ) cos2 2f x x x x π π= − = − − = − cosy x= 1T ≤ 2 1T ≥ 1 1.2 T≤ ≤ 2 π 2 πα β∴ > − sin sin( ) cos 02 πα β β∴ > − = > 2cos 3 0, 2 2 x k x kπ π π  − ≥ ≤ ≤ + 2 26 6 2 2 k x k k x k π ππ π π π π  − ≤ ≤ +  ≤ ≤ + 2 2 ( )6k x k k z ππ π≤ ≤ + ∈ ,02x π ∈ −   ln cosy x= 0, 2x π ∈   ln cosy x= ln cosy x= 7 ,28 7 1, , sin 1,6 6 2x x π π ∈ − ≤ ≤   22sin sin 1,y x x= − + 1sin 4x = min 7 8y = 1sin 1, 2x = −或 max 2y =15 ∴x=2kπ+ ,(k∈Z). 11. 【答案】 【解析】令 则 是函数的关于原点对称的递增区间中范围 最大的,即 , 则 12.【答案】①②③ 【解析】 ④y=3sin2x 的图象向右平移 个单位得 的图象,非图象 C.向右平移 个单位长度可得图象 C. 13.【解析】(1)对于函数 ,它的周期为 . (2)令 2kπ≤2x﹣ ≤2kπ+π,求得 kπ+ ≤x≤kπ+ , 可得函数的减区间为[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z. 14.【解析】(1)由已知 ,又有-1≤sin x≤1,故-1<sin x<1. 故 的定义域为 . 又 , 因 为 - 1 < sin x < 1 , 所 以 , , , .故 的值域为(-∞,+∞). (2)函数的定义域关于原点对称,且 sin(―x)=―sin x. 故 ,故 是 奇函数. 15.【解析】由 ,得 (k∈Z). ∴函数的单调递增区间是 (k∈Z). 3[ ,2]2 , ,2 2 2 2x x π π π πω ω ω− ≤ ≤ − ≤ ≤ [ , ]2 2 π π ω ω− [ , ]3 4 π π− ⊆ [ , ]2 2 π π ω ω− 34 2 22 3 2 π π ω ωπ π ω  ≤ ⇒ ≤ ≤ − ≥ − 3 π 23sin 2 3sin 23 3y x x π π   = − = −       6 π 1 sin 01 sin x x − >+ ( )f x ,2x x R x k k Z ππ ∈ ≠ + ∈  且 1 sin (1 sin ) 2 211 sin 1 sin 1 sin x x x x x − − + += = − ++ + + 0 1 sin 2x< + < 1 1 1 sin 2x >+ 2 12 11 sin 2x > × =+ 21 1 1 01 sin x − + > − + =+ ( )f x 1 1 2 2 1 sin( ) 1 sin( ) log log1 sin( ) 1 sin x xf x x x − − +− = =+ − − 1 1 2 2 1 1 sinlog log ( )1 sin 1 sin 1 sin x f xx x x −= = − = −− + + ( )f x 12 22 3k x k ππ π π≤ + ≤ + 2 44 43 3k x kπ π π π− ≤ ≤ + 2 44 ,43 3k kπ π π π − +  16 同理函数的单调减区间是 (k∈Z). 令 ,即 ,又 k∈Z,∴k 不存在. 令 ,得 k=1. ∴ , 这表明 在 上是减函数, ∴a 的最大值为 . 4 104 ,43 3k kπ π π π + +   28 2 44 ,45 3 3k kπ π π π π ∈ − +   16 47 15 30k≤ ≤ 28 4 104 ,45 3 3k kπ π π π π ∈ + +   28 4 104 ,45 3 3k kπ π π π π ∈ + +   12cos 2 3y x π = − +   28 22,5 3 π π     22 3 π

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