山东省潍坊市高密市2015-2016学年度九年级数学上学期期中试题（含解析） 新人教版.doc

山东省潍坊市高密市2015-2016学年度九年级数学上学期期中试题 一、选择题（每小题3分，共36分）‎ ‎1．如图所示的三个矩形中，其中相似形是( )‎ A．甲与乙 B．乙与丙 C．甲与丙 D．以上都不对 ‎2．已知α是锐角，cosα=，则tanα的值是( )‎ A． B．2 C．3 D．‎ ‎3．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )‎ A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 ‎4．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为( )‎ A．（，1） B．（1，） C．（+1，1） D．（1，+1）‎ ‎5．如图，下列条件：①∠1=∠2；②∠ADB=∠ABC；③AB2=AD•AC；④，能使△ABD∽△ACB的条件的个数为( )‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 27‎ ‎6．如图，小正方形的边长均为1，关于△ABC和△DEF的下列说法正确的是( )‎ A．△ABC和△DEF一定不相似 B．△ABC和△DEF是位似图形 C．△ABC和△DEF相似且相似比是1：2‎ D．△ABC和△DEF相似且相似比是1：4‎ ‎7．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有( )‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎8．在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，且sinA=，tanB=1，则∠C的度数为( )‎ A．75° B．105° C．60° D．45°‎ ‎9．如图，AB，BC，CD分别切⊙O于点E、F、G，且AB∥CD，BO=3cm，CO=4cm，则BC等于( )‎ A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm ‎10．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是( )‎ 27‎ A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）‎ ‎11．如图，小强和小明去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60m的A处，用测角仪测得古塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔BE的高为( )‎ A．m B．m C．31.5m D．28.5m ‎12．如图，正方形OABC和正方形DEFG是位似图形（其中点O，A，B，C的对应点分别是点D，E，F，G），点B的坐标为（1，1），点F的坐标为（4，2），则这两个正方形的位似中心的坐标是( )‎ A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（﹣4，2） D．（4，2）‎ 二、填空题（每题3分，共27分）‎ ‎13．计算：cos245°+tan30°•sin60°=__________．‎ ‎14．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则的值是__________．‎ ‎15．如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角为__________．‎ ‎16．如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2．则△AEF和△CDF的周长比为 27‎ ‎__________．‎ ‎17．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD=30°，则∠BCD的度数是__________度．‎ ‎18．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为__________．‎ ‎19．如图，⊙B的半径为4cm，∠MBN=60°，点A、C分别是射线BM、BN上的动点，且直线AC⊥BN．当AC平移到与⊙B相切时，AB的长度是__________．‎ ‎20．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是__________．‎ ‎21．如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是__________cm．‎ 27‎ 三、解答题（本大题共计57分）‎ ‎22．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．‎ ‎（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．‎ ‎23．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．‎ ‎24．如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．‎ ‎（1）求点C与点A的距离（精确到1km）；‎ ‎（2）确定点C相对于点A的方向．‎ ‎（参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎25．如图，在锐角△ABC中，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于点E，F．‎ 27‎ ‎（1）求证：EF=AB•cosC；‎ ‎（2）若S△CEF=S△ABC，求∠C的度数．‎ ‎26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16，AB=4，‎ ‎（1）求证：CE=EF；‎ ‎（2）求EG长．‎ ‎27．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．‎ ‎（1）求证：FD是⊙O的一条切线；‎ ‎（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．‎ ‎28．（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；‎ ‎（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．‎ ‎①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；‎ ‎②如图3，求证：MN2=DM•EN．‎ 27‎ 27‎ ‎2015-2016学年山东省潍坊市高密市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分）‎ ‎1．如图所示的三个矩形中，其中相似形是( )‎ A．甲与乙 B．乙与丙 C．甲与丙 D．以上都不对 ‎【考点】相似图形．‎ ‎【分析】根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等就可以．‎ ‎【解答】解：因为≠，故甲与乙不相似；‎ 因为=，故乙与丙相似；‎ 因为≠，故甲与丙不相似．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查相似多边形的判定，对应边的比相等，对应角相等．‎ ‎2．已知α是锐角，cosα=，则tanα的值是( )‎ A． B．2 C．3 D．‎ ‎【考点】同角三角函数的关系．‎ ‎【分析】根据sin2α+cos2α=1，可得 sinα，根据正切函数与正弦函数、余弦函数的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：由sin2α+cos2α=1，α是锐角，cosα=，得 sinα==，‎ tanα===2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用sin2α+cos2α=1，tanα=是解题关键．‎ 27‎ ‎3．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )‎ A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 ‎【考点】确定圆的条件．‎ ‎【专题】应用题；压轴题．‎ ‎【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．‎ ‎【解答】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．‎ ‎4．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为( )‎ A．（，1） B．（1，） C．（+1，1） D．（1，+1）‎ ‎【考点】坐标与图形性质；菱形的性质．‎ ‎【专题】数形结合．‎ ‎【分析】根据菱形的性质，作CD⊥x轴，先求C点坐标，然后求得点B的坐标．‎ ‎【解答】解：作CD⊥x轴于点D，‎ ‎∵四边形OABC是菱形，OC=，‎ ‎∴OA=OC=，‎ 又∵∠AOC=45°‎ ‎∴△OCD为等腰直角三角形，‎ ‎∵OC=，‎ ‎∴OD=CD=OC×sin∠COD=OC×sin45°=1，‎ 则点C的坐标为（1，1），‎ 又∵BC=OA=，‎ ‎∴B的横坐标为OD+BC=1+，‎ B的纵坐标为CD=1，‎ 则点B的坐标为（+1，1）．‎ 故选：C．‎ 27‎ ‎【点评】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，综合性较强．‎ ‎5．如图，下列条件：①∠1=∠2；②∠ADB=∠ABC；③AB2=AD•AC；④，能使△ABD∽△ACB的条件的个数为( )‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【考点】相似三角形的判定．‎ ‎【分析】由图可知△ABC与△ABD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．‎ ‎【解答】解：有三个．‎ ‎①∠1=∠2，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；‎ ‎②∠ADB=∠ABC，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；‎ ‎③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；‎ ‎④中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．‎ ‎6．如图，小正方形的边长均为1，关于△ABC和△DEF的下列说法正确的是( )‎ A．△ABC和△DEF一定不相似 B．△ABC和△DEF是位似图形 C．△ABC和△DEF相似且相似比是1：2‎ D．△ABC和△DEF相似且相似比是1：4‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】网格型．‎ ‎【分析】‎ 27‎ 先利用勾股定理分别计算两个三角形三边的长，再计算比值，得出三条对应边成比例，利用相似三角形的判定可知两个三角形相似．‎ ‎【解答】解：∵AB=，BC=2，AC==，‎ DE==，DF==2，EF=4，‎ ‎∴===，‎ ‎∴△ABC∽△DEF．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质．‎ ‎7．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有( )‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【考点】垂径定理；勾股定理．‎ ‎【分析】首先过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，由垂径定理可求得OP的取值范围为3≤OP≤5，而OP=3的点只有一个，OP=4的点有2个，OP=5的点有2个，故符合条件的点P有5个．‎ ‎【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，‎ ‎∵⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，‎ ‎∴BC=AB=4（cm），OB=5cm，‎ ‎∴OC==3（cm），‎ ‎∴3cm≤OP≤5cm，‎ ‎∵OP的长是整数，‎ ‎∴OP=3的点只有一个，OP=4的点有2个，OP=5的点有2个，‎ ‎∴满足条件的点P有5个．‎ 故选D．‎ 27‎ ‎【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎8．在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，且sinA=，tanB=1，则∠C的度数为( )‎ A．75° B．105° C．60° D．45°‎ ‎【考点】互余两角三角函数的关系．‎ ‎【分析】根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据三角形的内角和，可得答案．‎ ‎【解答】解：由∠A，∠B都是锐角，且sinA=，tanB=1，得 A=30°，B=45°．‎ 由三角形的内角和，得 C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣45°=105°，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用特殊角三角函数值得出∠A、∠B的值是解题关键．‎ ‎9．如图，AB，BC，CD分别切⊙O于点E、F、G，且AB∥CD，BO=3cm，CO=4cm，则BC等于( )‎ A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm ‎【考点】切线的性质；平行线的性质；勾股定理；切线长定理．‎ ‎【分析】根据切线长定理可得∠EBO=∠FBO，∠GCO=∠FCO，根据平行线的性质可得∠EBC+∠GCB=180°，由此可得∠FBO+∠FCO=90°，则有∠BOC=90°，然后运用勾股定理即可求出BC．‎ ‎【解答】解：∵AB，BC，CD分别切⊙O于点E、F、G，‎ ‎∴∠EBO=∠FBO，∠GCO=∠FCO．‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠EBC+∠GCB=180°，‎ ‎∴2∠FBO+2∠FCO=180°，‎ ‎∴∠FBO+∠FCO=90°，‎ ‎∴∠BOC=90°．‎ ‎∵BO=3cm，CO=4cm，‎ ‎∴BC==5（cm）．‎ 27‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了切线长定理、平行线的性质、勾股定理等知识，证到∠BOC=90°是解决本题的关键．‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是( )‎ A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）‎ ‎【考点】确定圆的条件；坐标与图形性质．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．‎ ‎【解答】解：根据垂径定理的推论，则 作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了垂径定理的推论，能够准确确定一个圆的圆心．‎ ‎11．如图，小强和小明去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60m的A处，用测角仪测得古塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔BE的高为( )‎ A．m B．m C．31.5m D．28.5m ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】作AC⊥BE于点C．则CE=AD，AC=DE．在直角△ABC中选择适当的三角函数求出BC即可得解．‎ ‎【解答】解：过点A作AC⊥BE于点C．‎ 根据题意有：AC=DE=60，CE=AD=1.5．‎ ‎∴BC=AC×tan30°=20．‎ 故古塔BE的高为BC+CE=m．‎ 27‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎12．如图，正方形OABC和正方形DEFG是位似图形（其中点O，A，B，C的对应点分别是点D，E，F，G），点B的坐标为（1，1），点F的坐标为（4，2），则这两个正方形的位似中心的坐标是( )‎ A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（﹣4，2） D．（4，2）‎ ‎【考点】位似变换；坐标与图形性质．‎ ‎【分析】连接FB并延长与x轴交于点P，根据位似变换的性质，点P即为位似中心，然后设OP=x，表示出PA、PE，再根据△PAB和△PEF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出x，再根据点P在x轴负半轴上写出坐标即可．‎ ‎【解答】解：如图，连接FB并延长与x轴交于点P，则点P即为位似中心，‎ 设OP=x，‎ ‎∵点B的坐标为（1，1），点F的坐标为（4，2），‎ ‎∴PA=x+1，PE=x+4，‎ ‎∵正方形OABC和正方形DEFG的边AB、EF都与x轴垂直，‎ ‎∴AB∥EF，‎ ‎∴△PAB∽△PEF，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 解得x=2，‎ ‎∵点P在x轴负半轴，‎ ‎∴点P（﹣2，0）．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，根据对应点的连线所在的直线经过位似中心是解题的关键．‎ 27‎ 二、填空题（每题3分，共27分）‎ ‎13．计算：cos245°+tan30°•sin60°=1．‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】将cos45°=，tan30°=，sin60°=代入即可得出答案．‎ ‎【解答】解：cos245°+tan30°•sin60°=+×==1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．‎ ‎14．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则的值是．‎ ‎【考点】平行线分线段成比例．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解．‎ ‎【解答】解：∵直线AB∥CD∥EF，‎ ‎∴===．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．‎ ‎15．如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角为30°．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ ‎【分析】直接利用正弦函数的定义求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意得：AB=4米，BC=2米，‎ 在Rt△ABC中，sinA===，‎ 27‎ 故∠A=30°，‎ 故答案为：30°．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用，牢记正弦函数的定义是解答本题的关键．‎ ‎16．如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2．则△AEF和△CDF的周长比为1：3．‎ ‎【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】证明△AEF∽△CDF，可求△AEF和△CDF的周长比．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AE：EB=1：2，‎ ‎∴AB∥CD，AE：CD=1：3，‎ ‎∴△AEF∽△CDF，‎ ‎∴△AEF的周长：△CDF的周长=AE：CD=1：3．‎ 故答案为：1：3．‎ ‎【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎17．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD=30°，则∠BCD的度数是105度．‎ ‎【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．‎ ‎【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB=90°，∠ACD=15°，即可求∠BCD的度数．‎ ‎【解答】解：连接AC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵∠AOD=30°，‎ ‎∴∠ACD=15°，‎ ‎∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=105°．‎ 27‎ ‎【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎18．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为3+．‎ ‎【考点】解直角三角形．‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．‎ ‎【解答】解：过C作CD⊥AB于D，‎ ‎∴∠ADC=∠BDC=90°，‎ ‎∵∠B=45°，‎ ‎∴∠BCD=∠B=45°，‎ ‎∴CD=BD，‎ ‎∵∠A=30°，AC=2，‎ ‎∴CD=，‎ ‎∴BD=CD=，‎ 由勾股定理得：AD==3，‎ ‎∴AB=AD+BD=3+．‎ 故答案为：3+．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．‎ ‎19．如图，⊙B的半径为4cm，∠MBN=60°，点A、C分别是射线BM、BN上的动点，且直线AC⊥BN．当AC平移到与⊙B相切时，AB的长度是8cm．‎ 27‎ ‎【考点】切线的性质．‎ ‎【分析】由圆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可知△ACB为直角三角形，再根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．‎ ‎【解答】解：∵直线AC⊥BN，∠MBN=60°，‎ ‎∴∠BAC=30°，‎ ‎∵⊙B的半径为4cm，当AC平移到与⊙B相切时，‎ ‎∴AB=2×4=8（cm）．‎ 故答案为：8cm．‎ ‎【点评】此题考查了切线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎20．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是（，）．‎ ‎【考点】位似变换；坐标与图形性质．‎ ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】由题意可得OA：OD=1：，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．‎ ‎【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，‎ ‎∴OA：OD=1：，‎ ‎∵点A的坐标为（0，1），‎ 即OA=1，‎ ‎∴OD=，‎ ‎∵四边形ODEF是正方形，‎ ‎∴DE=OD=．‎ ‎∴E点的坐标为：（，）．‎ 故答案为：（，）．‎ ‎【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．‎ 27‎ ‎21．如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是10cm．‎ ‎【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．‎ ‎【解答】解：如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB=8cm，CD=2cm．‎ 连接OC，交AB于D点．连接OA．‎ ‎∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，‎ ‎∴OC⊥AB．‎ ‎∴AD=4cm．‎ 设半径为Rcm，则R2=42+（R﹣2）2，‎ 解得R=5，‎ ‎∴该光盘的直径是10cm．‎ 故答案为：10‎ ‎【点评】此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键．‎ 三、解答题（本大题共计57分）‎ ‎22．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．‎ ‎（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．‎ ‎【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心．‎ ‎【分析】（1）想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．即分别作三边的垂直平分线的交点就是圆心的位置．‎ ‎（2）解直角三角形求出圆的半径，再根据圆的面积公式计算．‎ ‎【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求作的花园的位置．‎ 27‎ ‎（2）∵∠BAC=90°，‎ ‎∴BC是直径．‎ ‎∵AB=8米，AC=6米，‎ ‎∴BC=10米，‎ ‎∴△ABC外接圆的半径为5米，‎ ‎∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，及90度的圆周角所对的弦是直径，然后利用勾股定理求半径，从而求圆的面积．‎ ‎23．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．‎ ‎【考点】解直角三角形；勾股定理．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先在Rt△ACD中，由正切函数的定义得tanA==，求出AD=4，则BD=AB﹣AD=8，再解Rt△BCD，由勾股定理得BC==10，sinB==，cosB==，由此求出sinB+cosB=．‎ ‎【解答】解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，‎ ‎∴tanA===，‎ ‎∴AD=4，‎ ‎∴BD=AB﹣AD=12﹣4=8．‎ 27‎ 在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=8，CD=6，‎ ‎∴BC==10，‎ ‎∴sinB==，cosB==，‎ ‎∴sinB+cosB=+=．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，难度适中．‎ ‎24．如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．‎ ‎（1）求点C与点A的距离（精确到1km）；‎ ‎（2）确定点C相对于点A的方向．‎ ‎（参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】（1）作辅助线，构造直角三角形，解直角三角形即可；‎ ‎（2）利用勾股定理的逆定理，判定△ABC为直角三角形；然后根据方向角的定义，即可确定点C相对于点A的方向．‎ ‎【解答】解：（1）如右图，过点A作AD⊥BC于点D，∠ABE=∠BAF=15°，‎ 由图得，∠ABC=∠EBC﹣∠ABE=∠EBC﹣∠BAF=75°﹣15°=60°，‎ 在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100，‎ ‎∴BD=50，AD=50，‎ ‎∴CD=BC﹣BD=200﹣50=150，‎ 在Rt△ACD中，由勾股定理得：‎ AC==100≈173（km）．‎ 答：点C与点A的距离约为173km．‎ 27‎ ‎（2）在△ABC中，∵AB2+AC2=1002+（100）2=40000，‎ BC2=2002=40000，‎ ‎∴AB2+AC2=BC2，‎ ‎∴∠BAC=90°，‎ ‎∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAF=90°﹣15°=75°．‎ 答：点C位于点A的南偏东75°方向．‎ ‎【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是熟练掌握勾股定理，体现了数学应用于实际生活的思想．‎ ‎25．如图，在锐角△ABC中，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于点E，F．‎ ‎（1）求证：EF=AB•cosC；‎ ‎（2）若S△CEF=S△ABC，求∠C的度数．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）连接AF，根据圆内接四边形的性质得到∠CEF=∠B，∠C=○C，推出△CEF∽△CBA，根据相似三角形的性质得到，根据圆周角定理得到∠AFB=90°，求得∠AFC=90°，即可得到结论；‎ ‎（2）根据相似三角形的性质得=，于是得到cosC==，即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AF，‎ ‎∵∠CEF=∠B，∠C=○C，‎ ‎∴△CEF∽△CBA，‎ ‎∴，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AFB=90°，‎ ‎∴∠AFC=90°，‎ ‎∴cosC=，‎ 27‎ 即cosC=，‎ ‎∴EF=AB•cosC；‎ ‎（2）解：∵△CEF∽△CBA，S△CEF=S△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴cosC==，‎ ‎∴∠C=60°．‎ ‎【点评】本题主要考查对相似三角形的性质，圆周角定理，邻补角的定义，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用相似三角形的性质和圆周角定理进行证明是解此题的关键．‎ ‎26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16，AB=4，‎ ‎（1）求证：CE=EF；‎ ‎（2）求EG长．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．‎ ‎【分析】（1）根据AD平分∠CAB交BC于点D，CE⊥AD证明△ACE和△AFE全等，根据全等三角形对应边相等，CE=EF，‎ ‎（2）因为∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90°，所以△ACE和△ADC相似，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式整理即可得到AC2=AE•AD，代入数据计算即可求出AC的长，再根据勾股定理求出BC的长度为8，最后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半EG=BC．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB交BC于点D，‎ ‎∴∠CAE=∠FAE，‎ ‎∵CE⊥AD，‎ ‎∴∠AEC=∠AEF=90°，‎ 27‎ 在△ACE和△AFE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACE≌△AFE（ASA），‎ ‎∴CE=EF；‎ ‎（2）解：∵CE⊥AD，‎ ‎∴∠AEC=90°，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠AEC=∠ACB，‎ 又∵∠CAE=∠CAE，‎ ‎∴△ACE∽△ADC，‎ ‎∴，‎ 即AC2=AE•AD，‎ ‎∵AE•AD=16，‎ ‎∴AC2=16，‎ ‎∴AC=4，‎ ‎∴△ABC中，BC==8，‎ ‎∵EG∥BC，‎ ‎∵E是CF的中点，‎ ‎∴G是BF的中点，‎ ‎∴EG是△BCF的中位线，‎ ‎∴EG=×BC=×8=4．‎ ‎【点评】本题主要考查两角对应相等，两三角形相似，相似三角形对应边成比例，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，难度适中．‎ ‎27．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．‎ ‎（1）求证：FD是⊙O的一条切线；‎ ‎（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．‎ ‎【考点】切线的判定；垂径定理；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ 27‎ ‎【分析】（1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；‎ ‎（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，‎ ‎∴∠CAB=∠BFD，‎ ‎∴FD∥AC（同位角相等，两直线平行），‎ ‎∵∠AEO=90°，‎ ‎∴∠FDO=90°，‎ ‎∴FD是⊙O的一条切线；‎ ‎（2）解：∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，‎ ‎∴AE=EC=4，AO=5，‎ ‎∴EO=3，‎ ‎∵AE∥FD，‎ ‎∴△AEO∽△FDO，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得：FD=．‎ ‎【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△AEO∽△FDO是解题关键．‎ ‎28．（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；‎ ‎（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．‎ ‎①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；‎ ‎②如图3，求证：MN2=DM•EN．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出=；‎ ‎（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高 27‎ ‎，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；‎ ‎②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1）==，从而得出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：在△ABQ和△ADP中，‎ ‎∵DP∥BQ，‎ ‎∴△ADP∽△ABQ，‎ ‎∴=，‎ 同理在△ACQ和△APE中，‎ ‎=，‎ ‎∴=．‎ ‎（2）①作AQ⊥BC于点Q．‎ ‎∵BC边上的高AQ=，‎ ‎∵DE=DG=GF=EF=BG=CF ‎∴DE：BC=1：3‎ 又∵DE∥BC，‎ ‎∴AD：AB=1：3，‎ ‎∴AD=，DE=，‎ ‎∵DE边上的高为，MN：GF=：，‎ ‎∴MN：=：，‎ ‎∴MN=．‎ 故答案为：．‎ ‎②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，‎ ‎∴∠B=∠CEF，‎ 又∵∠BGD=∠EFC，‎ 27‎ ‎∴△BGD∽△EFC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DG•EF=CF•BG，‎ 又∵DG=GF=EF，‎ ‎∴GF2=CF•BG，‎ 由（1）得==，‎ ‎∴×=•，‎ ‎∴（）2=•，‎ ‎∵GF2=CF•BG，‎ ‎∴MN2=DM•EN．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．‎ 27‎