1.2.2 同角三角函数的基本关系
整体设计
教学分析
与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,
是按照一切从定义出发的原则进行的,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念
学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内
涵.
同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来,在使
用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如 sin24π+cos24π=1 等,二要注
意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如 tanα 中的 α 是使得 tanα 有意
义的值,即 α≠kπ+ ,k∈Z.
已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这
是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边
的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产
生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉
了负的平方根.
三维目标
1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关
系式进行三角函数的化简与证明.
2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化简三角
函数式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三
角恒等式的证明.
3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能
力,树立转化与化归的思想方法.
重点难点
教学重点:课本的三个公式的推导及应用.
教学难点:课本的三个公式的推导及应用.
课时安排
1 课时
教学过程
导入新课
思路 1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,
并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式
的值:
(1)sin290°+cos290°;(2)sin230°+cos230°;(3) ;(4) .
推进新课
新知探究
提出问题
①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角 α 应受什么影响?
2
π
60cos
60sin
135cos
135sin图 1
如图 1,以正弦线 MP、余弦线 OM 和半径 OP 三者的长构成直角三角形,而且 OP=1.
由勾股定理有 OM2+MP2=1.
因此 x2+y2=1,即 sin2α+cos2α=1(等式 1).
显然,当 α 的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.
根据三角函数的定义,当 α≠kπ+ ,k∈Z 时,有
=tanα(等式 2).
这就是说,同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1,商等于角 α 的正切.
②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其
他的三角函数的值.
活动:问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思
考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的
角的取值范围.
问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对
没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.
讨论结果:
①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α 可以是任意角,在
第二个等式中 α≠kπ+ ,k∈Z.
②在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就
可以先求出余弦(正弦),用等式 1;进而用第二个等式 2 求出正切.
应用示例
思路 1 例 1 已知 sinα= ,并且 α 是第二象限的角,求 cosα,tanα 的值.
活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明
确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是
sin2α+cos2α=1,故 cosα 的值最容易求得,在求 cosα 时需要进行开平方运算,因此应根
据角 α 所在的象限确定 cosα 的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.
解:因为 sin2α+cos2α=1,所以
cos2α=1-sin2α=1-( )2= .
又因为 α 是第二象限角,所以 cosα
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