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天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 模块检测 ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)‎ ‎1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a5＋a6的值为 (　　)．‎ A．91 B．‎152 C．218 D．279‎ 解析　a5＋a6＝S6－S4＝63－43＝152.‎ 答案　B ‎2．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，则cos A的值是 (　　)．‎ A．－ B. C．－ D. 解析　由正弦定理得a∶b∶c＝4∶3∶2，设a＝4k，b＝3k，c＝2k，则cos A＝‎ ＝－.‎ 答案　A ‎3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于 (　　)．‎ A．16 B．‎32 C．64 D．256‎ 解析　∵{an}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a102(an＞0)，∴a8·a10·a12＝a103＝64.‎ 答案　C ‎4．等差数列{an}满足a42＋a72＋‎2a4a7＝9，则其前10项之和为 (　　)．‎ A．－9 B．－‎15 C．15 D．±15‎ 解析　a42＋a72＋2a4a7＝(a4＋a7)2＝9.∴a4＋a7＝±3，‎ ‎∴a1＋a10＝±3，∴S10＝＝±15.‎ 答案　D ‎5．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为 (　　)．‎ A. B. C. D．2‎ 解析　|CD|＝1＋1＝2，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ∴xA＝.‎ ∴xB＝－1，‎ ‎∴S△CDA＝×2×＝，‎ S△CDB＝×2×1＝1.‎ 故所求区域面积为.‎ 答案　B ‎6．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是 (　　)．‎ A．(1,3) B．(－∞，3)‎ C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)‎ 解析　∵4x2＋6x＋3＝2＋＞0，∴原不等式⇔2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3⇔2x2＋‎ ‎(6－‎2m)x＋(3－m)＞0，x∈R恒成立⇔Δ＝(6－‎2m)2－8(3－m)＜0，∴1＜m＜3.‎ 答案　A ‎7．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，b＝，则c∶sin C等于 (　　)．‎ A．3∶1 B.∶1‎ C.∶1 D．2∶1‎ 解析　cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝2cos2B－3cos B＋1＝0，‎ ‎∴cos B＝或cos B＝1(舍)．∴B＝.‎ ‎∴＝＝＝2.‎ 答案　D ‎8．已知各项都为正数的等比数列{an}的公比不为1，则an＋an＋3与an＋1＋an＋2的大小关系是(　　)．‎ A．an＋an＋3＜an＋1＋an＋2 B．an＋an＋3＝an＋1＋an＋2‎ C．an＋an＋3＞an＋1＋an＋2 D．不确定的，与公比有关 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解析　因为an＋an＋3＝an(1＋q3)，‎ an＋1＋an＋2＝an(q＋q2)，‎ an＋an＋3－(an＋1＋an＋2)＝an(1＋q3－q－q2)＝‎ an(1－q)(1－q2)＝an(1－q)2(1＋q)＞0.‎ 答案　C ‎9．已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某等比数列的第4,6,8项，则该等比数列的公比是 (　　)．‎ A. B. C．± D．± 解析　等差数列记作{an}，等比数列记作{bn}，‎ 则q2＝＝＝＝＝＝3，∴q＝±.‎ 答案　C ‎10．若实数x，y满足不等式组且x＋y 的最大值为9，则实数m等于(　　)．‎ A．－2 B．－‎1 C．1 D．2‎ 解析　如图，作出可行域，‎ 由得A，‎ 平移y＝－x，当其经过点A时，x＋y取得最大值，即＋＝9，解得m＝‎ ‎1.‎ 答案　C 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)‎ ‎11．正项等比数列{an}满足a‎2a4＝1，S3＝13，bn＝log3an，则数列{bn}的前10项和是________．‎ 解析　∵{an}成等比数列，an＞0，∴a2a4＝a32＝1.‎ ‎∴a3＝1，∴a1q2＝1.①‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∵S3＝a1＋a2＋1＝13，∴a1(1＋q)＋1＝13.②‎ 由①②得，a1＝9，q＝，an＝33－n.‎ ‎∴bn＝3－n.∴S10＝－25.‎ 答案　－25‎ ‎12．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为‎60 m，则树高的高度为________．‎ 解析　∵∠A＝30°，∠ABP＝45°，∴∠APB＝15°，＝，＝‎ ，∴PA＝60(＋1)，PQ＝PA·sin ∠A＝60(＋1)·sin 30°＝30(＋1)．‎ 答案　(30＋30)m ‎13．设，x，y满足约束条件若目标函数z＝abx＋y(a＞0，b＞0)的最大值为8，则a＋b的最小值为________．‎ 解析　如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴 影部分，A(0,2)，B，C(1,4)，当直线l：y＝－abx ‎＋z过点C时，z取最大值8，即8＝ab＋4，‎ ‎∴ab＝4.又∵a＞0，b＞0，‎ ‎∴a＋b≥2＝2＝4(a＝b＝2时取等号)．‎ 答案　4‎ ‎14．在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°，若AC＝AB，则BD＝________.‎ 解析　如图，设AB＝k，‎ 则AC＝k，再设BD＝x，‎ 则DC＝2x.‎ 在△ABD中，由余弦定理得 k2＝x2＋2－2·x··＝x2＋2＋2x，①‎ 在△ADC中，由余弦定理得 ‎2k2＝4x2＋2－2·2x··＝4x2＋2－4x，‎ ‎∴k2＝2x2＋1－2x.②‎ 由①②得x2－4x－1＝0，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解得x＝2＋(负值舍去)．‎ 答案　2＋ ‎15．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为________．‎ 解析　因为a＞1，b＞1，ax＝by＝3，a＋b＝2，‎ 所以x＝loga 3，y＝logb 3.‎ ＋＝＋＝log‎3 a＋log3 b＝log3 ab≤‎ log32＝log32＝1，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 答案　1‎ 三、解答题(本大题共6小题，共75分)‎ ‎16．(12分)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．‎ ‎(1)求通项an及Sn；‎ ‎(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.‎ 解　(1)∵{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，∴an＝19－2(n－1)＝21－2n，‎ Sn＝19n＋n(n－1)×(－2)＝20n－n2.‎ ‎(2)由题意得bn－an＝3n－1，即bn＝an＋3n－1，‎ ‎∴bn＝3n－1－2n＋21，‎ ‎∴Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋.‎ ‎17．(12分)已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x>b}，　‎ ‎(1)求a，b；‎ ‎(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.‎ 解　(1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b＞1.‎ 由根与系数的关系，得解得 所以a＝1，b＝2.‎ ‎(2)所以不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，‎ 即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.‎ 当c＞2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}；‎ 当c＜2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|c＜x＜2}；‎ 当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为∅，‎ 综上，当c＞2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 当c＜2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；‎ 当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为∅.‎ ‎18．(12分)在△ABC中，a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦值是，求△ABC的面积．‎ 解　据题意知a－b＝2，b－c＝2，∴边长a最大，∴sin A＝，‎ ‎∴cos A＝±＝±.‎ ‎∵a最大，∴cos A＝－.又a＝b＋2，c＝b－2，‎ ‎∴cos A＝＝＝－，‎ 解得b＝5，∴a＝7，c＝3，‎ ‎∴S△ABC＝bcsin A＝×5×3×＝.‎ ‎19．(12分)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．‎ ‎(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．‎ ‎(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)‎ 解　(1)第一年末的住房面积为 a·－b＝(‎1.1a－b)(m2)．‎ 第二年末的住房面积为·－b ‎＝a·2－b＝(1.21a－2.1b)(m2)．‎ ‎(2)第三年末的住房面积为 ·－b ‎＝a·3－b，‎ 第四年末的住房面积为 a·4－b，‎ 第五年末的住房面积为 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ a·5－b ‎＝1.15a－b＝1.6a－6b.‎ 依题意可知1.6a－6b＝1.3a，解得b＝，所以每年拆除的旧住房面积为 m2.‎ ‎20．(13分)已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．‎ 解　法一　作出一元二次方程组所表示的 ‎ 平面区域(如图)即可行域．‎ 考虑 z＝2x－3y，把它变形为y＝x－z，得到斜率为， ‎ 且随z变化的一组平行直线，－z是直线在y轴上的截距， ‎ 当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z＝2x－3y取得最小值；当直线截距最小且 满足约束条件时目标函数z＝2x－3y取得最大值．‎ 由图可知，当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小．‎ 解方程组得A的坐标为(2,3)．‎ 所以zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.‎ 解方程组得B的坐标为(2，－1)，‎ 所以zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.‎ ‎∴2x－3y的取值范围是[－5,7]．‎ 法二　设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝mx＋my＋nx－ny＝(m＋n)x＋(m－n)y 则⇒ 则2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)‎ ‎∵1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，∴－≤－(x＋y)≤‎ ‎－，－≤(x－y)≤，∴－5≤2x－3y≤7.‎ 即2x－3y的取值范围为[－5,7]．‎ ‎21．(14分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．‎ ‎(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解　(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．‎ 如图所示，设小艇与轮船在C处相遇．‎ 在Rt△OAC中，OC＝20cos 30°＝10，AC＝20sin 30°＝ ‎ ‎10.又AC＝30t，OC＝vt.此时，轮船航行时间t＝＝，‎ v＝＝30，即小艇以30海里/时的速度航行，相 ‎ 遇时小艇的航行距离最小．‎ ‎ (2)如图所示，设小艇与轮船在B处相遇．‎ 由题意，可得(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，‎ 化简，得v2＝－＋900＝‎ ‎4002＋675.‎ 由于0＜t≤，即≥2，‎ 所以当＝2时，v取得最小值10，即小艇航行速度的最小值为10海里/时．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎