必修3《最小二乘估计》教学设计.doc

必修 3《最小二乘估计》教学设计 教学内容解析： 本节课是高中数学北师大版必修 3 第一章《统计》第 8 节《最小二乘估计（第二课 时）》。 日常生活中，随处可见各种各样的数据，面对这些纷繁复杂的数据，从中获取所需要的信息 是非常重要的，“统计”就是一门利用科学方法收集、整理、分析数据，在此基础上进行推 断和决策的学科。在统计中，回归分析和相关分析的应用是非常广泛的。因此，本节课具有 很强的实际意义，是培养学生归纳思维能力、随机思想、以及批判性思维能力的重要载体。 本章所蕴含的随机思想为进一步学习“概率”做好了铺垫，同是也是进一步学习选修 1-2 或选修 2-3《相关系数》和《可线性化的回归分析》的基础。 教学目标设置： 1. 知识与技能 会利用最小二乘法的基本思想和方法，通过计算解决简单的实际问题；能通过对数据的 分析，为合理的决策提供一些依据；认识统计的作用，体会统计思想与确定性思想的差异。 2. 过程与方法 引导学生经历“收集数据—整理数据—分析数据—作出推断—统计反思”的统计活动， 体验统计活动的全过程，培养学生的统计观念；向学生讲授利用计算机软件处理数据的方法， 鼓励学生使用现代信息技术对数据进行快速的加工整理，使学生体会现代信息技术在统计活 动中发挥的重要作用。 3. 情感、态度与价值观 形成对数据处理过程进行初步评价反思的意识，体会统计思维与确定性思维的差异，感 受数学与现实生活的密切联系，增强学生的应用意识以及学习数学的动机和兴趣，进而促进 学生“数学建模”、“数学运算”、“数据分析”方面的数学核心素养的提升。 学生学情分析： 学生已经学习了一些统计知识，对统计思想有了初步的感知，相关性与最小二乘法的学 习也为本节课做好了铺垫。高一学生的好奇心强，希望了解数学在生活中的作用，展示自我 的愿望强烈，但不可否认，他们对数据进行分析处理的能力还十分有限，他们的统计观念还 比较薄弱，批判性思维能力不足。 教学策略分析： 本节课以一起“盗窃案”为背景，引入课题——鞋码与身高的关系，激发学生的学习兴 趣。 通过统计案例，引导学生经历用最小二乘法进行线性回归分析的各个环节，将教学目标 恰当地融入其中，培养学生的统计观念以及统计活动中分工合作的意识。 通过对各组内部少量数据的计算处理，使学生熟练掌握借助表格计算线性回归方程系数 的方法，并以此引导学生做统计反思，强调统计思想与确定性思想的差异。将“统计反思” 与“现代信息技术”渗透在各个教学环节中，引导学生在统计活动中注意这些方面。 以统计调查活动的形式布置作业，紧扣课堂目标，给学生提供充分的提升统计思维的平 台。 教学过程：本节课从以下几个方面设计教学活动：情境引入、回顾复习、学生活动、统计反思、 信息技术、梳理小结、布置活动。 1. 情境引入 2016 年 3 月 5 日 8 时 20 分，某校发生了一起班级财务失窃案件，据悉，当时正值校内 大型集会，除个别人员因故未到场，所有师生都在前广场集合，盗窃者是翻窗入室的，警方 勘察现场后，在靠窗边的课桌上提取了一枚 41 码鞋印，同时警方对因故未参加集会的人员 进行询问，初步锁定了三个嫌疑人，下一步，警方将对这唯一的证据——“41 码鞋印”仔 细研究，真正的盗窃者正在浮出水面…… 教师问：你从这枚 41 码鞋印可以推测出哪些有价值的信息？（要求学生：小组交流，举 手回答，充分发表言论。） 提出问题“鞋码-身高”是否存在相关关系？ 2. 回顾复习 回顾研究两变量之间相关关系的流程，利用“最小二乘法”列表求值，进而求出线性回 归方程的方法。3. 学生活动 课前给每个小组发一份“鞋码-身高”统计表（表 1）和一份计算线性回归方程系数的表 格（表 2），一张坐标纸。如图： [ ] [ ] [ ]22 22 2 11 )()()( nn bxaybxaybxay +−+++−++−  如果有 个点 ， ， ， ， 可以用下面的表达式来刻画这些点与直线 的接近程度： n bxay += ),( nn yx),( 11 yx ),( 22 yx  bxay +=使得上式达到最小值的直线 就是我 们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法. o bxay += x y ( )11, yx ( )22 , yx ( )44 , yx ( )33, yx ( )55 , yx n xxxx n+⋅⋅⋅++= 21 n yyyy n+⋅⋅⋅++= 21其中： ， . 这样得到的直线方程称为线性回归方程， ， 是线性回归方程的系数. a b 222 2 2 1 2211 xnxxx yxnyxyxyxb n nn −+⋅⋅⋅++ −+⋅⋅⋅++= xbya −=， 序号 1 2 … n 合计 平均数 i ix iy ii yx 2 ix 222 2 2 1 2211 xnxxx yxnyxyxyxb n nn −+⋅⋅⋅++ −+⋅⋅⋅++= xbya −=，小组为单位将“鞋码-身高”信息收集后，一份记录到表 1 快速交到讲台上，一份记录 到表 2 留组内备用，接着利用你们手中的数据，画出散点图，判断鞋码和身高之间是否线性 相关，如果线性相关，求出线性回归方程，并根据 41 码鞋印推断犯罪嫌疑人的身高值。比 比看哪一组分工明确，算得又快又好，计算结束后派代表将结果快速写在黑板上。 4.统计反思 教师问：针对的是同样的问题，样本容量也相同，各组得到的线性回归方程以及推断出 的身高值却各不相同，为什么呢？大家思考交流一下，说说自己的看法。（要求学生：小组 交流，举手回答，充分阐述各自的观点。） 教师指出：即使我们选取相同的样本数，得到的直线方程也可能不相同，这是由于样本 选取的随机性造成的，出现不同的结果是可能的，也是允许的，这正是“统计思想”和“确 “鞋码-身高”统计表 编号 鞋码 身高（cm） 1 2 3 4 5 6 i ix iy ii yx 2 ix 平均数 合计 6 5 4 3 2 1 身高鞋码序号定性思想”的差异所在。而且由于我们选取的样本容量过少，所得的结果说服力不强，可信 度不高。 教师问：有了反思就可以改进，那么，怎样才能使得推测出的结果更精确可信呢？（学 生思考、回答。） 5．信息技术 教师：其实，刚才大家在计算的时候，我已经让两位计算机高手将全班的数据录入了电 脑，下面我们就增加样本容量，利用全体同学的数据再次推测一下犯罪嫌疑人的身高。刚才 同学们算六个人的数据都花了很长时间，那么，这么多数据处理起来，我们这节课恐怕都不 够用了，所以我们要善于利用现代信息技术，计算机中的 excel 软件就可以对数据进行快速 加工整理。（教师教学生用 excel 绘制散点图，计算线性回归方程的系数，以及用 excel 直 接得出线性回归方程，让学生初步领会 excel 的一些功能，激发学生课下探索的兴趣。） 教师说明：现在，到了真相浮出水面的时候了，其实“盗窃案”是虚构的，这个鞋印就 是本班一位同学的，有请鞋印的主人公布自己的真实身高。 引导同学们对比增加样本容量后的估计值与刚才各小组得到的估计值，教师强调“利用 实验数据进行拟合时，所用数据的多少直接影响拟合的结果。从理论上来说，数据越多，拟 合的效果越好，因为拟合的过程本质上是一个归纳的过程。” 6.梳理小结 本节课，我们为了通过鞋码推测身高，经历了一个完整的用最小二乘法进行线性回归分 析的过程，让我们一起回想一下都经历了哪些环节？ 7.布置活动 通过今天的统计活动，我们发现鞋码和身高之间存在线性相关关系，那么，在生活中， 你认为还有哪些变量之间可能存在相关关系？（要求学生：思考交流，举手回答，充分表达 自己的看法。） 要求：请每个小组挑选一个你们感兴趣的课题，课后开展统计调查活动，参照下表写出调查 报告，在活动中请大家注意这么几点： 1.注意小组成员的分工合作； 2.充分利用现代信息技术进行数据的分析； 提出问题 作散点图 列表求值 得出方程 作出推断 线 性 回 归 分 析 流 程 收集数据3.一定要对统计结论进行反思。 反思的角度：比如，数据来源是否可靠？设计的活动方案是否可行？选择的统计方法是 否恰当？数据处理是否准确无误？等等…… 统计思维不同于其他数学思维，统计调查是一个逐渐改进和完善的过程，是逐渐靠近真 理的过程。那么，在这个过程中，我们一定要注意培养自己批判性思维的能力，学会从不同 角度提出反思、质疑。 给大家留出一周的时间来完成这个统计活动，下周的同一时间，我们有请各小组展示他 们的统计成果，分享他们的统计心得。 1.课题组成员、分工、贡献 成员姓名 分工与完成情况 2.调查的过程和结果 3.主要参考资料 4.成果的自我评价（请说明方法或原理的合理性、特色或创新点、 不足之处等） 5.在调查过程中发现和提出了哪些新问题？是如何解决的？得到哪 些很得意的结论？ 6.描述在调查研究中的感受 调查报告