2015届高三校内第一次模拟考数学试题
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B. C. D.
2．设复数满足，则 =( )
A. B. C. D.
3.下列结论正确的是( )
A.若向量，则存在唯一的实数使得
B.已知向量为非零向量，则“的夹角为钝角”的充要条件是“”
C.命题：若，则或的逆否命题为：若且，则
D.若命题，则
4.设集合，则集合P的非空子集个数是( )
A.2 B.3 C.7 D.8
5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 ( )
A． B． C． D．
6.一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为( )
A．
10
B． C． D．
7.已知某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表所示，
（万元）
0
1
3
4
（万元）
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图分析，与线性相关，且，则据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A. 2.6万元 B. 8.3万元 C. 7.3万元 D. 9.3万元
8.已知点与点在直线的两侧，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.等比数列的前n项和为,，则=（ ）
A.27 B.81 C.243 D.729
10.设=(k,1)(k∈Z),=(2,4),若k为满足||≤4的一个随机数,则△ABC是直角三角形的概率是( )
A． B． C． D．
11.已知圆,点,其中,是圆上的动点,的中垂线交所在直线于,则点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
12.已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）w.w.w.zxxk.c.o.m A． B． C． D．
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
10
13.某年级有1000名学生，现从中抽取100人作为样本，采用系统抽样的方法，将全体学生按照1～1000编号，并按照编号顺序平均分成100组(1～10号，11～20号，…，991～1000号)．若从第1组抽出的编号为6，则从第10组抽出的编号为_________。
14.已知直线与圆交于两点，是坐标原点，向量满
足，则实数的值是 _____。
15.四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,AB=PA=2,M,N分别为PA、PB的中点,则MD与AN所成角的余弦值为 。
16. 如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可有___________种方法。
三．解答题：（本大题共6小题，17至21每题12分，选做题10分，共70分）
17.已知函数。
(1)求函数的最小正周期；(2)设，且，求的值。
18.在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：
(1)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；
(2)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为，求的分布列和数学期望。
19. 已知四棱锥中，，底面是边长为的菱形，，．
(1)求证：；
(2)设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值。
20.已知动点到定点和直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线
10
，过点作垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线与曲线交于两点，与线段相交于一点（与不重合）
（1）求曲线的方程；（2）当直线与圆相切时，四边形的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线的方程；若没有，请说明理由。
21. 已知函数，且。
（1）当，求函数的极值；（2）设
①当时，对任意，都有成立，求的最大值；②设为的导函数，若存在，使得成立，求的取值范围。
请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．
22．选修4-1几何证明选讲：
已知外接圆劣弧上的点（不与点重合）,延长至,延长交的延长线于。（1）求证：；（2）求证：．
23．选修4-4极坐标与参数方程选讲：
已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值。
24．选修4—5不等式选讲：
已知，对，恒成立，求的取值范围。
10
2015届高三校内第一次模拟考数学试题参考答案
一．选择题：1-6：CACBAD 7-12：BDCCBB
二．填空题： 13.96 14. 15. 16.732
三．解答题：
17. (Ⅰ)
， 4分
故函数的最小正周期是π． 6分
(Ⅱ)由，即，得， 7分
因为，所以，可得， 9分
则 11分
． 12分
18.解：(Ⅰ)学生甲的平均成绩，
学生乙的平均成绩，
又，
，
则，，
说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛. 6分
注：(1)由茎叶图的分布可知应选择乙同学.（可给2分）
(2)由茎叶图可以看到甲的平均成绩在80分左右，其分布对称，乙的平均成绩在80分左右，但总体成绩稳定性较好，故应选择乙同学.（可给4分）
(Ⅱ)的所有可能取值为0，1，2，则
，，，
的分布列为
0
1
2
P
所以数学期望． 12分
10
19. 解：（1） 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD………………2分
又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC………………4分
从而平面PBD⊥平面PAC． ……………6分
（2）方法1： 过O作OH⊥PM交PM于H，连HD
因为DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为O-PM-D的平面角………………8分
又，且………………10分
从而………………11分
所以，即． ………………………12分
法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则,, …………8分
从而………………9分
因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为．……10分
10
设平面PMD的法向量为,由得
取，即 ……………11分
设与的夹角为，则二面角大小与相等，从而，得
从而，即． ……………12分
20. 解：(1).设点，由题意可得，，…………………2分
整理可得：.曲线的方程是.………………………5分
(2).设，，由已知可得：
当时，不合题意. …………………6分
当时，由直线与圆相切，可得：，即
联立消去得…………………8分
，
所以，
10
= =10分
当且仅当，即时等号成立，此时，经检验可知，
直线和直线符合题意. ………………………………12分
21. 解：（1）当，时，，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
所以． …………2分
令，得，列表
－
－
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
由表知的极大值是，的极小值是. ……4分
（2）① 因为，
当时，．
因为在上恒成立，
所以在上恒成立． ……………6分
记，则．
当时，，在上是减函数；
10
当时，，在上是增函数．
所以．
所以的最大值为． ……………8分
②因为，所以．
由，得，
整理得．
存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立等价于存在x＞1，使2ax3－3ax2－2bx＋b＝0 成立． ………………10分
因为，所以．
设，则．
因为时，恒成立，所以在是增函数，
所以，
所以，即的取值范围为． ……………12分
22. (Ⅰ)证明：、、、四点共圆
．………………2分
且,
,……………4分
．………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,
所以与相似,
，…………7分
又, ，
10
根据割线定理得，……………9分
．……………10分
23. 解：（1）曲线的极坐标方程可化为
……………………………………………2分
又，[
所以曲线的直角坐标方程为…………4分
（2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得… ………6分
令，得，即点的坐标为(2，0)．
又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，半径，则… ……8分
所以………………………10分
24. 解：∵ a＞0，b＞0 且a+b=1 ∴ +=(a+b)( +)=5++≥9
，故+的最小值为9，……5分
因为对a，b∈(0，+∞)，使+≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，
所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x≤-1时，2-x≤9，
∴ -7≤x≤-1，当 -1＜x＜时，-3x≤9，
∴ -1＜x＜，当 x≥时，x-2≤9， ∴ ≤x≤11，∴ -7≤x≤11 …… 10分
10
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