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淄博实验中学高三年级第二学期教学诊断考试 2016.04
数 学 （文）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则集合P的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
3．扇形的半径为3，中心角为，把这个扇形折成一个圆锥，则这个圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．将800个个体编号为，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为的个体中应抽取的个体数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．“数列成等比数列”是“数列成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．执行如下图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知函数，则下面结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数是偶函数
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上是增函数
8．已知双曲线E：的离心率，则该双曲线的一条渐近线被圆C：截得的弦长为（ ）
A． B． C．3 D．2
9．如右图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图，则原几何体的的体积为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)
11．已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是，则a+b= ．
12．已知在处的切线经过点，则 ．
13．在△中， ，，，且△的面积为，
则=_______
14．已知方程在上有两个不相等的实数解,则实数的取值范围是____________．
15．如图是导函数的图象:
①处导函数有极大值；
②在处导函数有极小值；
③在处函数有极大值；
④在处函数有极小值;以上叙述正确的是____________。
三、解答题：（本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求函数的单调增区间；
（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象；若在上至少含有10个零点，求b的最小值．
17．在如图所示三棱锥D—ABC中，，，，∠BAC=45°，平面
平面，分别在，且，．
（Ⅰ）求证：BC⊥AD；
（Ⅱ）求平面将三棱锥分成两部分的体积之比．
18．某网站针对“2015年春节放假安排”开展网上问卷调查，提出了A、B两种放假方案，调查结果如表（单位：万人）：
人群
青少年
中年人
老年人
支持A方案
200
400
800
支持B方案
100
100
n
已知从所有参与调查的人种任选1人是“老年人”的概率为．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B方案”的概率．
19．已知数列{}的前n项和．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）若，且数列的前n项和为，求．
20．已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；
（Ⅱ）若在区间上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．
21．已知椭圆C：2x2+3y2=6的左焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，求线段AB的长；
（Ⅲ）设线段AB的中点为P，O为坐标原点，直线OP交椭圆C交于M、N两点，是否存在直线l使得|NP|=3|PM|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
淄博实验中学高三年级第二学期教学诊断考试数学（文）参考答案
一．选择题。
1．D 2．C． 3．D 4．D． 5．B． 6．C 7．D 8．A 9．B 10．B
二．填空题。
11． 12． 13． 14． 15．①②③④
16.（Ⅰ）由题意得：
17．【解析】（Ⅰ）在Rt△ADC中，AD=DC=2，，∴=，
在中，∵∠BAC=45°，=4，
∴= ==8，
可得，∴．∴．
取线段的中点，连接，∵，∴．
又∵平面平面，平面∩平面，平面，
∴平面． ∴，
∵，∴平面，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，，．
∴===，
过作交于，∴⊥平面，
∵，∴由三角形相似知，==，
∵，∴=，
∴==，
∴==，
∴平面将三棱锥分成两部分的体积之比:=5:1．
18．解：（Ⅰ）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，
∴=，解得n=400，
（Ⅱ）支持A方案的有×6=4（人），分别记为1，2，3，4
支持B方案”的有×6=2人，记为a，b 所有的基本事件有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b）（3，4），（3，a），（3，b）（4，a），（4，b），（a，b）共15种，
恰好有1人“支持B方案”事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），共8种． 故恰恰好有1人“支持B方案”的概率P=．
19．【解析】（1）由于，
所以当时，， 两式相减得，
于是， 所以．
（2）由（1）得，
所以，因此；
，
于是．
20．解：（I）因为，当a=1，，
令f'（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），
f（x）随x的变化情况如下表：
x
（0，1）
1
（1，+∞）
f'（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
所以x=1时，f（x）的极小值为1．
f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
（II）因为，且a≠0，令f'（x）=0，得到，
若在区间上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，
其充要条件是f（x）在区间上的最小值小于0即可．
（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
所以，f（x）在区间上单调递减，
故f（x）在区间上的最小值为，
由，得，即
（2）当a＞0时，
①若，则f'（x）≤0对x∈成立，所以f（x）在区间上单调递减，
所以，f（x）在区间上的最小值为，
显然，f（x）在区间上的最小值小于0不成立
②若，即1＞时，则有
x
f'（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
所以f（x）在区间上的最小值为，
由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；
当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．
21．解：（Ⅰ）椭圆C：2x2+3y2=6，即为+=1，可得a=，b=，c=1，即有e==；
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，即为x=﹣1，
代入椭圆方程可得y2=，解得y=±，则线段AB的长为；
（Ⅲ）由F（﹣1，0），设直线AB：x=my﹣1，代入椭圆方程，
可得（3+2m2）y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2=，即有中点P的坐标为（，），
直线OP：y=﹣x，代入椭圆方程，可得x=±，
可设xN=，xM=﹣，
假设存在直线l使得|NP|=3|PM|，即有=3，
即为﹣=3（﹣﹣），解得m=±，
则存在直线l：x=±y﹣1，使得|NP|=3|PM|．
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