直线和圆的位置关系--教学设计

1 直线和圆的位置关系 温县第一高级中学 刘二艳 指导老师 马双喜 【教学目标】 1.知识与技能：能利用方程判断直线与圆的位置关系；能用直线与圆的方程解决一些简 单问题；并能用数形结合的思想解决问题. 2.过程与方法：通过现实生活中的实际问题情境，建立数学模型，转化为判断直线和圆 的位置关系问题，通过将圆的几何要素代数化，再用符号语言描述几何要素及其关系的过程， 体会用代数方法处理几何问题的思想； 3.情感、态度与价值观：体会数与形的有机统一，对数学知识之间的关系有辨证的理解 和认识。让学生感受数学的成功与快乐，调动学生的学习积极性． 【教学重点与难点】 重点：利用方程判断直线和圆的位置关系的方法 难点：直线和圆的位置关系判断方法的运用 【学情分析】 学生在初中已经学习过直线和圆的位置关系的定义及判断方法，又刚学习了直线和圆的 方程，本节课就是将学生的初高中知识相结合，探索利用直线和圆的方程来判断它们的位置 关系的方法，建立用代数方法处理几何问题的思路。首先要注意带领学生回顾这些相关知识， 其次要根据数学的认知规律，保证课堂教学活动的逐步递进、螺旋上升。 【教学情景设计】 1.引入： 数学来源于生活，服务于生活．现实中的很多问题都可以用数学知识来解决．来看一个 实际问题：一个小岛的周围有环形暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为 1km 的 圆形区域．已知轮船位于小岛中心正东 2km 处，港口位于小岛中心正北 1.5km 处．如果轮 船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 显然这需要判断直线和圆有无公共点，它们的位置关系的问题． 2.复习： 由平面几何知，直线和圆有三种位置关系，定义如下： ①直线和圆相交，有两个公共点； ②直线和圆相切，只有一个公共点； ③直线和圆相离，没有公共点. 思考：在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？通过比较圆心到直线的距离与半 径的大小得出直线和圆的位置关系：相交时， ；相切时， ；相离时， ． 利用平面几何的知识，能够解决这个问题吗？此处可提问 学生回答解题思路：连接 、 两点，直线 和圆 没有公 d r< d r= d r> A B AB O O 港 口  轮 船2 共点，所以轮船没有触礁危险；或在 中，利用勾股定 理求出 ，再用“等面积法”求出圆心 到直线 的距离， 并与半径比较大小，可以判断出直线 和圆 的位置关系． 3.探究新知： 能不能利用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 建立直角坐标系，通过方程判断轮船是否有触礁的危险．学生自己选择一种方法解决． 解法一：以小岛的中心为原点，东西方向为 轴，建立直角坐标系，则点 A(2,0)， 则直线 的方程为 3x+4y-6=0， 圆心 ，半径 1，则圆 的方程为 1， 圆心到直线的距离 所以直线 和圆 相离，轮船没有触礁危险. 解法二：以小岛的中心为原点，东西方向为 轴，建立直角坐标系．则点 A(2,0)，则 , 直线 的方程为 3x+4y-6=0， 圆心 ，半径 1，则圆 的方程为 消去 ，整理得： 所以，此方程组无解，直线直线 和圆 没有公共点. 所以直线 和圆 相离，轮船没有触礁危险. 教师配合学生分析，在课件中演示本题的解答过程．强调解题过程中的关键点，引导学 生总结方法步骤，完整的写出解题过程． 方法一： ①联立直线和圆的方程，组成二元方程组； ②消元得一元二次方程，利用判别式判断该方程解的个数； ③依据解的个数判断直线和圆的位置关系. 方法二： ①确定圆心的坐标及半径，计算圆心到直线的距离； ②比较距离与半径的大小； ③依据上述计算做出判断. 上面的两种方法虽然做法不同，但是本质都是利用方程来判断它们的位置关系，通过代 数方法解决几何问题，体现了“由数到形”． 但通过对比发现，解方程组的方法在这个问题中计算较为复杂，没有比较 和 大小 Rt AOB∆ AB O AB AB O x )2 3,0(B AB ( )0,0O O 15 6 43 60403 22 >= + −×+×=d AB O x )2 3,0(B AB ( )0,0O O 122 =+ yx    =+ =−+ 1 0643 22 yx yx 联立方程组： y 02025436 0203625 2 2