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2014-2015南通市高三数学一模试卷(有答案)

作者:佚名 试题来源:网络 点击数:

2014-2015南通市高三数学一模试卷(有答案)

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2014-2015南通市高三数学一模试卷(有答案)
试题
注 意 事 项

 

 

 

 

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1. 已知集合 , , ,则   ▲  .
2. 若 (其中 表示复数z的共轭复数),则复数z的模为  ▲  .
3. 已知函数 在 处的导数为 ,则实数 的值是  ▲  .
4. 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》
(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量:“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml;
“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml.某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据:

 

根据此数据,可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于  ▲  .


5. 要得到函数 的函数图象,可将函数 的图象向右至少平移  ▲  个单位.
6.在平面直角坐标系xOy中,“直线 , 与曲线 相切”的充要条件是
“  ▲  ”.
7. 如图, 表示第i个学生的学号, 表示第i个学生的成绩,已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、  372、327、354、361、345、337,则打印出的第5组数据是  ▲  .
8. 在△ABC中,若  ,则   ▲  .
9. 已知 是 上的奇函数,且 时, ,则不等 
式 的解集为  ▲  .
10.设正四棱锥的侧棱长为1,则其体积的最大值为  ▲  .
11.已知平面向量 , , 满足 , , , 的夹角等
于 ,且 ,则 的取值范围是  ▲  .
12.在平面直角坐标系xOy中,过点 、 分别作x
轴的垂线与抛物线 分别交于点 ,直线 与 x轴交于点 ,这样就称
 确定了 .同样,可由 确定 ,…,若 , ,则   ▲  .
13.定义: {x,y}为实数x,y中较小的数.已知 ,其中a,b 均为正实数,则h的最大值是   ▲  .
14.在平面直角坐标系xOy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆 上,其中 为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为 ,则实数 的值为   ▲  .
二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证
    明过程或演算步骤.
15.(本题满分14分)
已知函数 .
(1)求 的最小正周期和值域;
(2)若  为 的一个零点,求 的值.

16.(本题满分14分)
    如图,在边长为1的菱形ABCD中,将正三角形BCD沿BD向上折起,折起后的点C记为 ,且
 ( ).
(1)若 ,求二面角C—BD— 的大小;
(2)当 变化时,线段 上是否总存在一点
E,使得A //平面BED?请说明理由.
   
17.(本题满分15分)
    在平面直角坐标系 中,设A、B是双曲线 上的两点, 是线段AB的中点,
线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点.
(1)求直线AB与CD的方程;
(2)判断A、B、C、D四点是否共圆?若共圆,请求出圆的方程;若不共圆,请说明理由.

 


18.(本题满分15分)
    某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师,为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务,需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作,一组完成269捆文科卷,另一组完成475捆理科卷.根据历年阅卷经验,文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成,理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成.(假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同,每捆卷的份数也相同)
(1)如何安排文、理科阅卷老师的人数,使得全省数学阅卷时间最省?
(2)由于今年理科阅卷任务较重,理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成,在按(1)分配的人数阅卷4天后,阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷,试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天?(天数精确到小数点后第3位)
    (参考数据: , , , )
   

19.(本题满分16分)
    已知函数 的导函数 是二次函数,且 的两根为 .若 的极大值与极小值
    之和为0, .
    (1)求函数 的解析式;
    (2)若函数在开区间 上存在最大值与最小值,求实数 的取值范围.
(3)设函数 ,正实数a,b,c满足 ,证明: .


20.(本题满分16分)
    设首项为1的正项数列 的前n项和为 ,数列 的前n项和为 ,且 ,
其中 为常数.
(1)求 的值;
(2)求证:数列 为等比数列;
(3)证明:“数列 , , 成等差数列,其中x、y均为整数”的充要条件是“ ,   
    且 ”.

试题Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若
             多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(几何证明选讲)
如图,AB是半圆的直径,C是AB延长线上一点,CD切
半圆于点D,CD=2,DE⊥AB,垂足为E,且E是OB的
中点,求BC的长.
   
B.(矩阵与变换)
已知矩阵 的属于特征值 的一个特征向量为 ,求实数 、 的值.
   
C.(极坐标与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中,已知点 在曲线 ( 为参数, 为正常数),求 的
值.
   
D.(不等式选讲)
    设 均为正数,且 ,求证:
   
【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文
          字说明、证明过程或演算步骤.
22.已知函数 , ,求 的最大值.
   
23.(1)已知 ,且 ,求证: ;
(2)设数列 , , ,…满足 , (i 1,2,3,…).
证明:对任意的正整数n, 是
关于 的一次式.

 


南通市数学一模试卷
参考答案
1.  ;    2.  3;    3.  2;   4.  0.09;    5.  ;    6.  ;   7.  ;   8.  ;
9.  ;    10.  ;    11.  ;    12.   ;    13.  ;     14. 3.
答案解析
1.易得 ,则  ;
2.   ;
3.  易得 ,则 ,即 ;
4.  “饮酒驾车” 发生的频率等于 ;
5.  将 向右至少平移 个单位得 ;
6.  易得 ,且 ,即 ;
7.  打印出的第5组数据是学号为8号,且成绩为361,故结果是 ;
8.  设 ,则 , ,且 ,利用 可
    求得 ,所以 ;
9.  易得 , ,故所求解集为 ;
10. 法1  设正四棱锥的底面边长为 ,则体积 ,记 ,
     ,利用导数可求得当 时, ,此时 ;
法2  设正四棱锥的侧棱与底面所成角为 ,则 ,   
     ,记 ,利用导数可求得当 时, ,此时 ;
15.命题立意:本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式,考查运算求解
    能力.
(1)易得 
   = ,(5分)
         所以 周期 ,值域为 ;(7分)
(2)由 得 ,(9分)
    又由 得
    所以 故 ,(11分)
     此时, 
       .(14分)

 

16.命题立意:本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象、推理论证能力.
解:(1)连结 ,交 于点 ,连结 ,
        菱形ABCD中, ,
        因三角形BCD沿BD折起,所以 ,
        故 为二面角C—BD— 的平面角,(5分)
        易得 ,而 ,
        所以 ,二面角C—BD— 的大小为 ;(7分)
   (2)当 变化时,线段 的中点E总满足A //平面BED,下证之:(9分)
        因为E,O分别为线段 ,AC的中点,   所以 ,(11分)
        又 平面BED, 平面BED,   所以A //平面BED. (14分)
17.命题立意:本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识,考查运算求解与探究能力.
解:(1)设A ,则 ,   代入双曲线 得
    解得 或  即 的坐标为 、 ,
    所以 : , : ;(7分)
       (2)A、B、C、D四点共圆,下证之:(9分)
    证明:由 与 联立方程组可得
     的坐标为 、 ,(11分)
    由三点A、B、C可先确定一个圆 ①,(13分)
    经检验 适合①式,所以A、B、C、D四点共圆.(15分)
      (注:本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆)
18.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力.
    解:(1)设文科阅卷人数为 ,且 ,
    则阅卷时间为 (5分)
    而  故 ,
    答:当文、理科阅卷人数分别是119,281时,全省阅卷时间最省;(8分)
   (2)文科阅卷时间为: ,(11分)
    理科阅卷时间为: ,(14分)
    答:全省阅卷时间最短为 天.(15分)

19.命题立意:本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识,考查灵活运用数形
    结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力.
    解:(1)设 ,
             则可设 ,其中 为常数.
             因为 的极大值与极小值之和为0,
             所以 ,即 ,
             由 得 ,
             所以 ;(5分)
       (2)由(1)得 ,且
 
 
 
 
 
 

 
 
0 + 0 

 
↘ 极小值
↗ 极大值

            列表:
       
           
           
            由题意得,三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值(如图),(7分)
        又 ,故 ,   所以 ,且 ,
        解得 ;(10分)
       (3)题设等价与 ,且a,b,c 0,
            所以a,b,c均小于 .
            假设在a,b,c中有两个不等,不妨设a b,则a b或a b.
            若a b,则由 得 即 ,
            又由 得c a.
            于是a b c a,出现矛盾.
            同理,若a b,也必出现出矛盾.
        故假设不成立,所以 .(16分)
20.命题立意:本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识,考查灵活
    运用基本量进行探索求解、推理分析能力.
解:(1)n  1时,由 得p  0或2,(2分)
        若p  0时, ,
        当 时, ,解得 或 ,
        而 ,所以p  0不符合题意,故p  2;(5分)
   (2)当p  2时,  ①,则 ②,
        ② ①并化简得  ③,则  ④,
        ④ ③得 ( ),又易得 ,
        所以数列{an}是等比数列,且 ;(10分)
       (3)充分性:若x  1,y  2,由 知 , , 依次为 , , ,
            满足 ,即an,2xan1,2yan2成等差数列;(12分)
            必要性:假设 , , 成等差数列,其中x、y均为整数,又 ,
    所以 ,
    化简得
    显然 ,设 ,
    因为x、y均为整数,所以当 时, 或 ,
故当 ,且当 ,且 时上式成立,即证. (16分)  
21.A.命题立意:本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证、运算求解能力.
解:连接OD,则OD⊥DC,
在Rt△OED中, OB OD,
所以∠ODE 30°,(5分)
在Rt△ODC中,∠DCO 30°,由DC 2得OD DCtan30°  ,
所以BC .(10分) 
B.命题立意:本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量,考查运算求解能力.
解:由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知  = ,(5分)
    所以 解得 .(10分)
C.命题立意:本题主要考查参数方程,考查运算求解能力.
解:由 ( 为参数, 为正常数),消去参数 得 ,(8分)
    将点 代入 得 .(10分)

D.命题立意:本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证能力.
证明:因为a1,a2,a3均为正数,且 ,
所以   ,(8分)
    当且仅当 时等号成立,
    所以 .(10分)
22.命题立意:本题主要考查复合函数求导等知识,考查运算求解、推理论证能力.
证明:由 得 ,(2分)
令 ,则 ,
当 时, , 在 上为增函数;
当x>0时, , 在 上为减函数,
所以 在x=0处取得极大值,且 ,(6分)
故 (当且仅当 时取等号),
所以函数 为 上的减函数,(8分)
则 ,即 的最大值为0.(10分)
23.命题立意:本题主要考查组合数的性质、二项式定理,考查推理论证能力.
   (1)证明:左边 ,
        右边 ,
        所以 ;(3分)
   (2)证明:由题意得数列 , , ,…为等差数列,且公差为 .(5分)
        则
        
        
        
        
         ,
        所以对任意的正整数n, 是关于 的一次式.(10分)

 

 

 

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