浙江省台州中学2016届高三数学上学期期中试题 理.doc

台州中学2015学第一学期期中试题 高三 数学（理科）‎ 参考公式：‎ ‎ 球的表面积公式 棱柱的体积公式 球的体积公式 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高 ‎ ‎ 其中表示球的半径 棱台的体积公式 棱锥的体积公式 其中分别表示棱台的上底、下底面积，‎ ‎ 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 表示棱台的高 ‎ ‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设,，若，则实数a的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若，且，则以下不等式中正确的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．函数的大致图象是 （ ）‎ ‎4.公比为等比数列的各项都是正数,且,则（　　）‎ A． B． C． D．‎ - 16 -‎ ‎5.已知，则的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6. “a≤‎0”‎是“函数在区间内单调递增”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7.设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎8．已知函数 则函数 - 16 -‎ 的所有零点之和是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：(本大题共7小题，9—12题每空格3分，13—15题每小题4分，共36分)‎ ‎9. 已知，则 ， ；‎ ‎10. 若函数 的值域为[0，+∞），则的最小值为 ，‎ 若不等式的解集为，则= ；‎ ‎11．已知平面上三点A，B，C，＝(2－k，3)，＝(2，4)．‎ ‎(1)若三点A，B，C不能构成三角形，则实数k的值是 ，‎ ‎(2)若△ABC为直角三角形，且，则k的值是 ;‎ - 16 -‎ ‎12．若实数满足约束条件，则的最大值为 ，点 所在的区域的面积为 ；‎ ‎13. 在扇形OAB中，∠AOB=120°，P是上的一个动点，若=x+y，则+的最小值是 ;[‎ ‎14.已知为偶函数，且在单调递增，若 在上恒成立，则实数的取值范围是 ;‎ ‎15. 已知函数，若关于的方程有 - 16 -‎ 个不同的实数根，且所有实数根之和为，则实数的取值范围为__ _．‎ 三、解答题(共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16. （本题满分14分）‎ 已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M，且与x轴两个相邻的交点的距离为π．‎ ‎（1）求f (x)的解析式；‎ ‎（2）在△ABC中，a＝13，f (A)＝，f (B)＝，求△ABC的面积．‎ ‎17. （本题满分15分）‎ 已知在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；‎ ‎（2）若PA=，PC与侧面APB所成角的余弦值为，‎ PB与底面ABC成60°角，求二面角B﹣PC﹣A的大小．‎ - 16 -‎ ‎18. （本题满分15分）‎ 设为函数两个不同零点.‎ ‎（1）若，且对任意,都有，求；‎ ‎（2）若，则关于的方程是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在,请说明理由；‎ ‎19．（本题满分15分）‎ - 16 -‎ 已知椭圆：的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆相交于，两点．点，记直线，的斜率分别为，当最大时，求直线的方程．‎ ‎20. （本题满分15分）‎ - 16 -‎ 已知数列的前n项和满足，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式、数列的前项和；‎ ‎（2）证明：．‎ 台州中学2015学第一学期期中答案 高三 数学（理科）‎ 一、ADBBCDCB - 16 -‎ 二、9 、 , 10、3 , 12 11、 , 12、， 1‎ ‎ 13、2 14、 15、‎ 三、16.【解析】（1）依题意知，T＝2π，∴ω＝1，∴f (x)＝sin(x＋φ) ∵f ()＝sin(＋φ)＝，且0＜φ＜π ∴＜＋φ＜ ∴＋φ＝ 即φ＝ ∴f (x)＝sin＝cosx． ………6分 ‎（2）∵f (A)＝cosA＝，f (B)＝cosB＝， ∴A,B∈(0,) ‎ ‎∴sinA＝，sinB＝ ………8分 ∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝ ………10分 ∵在△ABC中＝ ∴b＝15. ………12分 ∴S△ABC＝absinC＝×13×15×＝84． ………14分 ‎17.【解析】（1）证明：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥BC，‎ ‎∵AB⊥BC，且PA∩AB=A，‎ ‎∴BC⊥面PAB而BC⊂面PBC中，∴面PAB⊥面PBC．…（7分）‎ ‎（2）解法一：过A作AE⊥PB于E，过E作EF⊥PC于F，连接AF，如图所示 则∠EFA为B﹣PC﹣A的二面角的平面角 ……..(8分)‎ 由PA=，在Rt△PBC中，cos∠COB=．‎ - 16 -‎ Rt△PAB中，∠PBA=60°．∴AB=，PB=2，PC=3∴AE==‎ 同理：AF= ∴sin∠EFA=，∴∠EFA=60．…（14分）‎ ‎∴二面角B﹣PC﹣A的大小为．…….(15分)‎ 解法二：向量法：由题可知：AB=，BC=1，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系…（8分）‎ B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，，0），P（0，，），‎ 假设平面BPC的法向量为=（x1，y1，z1），‎ ‎∴‎ - 16 -‎ 取z1=可得平面BPC的法向量为=（0，﹣3，）‎ 同理PCA的法向量为=（2，﹣，0）‎ ‎∴cos＜，＞==，∴＜，＞=60°．…（14分）‎ ‎∴二面角B﹣PC﹣A的大小为．…….(15分)‎ ‎18.【解析】（1）由得函数关于对称，则 - 16 -‎ ‎ 又 解得 ,………（7分）‎ ‎（2）由知只需考虑时的情况 当时可化为 所以关于的方程存在唯一负实根 令 ‎ ‎ 在上单调递增 ‎ - 16 -‎ 则 ………（15分）‎ ‎19.【解析】（1）由已知得． ‎ 又，所以椭圆的方程为．………（5分）‎ ‎ （2）①当直线的斜率为0时，则；………（6分）‎ ‎ ②当直线的斜率不为0时，设，，直线的方程为， ‎ ‎ 将代入，整理得．……（7分）‎ ‎ 则，．‎ - 16 -‎ ‎ 又，，‎ ‎ 所以，‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎ 令，则 ‎ 所以当且仅当，即时，取等号．‎ ‎ 由①②得，直线的方程为． ………（15分）‎ ‎20. 【解析】（1）由①得②‎ - 16 -‎ ②-①：有 …………………………2分 ‎ 即， …………………………4分 又，由②有知 ………………5分 ‎∴数列是以6为首项，公比为3的等比数列，∴ …6分 又由（1）得：， ……………………………7分 得， …8分 ‎（2）证法一：由（2）得：由 …………9分 ‎∵ ………………………11分 ‎∴ ………12分 - 16 -‎ ‎ ……15分 证法二： ‎ ‎ ………………………12分 ‎ ………………………15分 证法三：当时，不等式显然成立，‎ 当时，令 …11分 ‎……………………………12分 ‎ .…………15分 综上得命题得证. ‎ - 16 -‎