莆田一中2015年高三数学考前模拟试卷（文科有答案）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
1、已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于( )
A． B． C． D．
2、已知集合，集合，则( )
A． B． C． D．
3、 ( )
A. B． C． D．
4、 已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ）
A. B. C. D.或
5、“”是“恒成立”的（ ）
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6、的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a,b,c，成等比数列，且c=2a，则cosC=( )
A. B. C. D.
7、已知区域，定点A（3，1），在M内任取一点P，使得的概率为( )
A. B. C. D.
8、设，将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是( )
A．S=2,这5个数据的方差 B．S=2,这5个数据的平均数
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C．S=10,这5个数据的方差 D．S=10,这5个数据的平均数
9、现有四个函数：①;②;③; ④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正
确的一组是( )
A．④①②③ B．①④③② C．①④②③ D．③④②①
10、已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）
A． B． C． 1 D． 2
正视图
侧视图
俯视图
1/2
1/2
1
1
11、一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为( )
A． B． C．4 D．
12、定义:如果函数在[a,b]上存在满足,,则称函数是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数是[0,a] 上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是( )
A. B.() C. (,1) D. (,1)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．
13、某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ．
14、设奇函数的定义域为R，且周期为5，若=-1，则= .
15、已知双曲线的右焦点为，过作斜率为的直线交双曲线的渐近线于点，点在第一象限，为坐标原点，若的面积为，则该双曲线的离心率为 ．
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16、已知数列满足.定义：使乘积为正整数的叫做“易整数”.则在内所有“易整数”的和为________.
三．解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程
17、（本小题满分12分）正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且，．
（1）求证：平面；（2）求凸多面体的体积．
18、（本小题满分12分）在等差数列中，前n项和为Sn，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足求数列的前n项和为Tn：
19、（本小题满分12分）
已知函数的图象如图所示·
(1)求f（x)在R上的单调递增区间；
（2）设是函数y=f(x)的一个零点，求的值．
身高(cm)
频率/组距距
20、（本小题满分12分）从某学校的名男生中随机抽取名测量身高,被测学生身高全部介于cm和cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[,),第二组[,),,第八组[,],右
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图是按上述分组方法得到的 频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为人.
(1)求第七组的频率;
(2)估计该校的名男生的身高的中位数以及身高在cm以上(含cm)的人数;
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为,事件{},事件{},求.
21、（本题满分12分）如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时， 弦的长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.
第21题
22、（本小题满分14分）已知，设函数．
（1）若在 上无极值，求的值；
（2）若存在，使得是在[0, 2]上的最大值，求t的取值范围；
（3）若（为自然对数的底数)对任意恒成立时m的最大值为1，求t的取值范围．
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莆田一中2014-2015学年度5月模拟考试试卷
高三 数学(文科）参考答案
1-5CCDBA 6-10 BBACB 11-12 AC 13、3 14、2 15、 16、2036
17、（1）证明：∵平面，平面，
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∴． 在正方形中，，
∵，∴平面．
∵，∴平面．
（2）解法1：在△中，，，
A
B
C
D
E
F
∴．
过点作于点，
∵平面，平面，
∴．
∵，
∴平面．
∵，
∴．又正方形的面积，
∴ A
B
C
D
E
．
故所求凸多面体的体积为．
解法2：在△中，，，
∴．
连接，则凸多面体分割为三棱锥
和三棱锥．
由（1）知，．
∴．
又，平面，平面，
∴平面．∴点到平面的距离为的长度．
∴．
∵平面，∴．
∴．
故所求凸多面体的体积为．
18、解：(Ⅰ)设数列{an}公差为d，
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由题设得 解得
∴ 数列{an}的通项公式为：(n∈N*)． ………………………………5分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：…………………………………6分
①当为偶数，即时，奇数项和偶数项各项，
∴
； ………………………9分
②当为奇数，即时，为偶数．
∴ ．
综上： …………………………12分
19. 解：(Ⅰ) 由图象知，，故，
，即，于是由，解得．
∵ ，且，解得．
∴ ． …………………………………………………4分
由≤≤，，解得≤x≤，，
即在R上的单调递增区间为．………………6分
(Ⅱ)由条件得：，即．
∵ 且在上是增函数，
>0，>0，在上是减函数，
∴ ，∴，………9分
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∴ ， …………………………………10分
∴
． …………………………………………………………12分
20,解：(Ⅰ)第六组的频率为,所以第七组的频率为
; ………3分
(Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为,
身高在第二组[160,165)的频率为,
身高在第三组[165,170)的频率为,
身高在第四组[170,175)的频率为,
由于,
估计这所学校的800名男生的身高的中位数为,则
由得
所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为
由直方图得后三组频率为,
所以身高在180cm以上(含180cm)的人数为人；………7分
(Ⅲ)第六组的人数为4人,设为,第八组[190,195]的人数为2人, 设为,则有共15种情况,
因事件{}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件包含的基本事件为共7种情况,故
由于,所以事件{}是不可能事件,
由于事件和事件是互斥事件,所以. ………12分
21、解：（1）由，设，则，，
所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即，
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所以椭圆的方程为………………………………5分
（2）假设存在点，使得为定值，设，
当直线与轴重合时，有，
当直线与轴垂直时，，
由，解得，，
所以若存在点，此时，为定值2.………8分
根据对称性，只需考虑直线过点，设，，
又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，
化简得，所以，，
又，
所以，
将上述关系代入，化简可得.
综上所述，存在点，使得为定值2……………12分
22,（Ⅰ），又在(0, 2)无极值
………………3分
（Ⅱ）①当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
由得：在时无解
②当时，不合题意；
③当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
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即
④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件
综上所述：时，存在，使得是在[0,2]上的最大值.………………8分
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莆田一中2014-2015学年度5月模拟考试
高三 数学（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、填空题（每小题4分，共16分）
13、 14、
15、 16、
三、解答题（74分）
18、（本题满分12分）
解：
17、（本题满分12分）
解：
13
19、（本题满分12分）
解：
13
21、（本题满分12分）
解：
20、（本题满分12分）
解：
22、（本题满分14分）
解：
13
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