山东省日照第一中学2016届高三数学上学期期中试题 理.doc

山东省日照一中2016届高三上学期期中考试数学（理）试卷 ‎ 第Ⅰ卷 一、 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，若，则 等于 A.9 B‎.8 ‎‎ ‎ C.7 D.6‎ ‎2.下列命题是假命题的是 A． B． C． D． ‎3.已知偶函数在上递减，则 大小为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则的表达式可以是 A. B. ‎ C. D. ‎5．在中,已知,则的面积是 A． B． C．或 D． ‎6.函数的图像如图所示，的导函数，则下列数值排序正确的是 ‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ A． ‎ ‎ B．‎ ‎ C． ‎ ‎ D．‎ - 10 -‎ ‎7. 已知函数的零点依次为，则 A． B． C． D． ‎8、函数的部分图象为 ‎ ‎9．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1，x2，且x1∈，x2∈，则f(－1)的取值范围是 (　　)．‎ A. B. C． D. ‎10.设函数y=f(x)在区间D上的导函数为f′(x)，f′(x)在区间D上的导函数为g(x)。‎ 若在区间D上，g(x)＜0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为“凸函数”。已知 实数m是常数，,若对满足|m|≤2的任何一个实数m，‎ 函数f(x)在区间（a，b）上都为“凸函数”，则b a的最大值为（ ）‎ A．3 B．‎2 C．1 D． 1 ‎ 第Ⅱ卷．‎ 二、 填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)‎ ‎11．曲线和曲线围成的图形的面积是________.上递减，‎ ‎∴f（）＞f（1）＞f（2）又∵f（x）是偶函数，f（）=f（﹣）=‎ ‎∴＞f（1）＞，即c＞a＞b 故选D ‎4、【解】将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）=-sin2x=-2cosx•sinx ∵y=f（x）•sinx ∴f（x）=-2cosx 故选A．‎ - 10 -‎ ‎5、【解】由余弦定理可得42=+BC2﹣2×4×BC×cos30°，解得 BC=4，或BC=8．‎ 当BC=4时，△ABC的面积为×AB×BC×sinB=×4×4×=4，‎ 当BC=8时，△ABC的面积为×AB×BC×sinB=×4×8×=8， 故选C．‎ ‎6、【解】由函数f（x）的图象可知：当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＞0，‎ ‎∴f′（2），f′（3），f（3）﹣f（2）＞0，由此可知f（x）′在（0，+∝）上恒大于0，其图象为一条直线，∵直线的斜率逐渐减小，∴f′（x）单调递减，∴f′（2）＞f′（3），‎ ‎∵f（x）为凸函数，∴f（3）﹣f（2）＜f′（3）∴0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（3），故选B．‎ ‎7、【解】令函数f（x）=2x+x=0，可知x＜0，即a＜0；令g（x）=log2x+x=0，则0＜x＜1，‎ 即0＜b＜1；令h（x）=log2x﹣2=0，可知x=4，即c=4．显然a＜b＜c．故选A ‎8、【解】∵y=exx2﹣1，∴y'=f'（x）=exx2+2xex=ex（x2+2x），‎ 由f'（x）=ex（x2+2x）＞0，得x＞0或x＜﹣2，此时函数单调递增，‎ 由f'（x）=ex（x2+2x）＜0，得﹣2＜x＜0，此时函数单调递减．∴当x=0时，函数f（x）取得极小值，当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，对应的图象为A． 故选：A．‎ ‎9、【解】f'（x）=3x2+4bx+c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，‎ 且x1∈，x2∈ 等价于f'（﹣2）≥0，f'（﹣1）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．‎ 由此得b，c满足的约束条件为 ‎ 满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分． 由题设知f（﹣1）=2b﹣c，由z=2b﹣c，将z的值转化为直线z=2b﹣c在y轴上的截距，当直线z=2b﹣c经过点（0，﹣3）时，z最小，最小值为：3．当直线z=2b﹣c经过点C（0，﹣12）时，z最大，最大值为：12．故选C．‎ ‎10、【解】当|m|≤2时，f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0恒成立等价于当|m|≤2时关于m的一次函数 h(m)= x2﹣mx﹣3＜0恒成立.∴h(-2) ＜0且 h(2) ＜0，综上可得﹣1＜x＜1，‎ 从而（b﹣a）max=1﹣（﹣1）=2故选B．‎ - 10 -‎ 二、填空题: 11. 12. 13. ①④ 14. 15. ‎11、【解】作出如图的图象联立解得，即点A（1，1）‎ 所求面积为：S===故答案为：．‎ ‎12、【解】当a=0时，显然成立．当a＞0时，直线ax+2y﹣z=0的斜率 k=﹣＞kAC=﹣‎1 ‎, a＜3．当a＜0时，k=﹣＜kAB=‎2 a＞﹣6． ‎ 综合得﹣6＜a＜3，故答案为：（﹣6，3）．‎ ‎13、解：对于①y=f（x）的对称轴是2x﹣=k，‎ 即x=，当k=﹣1时，x=﹣，故①正确； ‎ ‎ 对于②y=f（x）的对称点的横坐标满足2x﹣=kπ，即x=，故②不成立；‎ 对于③函数y=f（x）的周期π，若f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必为必是半个周期的整数倍，故不正确；对于④y=f（x）的增区间满足﹣， ，k∈Z，故④成立；f（x）=2sin（2x﹣）=2cos（）=2cos（）=﹣2cos（2x+），故⑤不正确．故答案为：①④．‎ ‎14、解：根据已知条件知函数f（x）为周期为2的周期函数；且x∈时，f（x）=|x|；‎ 而函数g（x）的零点个数便是函数f（x）和函数y=kx+k的交点个数；‎ ‎∴（1）若k＞0，则如图所示：当y=kx+k经过点（1，1）时，k=；当经过点（3，1）时，k=；‎ ‎∴；（2）若k＜0，即函数y=kx+k在y轴上的截距小于0，显然此时该直线与f（x）的图象不可能有三个交点；即这种情况不存在；（3）若k=0，得到直线y=0，显然与f（x）图象只有两个交点；综上得实数k的取值范围是；故答案为：（）．‎ - 10 -‎ ‎15、解：当x＜1时，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=，‎ 当x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函数；当0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数；画出函数y=f（x）在R上的图象，如图所示；‎ 命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命题，‎ 即为任意t∈R，且t≠0时，使得f（t）＜kt恒成立；‎ 作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），‎ 则由（lnx）′=，得k=，‎ 即lnm=km，解得m=e，k=；‎ 设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）的图象相切于点（0，0），‎ ‎∴y′=′=（x﹣1）（3x﹣1），则有k=1，‎ 由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x≥1）图象相切，‎ 以及与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，‎ ‎∴k的取值范围是（，1]．故答案为：（，1]．‎ 三. 解答题:‎ ‎16. 解：（1） ‎ ‎ 所以最小正周期为 ‎ 由 得 ‎ 所以的单调递增区间为 ……分 ‎（2）由，得 所以 ‎ 所以 或 （）‎ - 10 -‎ ‎ 即或 因为 所以 …………………………12分 ‎17. 17. 解：（I）若命题为真，即恒成立 ‎①当时，不合题意 ‎ ‎②当时，可得，即 ‎（II）令 由得 若命题为真，则 由命题“或”为真且“且”为假，得命题、一真一假 当真假时，不存在 当假真时， 综上所述，的取值范围是：‎ ‎18.（1）由 得 ‎ 当 即时 当 即时 ‎ ‎ 所以的取值范围是 …………………………分 ‎ ‎ （2）令 ， ‎ 当时，即时， 当时，即时， ‎ 所以 …………………………分 ‎ - 10 -‎ ‎（3）当时，易知单调递增 所以 当时， 由 得 当时， 单调递增 ‎ 当时， 单调递减 ‎ 所以函数 所以没有超标 ‎ 答：目前该市的污染指数没有超标 …………………………分 ‎ ‎19、‎ ‎. ‎ - 10 -‎ ‎20、【解析】(1), 此时 ‎(2) - 10 -‎ ‎21、解：（1），则 ‎ 因为在上单调递增，‎ 所以对，都有 即对，都有 因为 所以 所以实数的取值范围是 …………………………分 ‎（2）设切点为,则切线方程为 ‎ 即 ‎ ‎ 令，由题意得， 令，则 当时，，在上单调递减 当时，，在上单调递增 所以 ‎ 所以的最小值是 …………………………分 - 10 -‎ ‎（3）由题意知 ‎ ‎ 两式相加得 两式相减得 即 所以 即 不妨令 记 令 则 所以 在上单调递增 则 所以 则 ‎ 所以 ‎ 又 ‎ 所以 即 令 则时，，‎ 所以在上单调递增 ‎ 又 ‎ 所以 则 ‎ 即 …………………………分 - 10 -‎