1.1回归分析的基本思想及其初步应用第3课时.doc

§1.1 回归分析的基本思想及其初步（三） 【学情分析】： 教学对象是高二文科学生，学生已经学会建立回归模型的基本步骤，并有检验回归方程的拟合精确度 的方法，并能解决一些实际问题。两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关 系，通过探究使学生体会对回归模型的选择，非线性模型可以通过变换转化为线性回归模型，让学生直观 的观察、思考，借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系，并通过回归分析体会不同 模型拟合数据的效果。 【教学目标】： （ 1） 知 识 与 技 能 ： 了解回归模型的选择；进一步理解非线性模型通过变换转化为线性回归模型；体会不同模型拟合数据 的效果。 （ 2） 过 程 与 方 法 ： 从实例出发，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，通 过学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果，进而归纳出回归分析的一般步骤，并对具体问题进行回 归分析，用于解决实际问题。 （ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 任何事物都是相对的，但又有一定的规律性，我们只要从实际出发，不断探求事物的内在联系，就会 找出其中的规律性，形成解决实际问题的方法和能力。 【教学重点】： 1、加深体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型； 2、了解在解决问题的过程中寻找更好的模型的方法。 【教学难点】： 1、了解常用函数的图像特点，选择不同的模型建模； 2、通过比较相关指数对不同的模型进行比较。 【课前准备】： 课件 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引 入 问题一：你能回忆一下建立回归模型的基本步骤？ 师：提出问题，引导学生回忆建立回归模型的基本步骤（选变量、画散点 图、选模型、估计参数、分析与预测） 生：回忆、叙述建立回归模型的基本步骤 复习建立线性 回归模型的基本步 骤 二、探究新 知 问题二：观察例 2 的图 1．1-6 中的散点图，红铃虫的产卵数 y 与温度 x 的图像特点：随着自变量的增加，因变量也随之增加。这些点可以除了可 以看作是落在指数函数模型上，还可以认为它是落在什么函数的模型上？ 师：引导学生观察散点图的特点，并引导学生探究红铃虫的产卵数 y 与温度 x 还可能是什么关系。（二次函数模型） 生：讨论、回忆一些常见函数图像的特点，判断红铃虫的产卵数 y 与 温度 x 的可能关系 样本点还可以看作是分布在二次函数曲线 的周围。 引导学生根据 散点图判断两个变 量的关系，使学生 了解不是任何两个 变量都一定是只有 一种关系。 2 2 1 cxcy +=问题三：对模型 是否有办法求参数 和 的最小二乘估 计？ 师：从简单的模型入手，逐步引导学生思考把原来两个变量的非线性 关系转化为另外两个变量的线性关系 生：观察模型，探究变换的方法并发表自己的意见。最后给出具体的 方法。 令 ，建立 与 之间的线性回归方程 问题四：经过变换后这个模型都转化为线性回归模型，你如何得到这几个 线性回归模型的参数估计？ 师：提出问题，引导学生分组讨论，启发学生把原变量的观测数据转 化为新变量的数据，然后让学生给出每种线性回归模型的参数估计。 生：以组为单位进行数据变换，求参数的最小二乘估计（可以用计算 器） 解答过程如下： 令 ， ，即 分析 与 之间的关系，通过画散点图（如下图）， 让学生知道有 时因变量与自变量 的非线性关系经过 变换后可以转化为 两个新变量间的线 性关系 使学生进一步 体会把因变量与自 变量的非线性关系 经过变换后转化为 另外两个变量的线 性关系的方法。 使学生熟悉线 性回归模型的参数 估计的方法 得出红铃虫的 产卵数 y 与温度 x 产卵数与温度的关系 0 50 100 150 200 250 300 350 20 22 24 26 28 30 32 34 36 温度 产卵数y/个 变换后样本点的散点图 0 50 100 150 200 250 300 350 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300t=x^2 y 2 2 1 cxcy += 1c 2c 2xt = y t 21 ctcy += 1cb = 2ca = btay += y t可看到 与 的散点图并不分布在一条直线的周围，即不宜用线性回 归方程来拟合它，即不宜用二次曲线 来拟合 与 之间的 关系，这个结论还可以用残差分析得到。 为比较两个不同模型的残差，需建立相应的回归模型，让学生用线性 回归模型拟合回归方程 。 所以 因为 ，即 y 关于 x 的二次回归方程为 。 问题五：指数回归模型与二次回归模型中哪个能更好地刻画红铃虫的产卵 数 y 与温度 x 的关系？通过什么数据说明？ 师：提出问题，引导学生回忆评价线性回归模型拟合好坏的标准（相 关指数、残差平方和），进一步引导学生探讨如何进行不同模型的比较， 介绍计算模型相关指导数和残差平方和的方法，说明一般在参数个数一定 的条件下，相关指数越大或残差平方和越小说明模型拟合得越好。 生：讨论，提出自己的想法，计算每个模型的相关指数，并进行模型 的比较。 指数函数模型的相关指数 的模型 引导学生尝试 进行不同模型的比 较。 编号 1 2 3 4 5 6 7 合计 温度x /°C 21 23 25 27 29 32 35 192 产卵数y /个 7 11 21 24 66 115 325 569 t = x 2 441 529 625 729 841 1024 1225 5414 t i 2 194481 279841 390625 531441 707281 1048576 1500625 4652870 t i y i 3087 5819 13125 17496 55506 117760 398125 610918 0.367 773.429 81.286 4652870 610918 -202.543 =t ∑ = = n i it 1 2 =∑ = n i ii yt 1 =y = − − = ∑ ∑ = = 2 1 2 1ˆ znx zxnzx b n i i n i ii =−= xbza ˆˆ 编号 1 2 3 4 5 6 7 合计 温度x/°C 21 23 25 27 29 32 35 192 产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325 569 27.429 81.286 6.5 11.2 19.2 33.1 57.1 129.2 292.1 548.374 -74.3 -70.3 -60.3 -57.3 -15.3 33.7 243.7 0 0.5 -0.2 1.8 -9.1 8.9 -14.2 32.9 20.6257 5518.4 4940.1 3634.4 3281.7 233.7 1136.7 59396.7 78141.4 0.27 0.03 3.10 83.70 79.01 200.32 1084.26 1450.68 1450.68 78141.4 y关于x的指数回归方程 =x ( ) =−=∑∑ == n i ii n i i yye 1 2 1 2 ˆˆ ( ) =−∑ = n i i yy 1 2 =y843.3272.0ˆ −= xey iyˆ iii yye ˆˆ −= ( )22 ˆˆ iii yye −= y t 2 2 1 cxcy += y x btay += 543.202367.0 −= ty 2xt = 543.202367.0 2 −= xy二次函数模型的相关指数 从相关指数的计算结果来看，指数函数模型的 比二次函数模型的 更接近于 1，所以指数函数模型的回归效果好。 再从残差图看： 从图中可看出指数函数模型的残差点比较均匀地落在水平的带状域 中，所以指数函数模型拟合精度较二次函数模型的高。 通过学生自己动手计算感受，归纳判断模型拟合效果的方法： ⑴可以通过变换后的散点图观察两个新变量之间是否存在线性回归 方程； ⑵通过残差分析比较两种模型的拟合效果。一般情况下，比较两个模 型的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型 的小，而另一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的平 方和的大小来判断模型的拟合效果。残差平方和越小的模型，拟合的效 果越好。 三、练习 某种书每册的成本费 y（元）与印刷册数 x（千册）有关，经统计得 到数据如下: x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 ( ) ( ) 98.0 ˆ 1 1 2 1 2 2 = − − −= ∑ ∑ = = n i i n i ii yy yy R 2R 2R检验每册书的成本费 y 与印刷册数倒数 之间是否具有线性相关关 系，如有，求出 y 对 x 的回归方程。 分析：本题是非线性回归分析问题，不妨设变量 ，题意要求对 与 y 作相关性检验，如果它们具有线性相关关系，就可以进一步求出 y 对 的回归直线方程，这时，再回代 ，就得到了 y 对 x 的回归曲线 方程。 解：首先作变量置换 ，题目所给数据变成如下表所示的 10 对 数据： u 1 0．5 0．33 0．2 0．1 0．05 0．03 0．02 0．01 0．005 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 然后作相关性检验。 经计算得 ，从而认为 与 y 之间具有线性相关关 系，由公式得 ， ，所以 ， 最后回代 ，可得到 y 对 x 的回归曲线方程 四、小结 1．强调要借助散点图的直观性、联想已学过的基本函数图像、以及知识 间的联系，鼓励学生在建模中大胆尝试； 2．用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤； 3．残差分析的步骤、作用。 4．梳理本节书的知识结构 让学生整理解 决本例的思路，鼓 励学生探究建立更 好的模型。 练习与测试 1． 在两个变量 与 的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的相关指数 如下，其中拟合效果 x 1 xu 1= u u xu 1= xu 1= 75.09998.0 >=r u 125.1=a 973.8=b uy 973.8125.1ˆ += xu 1= xy 973.8125.1ˆ += 问题背景分析 线性相关系数散点图 两个变量线性相关 两个变量非线性相关 非线性回归模型线性回归模型 最小二乘法 残差分析 相关指数 应用 y x 2R最好的模型是（ A ） A．模型 1 的相关指数 为 B．模型 2 的相关指数 为 C．模型 3 的相关指数 为 D．模型 4 的相关指数 为 2． 已知两个变量的回归模型为 ，则样本点的（1，4.4）的残差是_____________________ 答案:0.4 3． 残差平方和用数学符号表示为___________________，它代表了随机误差的效应；解释变量的效应值称 为回归平方和，可以用相关指数 来刻画回归的效果，其计算公式是___________________。显然， 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好。 答案: ； 。 4． 在研究硝酸纳的可溶性程度时，对不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下表所示： 温度（ ） 0 10 20 50 70 溶解度（ ） 66．7 76．0 85．0 112．3 128．0 则由此得到的回归直线的斜率是____________。 答案:0.8809 5． 已知线性相关的两变量 ， 的三个样本点 A（0，0），B（1，3），C（4，11），若用直线 AB 作为其 预测模型，则其相关指数 ________。 答案： ， ， ， ， ， ， ， ， 6． 已知线性相关的两变量 ， 的三个样本点 A（0，0），B（1，3），C（4，11），若用直线 AB 作为其 预测模型，则点 C 的残差是________。 答案： ， ， 。 7． 若一组观测值（x1，y1）、（x2，y2）、…、（xn，yn）之间满足 yi=bxi+a+ei (i=1、2. …n)若 ei 恒为 0，则 R2 为 答案：1 2R 98.0 2R 80.0 2R 50.0 2R 25.0 xy 22⋅= 2R 2R ( )∑ = − n i ii yy 1 2ˆ ( ) ( )∑ ∑ = = − − −= n i i n i ii yy yy R 1 2 1 2 2 ˆ 1 x y x y =2R xy AB 3ˆ = 7=y 0ˆ1 =y 3ˆ 2 =y 12ˆ3 =y 7ˆ1 −=− yy 4ˆ 2 −=− yy 5ˆ3 =− yy 0ˆ1 =e 0ˆ2 =e 1ˆ3 =e 989.090 112 ≈−=R x y xy AB 3ˆ = 12ˆ =Cy 1ˆ =Ce