导学案——十字相乘法及分组分解法

1 导学案——十字相乘法及分组分解法 【学习目标】 1. 熟练掌握首项系数为 1 的形如 型的二次三项式的因式分解. 2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非 1 的简单的整系数二次三项式的因式分解. 3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因 式分解.(但应控制好难度) 4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】 【高清课堂 400150 十字相乘法及分组分解法 知识要点】 要点一、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式 ，若存在 ，则 要点诠释：（1）在对 分解因式时，要先从常数项 的正、负入手，若 ，则 同号(若 ，则 异号)，然后依据一次项系数 的正负再确定 的符号 （2）若 中的 为整数时，要先将 分解成两个整数的积(要考 虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于 ，直到凑对 为止. 要点二、首项系数不为 1 的十字相乘法 在二次三项式 ( ≠0)中，如果二次项系数 可以分解成两个因数之积，即 ，常数项 可以分解成两个因数之积，即 ，把 排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到 ，若它正好等于二次三项式 的 一次项系数 ，即 ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 与 之积，即 . 要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间” 　　（2）二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. pqxqpx +++ )(2 2x bx c+ + pq c p q b =  + = ( )( )2x bx c x p x q+ + = + + 2x bx c+ + c 0c > p q、 0c < p q、 b p q、 2x bx c+ + b c、 c b 2ax bx c+ + a a 1 2a a a= c 1 2c c c= 1 2 1 2a a c c， ， ， 1 2 2 1a c a c+ 2ax bx c+ + b 1 2 2 1a c a c b+ = 1 1a x c+ 2 2a x c+ ( )( )2 1 1 2 2ax bx c a x c a x c+ + = + + a2 要点三、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑 分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式 分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组四项 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 分组分 解法 六项 三项、二项、一项 可化为二次三项式 要点四、添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式 法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在 反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【典型例题】 类型一、十字相乘法 1、分解因式： 【答案与解析】 解：原式＝ 【总结升华】将 视作常数，就以 为主元十字相乘可解决. 举一反三： 【变式】分解因式： 【答案】 解：原式 2、分解因式： 【思路点拨】该题可以先将 看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十 2 2( 1) (6 13 6)x a x a a+ + − − + ( ) ( )( )2 1 2 3 3 2x a x a a+ + − − − ( ) ( ) ( )( ) 2 3 3 2 2 3 3 2 x a x a x a x a = − − + −       = − + + − a x 23 3 4 5xy y x y+ + − − 2 (3 4) 3 5 ( 3 5)( 1)y x y x y x y= + − + − = + − + ( )2a a−3 字相乘. 【答案与解析】 解： 因为 所以：原式＝[ －2][ －12] ＝ ＝ 【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握. 举一反三： 【变式】分解因式： ； 【答案】 解：原式 3、分解下列因式 (1) (2) 【答案与解析】 解：（1）令 ， 则原式 （2）令 ， 原式 【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中 都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类 似，要先将一些碎东西找包，会省许多事. 类型二、分组分解法 ( ) ( ) ( )2 2 22 12 14a a a a a a− − − − = − − 2 2( 2)( 12)a a a a− − − − ( )( )( )( )1 2 3 4a a a a+ − + − 2 2 2( 3 ) 2( 3 ) 8x x x x− − − − ( )( )2 23 4 3 2x x x x= − − − + ( )( )( )( )4 1 1 2x x x x= − + − − 2 2( 1)( 2) 12x x x x+ + + + − 2 2( 3 3)( 3 4) 8x x x x+ − + + − 2 1x x t+ + = 2 2 2( 1) 12 12 ( 4)( 3) ( 5)( 2)t t t t t t x x x x= + − = + − = + − = + + + − 2( 2)( 1)( 5)x x x x= + − + + 2 3x x m+ = 2( 3)( 4) 8 20 ( 5)( 4)m m m m m m= − + − = + − = + − 2 2 2( 3 5)( 3 4) ( 4)( 1)( 3 5)x x x x x x x x= + + + − = + − + +4 4、分解因式： 【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰 好构成 ，第 4、5 项→ . 【答案与解析】 解：原式 【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、 配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字 母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法. 举一反三： 【高清课堂 400150 十字相乘法及分组分解法 例 4】 【变式 1】分解因式：（1） （2） （3） 【答案】 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 . 【变式 2】（2014 春•苏州期末）因式分解：a2﹣b2﹣2a+1． 【答案】 解：a2﹣b2﹣2a+1 =a2﹣2a+1﹣b2 =（a﹣1）2﹣b2 =（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）． 类型三、拆项或添项分解因式 5、（2015 春•吉州区期末）阅读理解：对于二次三项式 x2+2ax+a2 可以直接用公式法分 解为（x+a）2 的形式，但对于二次三项式 x2+2ax﹣8a2，就不能直接用公式法了．我们可以 在二次三项式 x2+2ax﹣8a2 中先加上一项 a2，使其成为完全平方式，再减去 a2 这项，使整 个式子的值不变，于是又： x2+2ax﹣8a2 =x2+2ax﹣8a2+a2﹣a2 =（x2+2ax+a2）﹣8a2﹣a2 =（x+a）2﹣9a2 2 22 3 3 2x xy y x y− + + − + 2( )x y− 3( )x y− 2( ) 3( ) 2x y x y= − + − + ( 1)( 2)x y x y= − + − + 2 2a b ac bc− + + 2 25 5 3 3a b a b− − + 23 3 4 5xy y x y+ + − − ( )( ) ( ) ( )( )a b a b c a b a b a b c= + − + + = + − + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 25 3 5 3 5 5 3a b a b a b a b a b a b a b= − − − = + − − − = − + − 23 3 4 5 3 ( 1) ( 1)( 5) ( 1)(3 5)xy x y y x y y y y x y= + + − − = + + + − = + + −5 =[（x+a）+3a][（x+a）﹣3] =（x+4a）（x﹣2a） 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． （1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x2+2ax﹣3a2 分解因 式． （2）直接填空：请用上述的添项法将方程的 x2﹣4xy+3y2=0 化为（x﹣　 　）•（x﹣　 　） =0 并直接写出 y 与 x 的关系式．（满足xy≠0，且 x≠y） （3）先化简 ﹣ ﹣ ，再利用（2）中 y 与 x 的关系式求值． 【答案与解析】 解：（1）x2+2ax﹣3a2 =x2+2ax+a2﹣4a2 =（x+a）2﹣4a2 =（x+a+2a）（x+a﹣2a） =（x+3a）（x﹣a）； （2）x2﹣4xy+3y2 =x2﹣4xy+4y2﹣y2 =（x﹣2y）2﹣y2 =（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y） =（x﹣y）（x﹣3y）； x=y 或 x=3y； 故答案为：y；3y （3）原式= = =﹣ ， 若 x=y，原式=﹣2； 若 x=3y，原式=﹣ ． 【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键． 2 36 【巩固练习】 一.选择题 1. 多项式 可分解为 ，则 的值为(　　). A. ＝10， ＝－2 B. ＝－10， ＝－2 C. ＝10， ＝2 D. ＝－10， ＝2 2. 若 ，且 ，则 的值为(　　). A.5 B.－6 C.－5 D.6 3. 将 因式分解的结果是(　　). A. B. C. D. 4．（2014 春•滨湖区校级期中）把多项式 1+a+b+ab 分解因式的结果是（　　） 　 A．（a﹣1）（b﹣1） B．（a+1）（b+1） C．（a+1）（b﹣1） D．（a﹣1）（b+1） 5. 对 运用分组分解法分解因式，分组正确的是( ) A. 　　　B. C. 　　　D. 6．如果 有一个因式为 ，那么 的值是（ ） 　　A. －9 　　 　B.9 　　 　C.－1 　 　　D.1 二.填空题 7.（2014•东莞模拟）分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab=　 　． 8. 分解因式： =　 　． 9． 分解因式的结果是__________. 10. 如果代数式 有一因式 ，则 的值为_________． 11．若 有因式 ,则另外的因式是_________. 12. 分解因式：（1） ；（2） 三.解答题 13. 已知 ， , 求 的值. 14. 分解下列因式： （1） 2 24 2 9 3x x y y+ − − a 2 23x xy ay− + ( )( )5x y x by− − a b、 a b a b a b a b ( )2 2 30x a b x ab x x+ + + = − − b a< b ( ) ( )2 5 6x y x y+ − + − ( )( )2 3x y x y+ + + − ( )( )2 3x y x y+ − + + ( )( )6 1x y x y+ − + + ( )( )6 1x y x y+ + + − 2 2(4 2 ) ( 9 3 )x x y y+ + − − 2 2(4 9 ) (2 3 )x y x y− + − 2 2(4 3 ) (2 9 )x y x y− + − 2 2(4 2 3 ) 9x x y y+ − − 3 23 3x x x m+ − + ( )3x + m 2 24 20 25 36a ab b− + − 5 3 2 1x x x− + − 3 2 2 3a a b ab b− − + ( )a b− 3)32(2 −+−+ kxkkx mnmxmnx −+−+ 22 )2( 0x y+ = 3 1x y+ = 2 23 12 13x xy y+ + ( ) ( ) 128 222 +−−− aaaa7 （2） （3） （4） 15.（2015•巴南区一模）先阅读下列材料： 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式 的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． （1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法． 如：ax+by+bx+ay=（ax+bx）+（ay+by） =x（a+b）+y（a+b） =（a+b）（x+y） 2xy+y2﹣1+x2 =x2+2xy+y2﹣1 =（x+y）2﹣1 =（x+y+1）（x+y﹣1） （2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方 法．如： x2+2x﹣3 =x2+2x+1﹣4 =（x+1）2﹣22 =（x+1+2）（x+1﹣2） =（x+3）（x﹣1） 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b； （2）分解因式：x2﹣6x﹣7； （3）分解因式：a2+4ab﹣5b2． 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】B； 【解析】 ，所以 . 2. 【答案】B； 【解析】 ，由 ，所以 . 3. 【答案】C； 【 解 析 】 把 看 成 一 个 整 体 ， 分 解 . 4. 【答案】B； 【解析】解：1+a+b+ab =（1+a）+b（1+a） 3 2 34 4xy xy x y x y− + + 4 2 2 2 24 5 9x y x y y− − 4 3 22 6a a a+ − ( )( ) 2 25 (5 ) 5x y x by x b xy by− − = − + + 5 5 3b a b= + =， ( )( )2 30 6 5x x x x− − = − + b a< 6b = − ( )x y+ ( ) ( ) ( )( )2 5 6 6 1x y x y x y x y+ − + − = + − + +8 =（1+a）（1+b）． 故选：B． 5. 【答案】B； 【解析】A 各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理.B 第 一组可用平方差公式分解得 ，与第二组有公因式 可提取，所以分组合理，C 与 D 各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继 续进行下去，分组不合理. 6. 【答案】A； 【解析】由题意当 时，代数式为零，解得 . 二.填空题 7. 【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）． 【解析】解：a2﹣1+b2﹣2ab =（a2+b2﹣2ab）﹣1 =（a﹣b）2﹣1 =（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）． 故答案为：（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）． 8. 【答案】 ； 【解析】原式 9. 【答案】 ； 【解析】原式 . 10.【答案】16； 【解析】由题意当 时，代数式等于 0，解得 . 11.【答案】 ； 【解析】 . 12.【答案】 ； ； 【解析】 ； . 三.解答题 13.【解析】 解： ( )( )2 3 2 3x y x y+ − 2 3x y− 3x = − 9m = − ( )( )2 5 6 2 5 6a b a b− + − − ( )2 24 20 25 36a ab b= − + − ( ) ( )( ) 2 22 5 6 2 5 6 2 5 6 a b a b a b = − − = − + − − ( ) ( )( )2 21 1 1x x x x+ − − + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )23 2 2 2 3 21 1 1 1 1 1 1x x x x x x x x x= − + − = − + = + − − + 4x = 16a = ( )( )a b a b− + ( ) ( )3 2 2 3 2 2a a b ab b a a b b a b− − + = − − − ( ) ( )2a b a b= − + ( )( )3 1kx k x+ − + ( )( )x m x m n− − + ( )( )2 (2 3) 3 3 1kx k x k kx k x+ − + − = + − + ( ) ( ) ( )( )2 2( 2 )x n m x m mn x m x m n x m x m n+ − + − = − − − = − − +   ( )( )2 2 23 12 13 3 3 4x xy y x y x y y+ + = + + +9 由 ， 解得 所以，原式 . 14.【解析】 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4） . 15.【解析】 解：（1）原式=（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）=（a﹣b）（a+b+1）； （2）原式= x2﹣6x+9-16 =（x-3）2﹣16 =（x-3+4）（x-3-4） =（x+1）（x﹣7）； （3）原式= a2+4ab﹣5b2 = a2+4ab+4b2﹣9b2 = （a+2b）2﹣9b2 =（a +2b﹣3b）（a+2b +3b） =（a﹣b）（a+5b）． ( ) ( )( )4 3 2 2 2 22 6 2 6 2 3 2a a a a a a a a a+ − = + − = − + 0x y+ = 3 1x y+ = 1 2y = 213 0 1 4 12  = × × + × =   ( )( ) ( )( )( )( )2 22 6 1 2 2 3a a a a a a a a= − − − − = + − + − ( ) ( ) ( )( )22 2 24 4 2 2 2xy y x x xy x y xy x y x y = − + + = + − = + + − +  ( ) ( )( ) ( )( )( )2 4 2 2 2 2 2 24 5 9 4 9 1 2 3 2 3 1y x x y x x y x x x= − − = − + = + − +