2.1合情推理与演绎推理（二）.doc

§2.1 合情推理与演绎逻辑（二） 【 内 容 分 析 】 ： 类 比 是 重 要 的 推 理 方 法 ，在 掌 握 一 定 的 数 学 基 础 知 识（ 如 数 列 、立 体 几 何 、空 间 向 量 等 等 ） 后 ， 对 数 学 问 题 的 探 究 方 法 加 以 总 结 ， 上 升 为 思 想 方 法 。 【 教 学 目 标 】 ： 1、 知 识 与 技 能 ： （1）结合数学实例，了解类比推理的含义 （2）能利用类比方法进行简单的推理， 2、 过 程 与 方 法 ： 通 过 课 例 ， 加 深 对 类 比 这 种 思 想 方 法 的 认 识 。 3、 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 体验并认识类比推理在数学发现中的作用。 【 教 学 重 点 】 ： （ 1） 体 会 并 实 践 类 比 推 理 的 探 索 过 程 （ 2） 类 比 推 理 的 局 限 【 教 学 难 点 】 ： 引 导 和 训 练 学 生 从 已 知 的 线 索 中 归 纳 出 正 确 的 结 论 【 教 学 过 程 设 计 】 ： 教 学 环 节 教学活动 设计意图 一、问 题情景 学生阅 读 1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇 3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想; 火星上也可能有生命存在. 4．利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理. 引 入 课 题 通 过 阅 读 教 材 体 会 类 比 推 理 的 思 维 过 程 二 、概 念 教 学 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一 类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比练习： (i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结 论如何类比到球体？ (ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？ 由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材 73 探究 填表） 小结：平面→空间，圆→球，线→面. 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维. 类 比 推 理 ― ― 联 想 ― ― 普 遍 联 系 三、例 题讲解 例 2：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格） 类比角度 实数的加法 实数的乘法 运算结果 若 则 若 则 运算律 逆运算 加法的逆运算是减法，使得 方程 有唯一解 乘法的逆运算是除法，使 得方程 有唯一解 单位元 例 3、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想. 分 析 探 索 过 程 , ,a b R∈ a b R+ ∈ , ,a b R∈ ab R∈ ( ) ( ) a b b a a b c a b c + = + + + = + + ( ) ( ) ab ba ab c a bc = = 0a x+ = x a= − 1ax = 1x a = 0a a+ = 1 1a ⋅ = 思维：直角三角形中， ，3 条边的长度 ，2 条直角边 和 1 条斜边 ； →3 个面两两垂直的四面体中， ，4 个面的面积 和 3 个“直角面” 和 1 个“斜面” . → 拓展：三角形到四面体的 类比. 例 4、（可作为研究性学习材料） 四、课 堂训练 例:(2001 年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去② 式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广, 即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例。 解析：类比猜想 1)圆心 2）半径 推广的命题为： 设圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2① 与 (x-c)2+(y-d)2=r2②（a≠c 或 b≠d), 则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。 五、小 结 类比推理的几个特点 1）类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的 认识为基础,类比出新的结果. 2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. 3）类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能. 练习 P93 1，2.3，4.5 ; P94 1 1） 联 想 2） 探 索 性 3）不 确 定 性 指 出 类 比 推 理 的 结 果 不 一 定 可 靠 【 练习与测试】 ： （基础题） 1）已知扇形的弧长为 l,半径为 r，类比三角形的面积公式 S＝ ，可知扇形的面积公式为_________ 2)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比 较恰当的是（ ） ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的 二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A．①；B．①②； C．①②③； D．③ 3)由“ 正三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是 4）定义运算 a b= 则对 x R，函数 f(x)=1 x 的解析式为__________。 5）三角形的面积公式为 S＝ （a,h 分别表示三角形的边和该边上的高），类比四面体的体积 V＝ 6）在三角形 ABC 中， 于 D，则有 ，类比此性质，给出空间四面体 的一个猜想，并判断该猜想是否正确。 答案： 1）s= 2）C 3）正棱锥的侧棱长相等 4）f(x)=1 x＝ 090C∠ = , ,a b c ,a b c 090PDF PDE EDF∠ = ∠ = ∠ = 1 2 3, ,S S S S 1 2 3, ,S S S S ah2 1 ∗    > ≤ )( )( bab baa ∈ ∗ ah2 1 ABCDC ⊥=∠ ,900 ABADAC ×=2 lr2 1 ∗    > ≤ )1( )1(1 xx x5） 四面体的体积 V＝ （S,h 分别表示四面体的底面积和该面上的高） 6）在棱锥 S－ABC 中， ，则 （中等题） 1）a,b 为实数，则由 或 ，类比向量运算中 可以得出什么结论？ 2）若三角形的内切圆半径为 r 三边的长分别为 a,b,c,则三角形的面积 根据类比思想， 若四面体的内切球半径为 r，四个面的面积分别为 ，则此四面体的体积 V＝_________ 3) 在 中，若 ，则 的外接圆半径 ，将此结论拓展到空 间，可得出的正确结论是：在四面体 中，若 两两垂直， ，则 四面体 的外接球半径 _______． 4)六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 如图 1 在平 行四边形 ABCD 中，有 AC2+BD2=2(AB2+AD2) ，那么在图 2 所示的平行 六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，有 AC12+BD12+CA12+DB12=（ ）. A．2（AB2+AD2+AA12） B．3（AB2+AD2+AA12） C．4（AB2+AD2+AA12） D．4（AB2+AD2） 答案： 1） 或 2）V＝ 3） 4）C （难题） 1）若数列 是等差数列，对于 ，则数列 也是等差数列。类比上述性质， 若数列 是各项都为正数的等比数列，对于 ，则 = 时，数列 也是等比数列。 2）如图，已知命题：若矩形 ABCD 的对角线 BD 与边 AB 和 BC 所成角分别为 ，则 若把它推广到长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，试写出相应命题形式： __________________________________________________________________ . 答案： 1） = 2 ） 长 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中 ， BD 与 同 一 顶 点 三 个 侧 面 所 成 角 分 别 为 ， 则 D C BA D1 C1 C D A B A1 B1 Sh3 1 OCSO,SAB 于平面平面 ABSC ⊥⊥ CABOAB 2 SAB SSS ∆∆∆ ⋅＝ 00 =⇒=× aba 0=b 0=•ba )(2 1 cbars ++= 4321 ,,, ssss ABC∆ , ,AB AC AC b BC a⊥ = = ABC∆ 2 2 2 a br += S ABC− SA SB SC、 、 , ,SA a SB b SC c= = = S ABC− R = 0=•ba 00 ==⇒ ba 或 ba ⊥ )(3 1 4321 SSSSr +++ 2 2 2 2 a b c+ + { }na )(1 21 nn aaanb +++=  { }nb { }nc 0>nd nd n naaaa ...321 { }nd βα、 ,1coscos 22 =+ βα nd n naaaa ...321 γβα 、、 2coscoscos 222 =++ γβα 20 07 04 02