2017届高二下学期第一次月考
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列事件中，不是随机事件的是（ ）
A．东边日出西边雨 B．下雪不冷化雪冷 C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴
2．i是虚数单位,等于
A.1+i B.－1－i C.1+3i D.－1－3i
3．若,则等于（ ）
A B C D
4．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D． 种
5．一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2 012个圆中共有●的个数是（ ）
A．61 B．62 C．63 D．64
6．曲线在处的切线倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
7．用数学归纳法证明（n＋1）（n＋2）…（n＋n）＝2n·1·3…（2n－1）（n∈N*）时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为（ ）
A．2k＋1 B．2（2k＋1） C． D．
8．设随机变量~，又，则和的值分别是（ ）
A.和 B.和 C.和 D.和
9．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．
若下面4个说法都是正确的：
①甲不在查资料，也不在写教案； ②乙不在打印材料，也不在查资料；
③丙不在批改作业，也不在打印材料； ④丁不在写教案，也不在查资料．
此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断
A．甲在打印材料 B．乙在批改作业 C．丙在写教案 D．丁在打印材料
10．今有某种产品50个，其中一级品45个，二级品5个，从中取3个，出现二级品的概率是
A． B． C． D．
11．在一个不透明的袋子里，有三个大小相等小球（两黄一红），现在分别由3个同学无放回地抽取，如果已知第一名同学没有抽到红球，那么最后一名同学抽到红球的概率为 （ ）
A. B. C. D.无法确定
12．已知，则等于（ ）
A．－5 B．5 C．90 D．180
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．若随机变量η的分布列如下：
0
1
2
3
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当时，实数x的取值范围是
14．的值为 _____________
15．在处有极大值，则常数的值为_____．
16．如图，阴影部分的面积是_________．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或计算步骤。
17．（本小题满分10分）
设函数,
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数在区间上的最值.
18．（本小题满分12分）
2012年中华人民共和国环境保护部批准《环境空气质量标准》为国家环境质量标准，该标准增设和调整了颗粒物、二氧化氮、铅、笨等的浓度限值，并从2016年1月1日起在全国实施．空气质量的好坏由空气质量指数确定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重，某市对市辖的某两个区加大了对空气质量的治理力度，从2015年11月1日起监测了100天的空气质量指数，并按照空气质量指数划分为：指标小于或等于为通过，并引进项目投资．大于为未通过，并进行治理．现统计如下．
空气质量指数
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
甲区天数
13
20
42
20
3
2
乙区天数
8
32
40
16
2
2
（Ⅰ）以频率值作为概率值，求甲区和乙区通过监测的概率；
（Ⅱ）对于甲区，若通过，引进项目可增加税收40（百万元），若没通过监测，则治理花费5（百万元）；对于乙，若通过，引进项目可增加税收50（百万元），若没通过监测，则治理花费10（百万元）．在（Ⅰ）的前提下，记为通过监测，引进项目增加的税收总额，求随机变量的分布列和数学期望；
19． （本小题满分12分）
20件产品中有17件合格品，3件次品，从中任意抽取3件进行检查，问
（1）求抽取3件都是合格品的抽法种数.
（2）求抽出的3件中恰好有1件是次品的概率.
（3）求抽出的3件至少有2件不是次品的概率.
20. （本小题满分12分）
已知一个袋子里装有只有颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个，现从中随机取球，每次只取一球.
（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；
（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望.
21．（本小题满分12分）
已知，考查
①； ②；
③．
归纳出对都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．
22．（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）若曲线在处的切线方程为，求实数和的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若，且对任意，都有，求的取值范围．
BDACA DBCAC CD
13、（1,2] 14、 15、2 16、
17、（Ⅰ） ， 令
的变化情况如下表：
0
—
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由上表可知的单调递增区间为和, 单调递减区间为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 的极大值 ， 的极小值
又 ， 函数在区间上的最大值为 ，最小值为 .
18、【解析】（Ⅰ）甲区通过监测的概率约为．
乙区通过监测的概率约为．
（Ⅱ）随机变量的所有取值为．
；
；
；
；
所以，随机变量的分布列为:
所以（百万元）．
19、（1）680；（2）；（3）.
20、（1）记事件表示“第i次取到白球”（），事件表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：
. 2分
， 4分
， 5分
另解：记随机变量表示连续取球四次，取得白球的次数. 易知
则，.
（2）易知：随机变量X的取值分别为2，3，4，5
，
， ，
∴随机变量X的分布列为：
X
2
3
4
5
P
∴随机变量X的期望为：.
21、、结论 ：
证明：①当时，显然成立；
②假设当时，不等式成立，
即，
则时，
由①②，不等式对任意正整数成立.
22、(1) 求导得在处的切线方程为，，得 ；b=-4.
(2)
当时，在恒成立，所以在上是减函数，
当时，（舍负）
，
在上是增函数，在上是减函数；
(3) 若，在上是减函数，，
即
即，只要满足在为减函数，，即在恒成立，，，所以
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