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2016年温州市高三第二次适应性测试
理科数学
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知实数满足，则（ ）
A．最小值为-1，不存在最大值 B．最小值为2，不存在最大值
C．最大值为-1，不存在最小值 D．最大值为2，不存在最小值
3.直线与直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）
A．4 B． C．8 D．
5.设集合，在上定义运算：，其中为被4除
的余数，，若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7.数列是递增数列，且满足，，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
8.棱长为2的正方体中，为棱的中点，点分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
非选择题部分（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
9.以椭圆的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是 ，离心率为 .
10.函数的图象如图所示，则 ， .
11.已知等差数列的公差为-3，且是和的等比中项，则通项 ，数列的前项和的最大值为 .
12.设奇函数，则的值为 ，不等式在上的解集为 .
13.若正数满足，则的值为 .
14.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是 .
15.如图，矩形中，，，分别为线段上的点，且满足，若，则的最小值为 .
三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，已知，.
（1）求的值；
（2）设为的中点，若的面积为，求的长.
17. （本题满分15分）
如图，矩形中，，将其沿翻折，使点到达点的位置，且二面角为直二面角.
（1）求证：平面平面；
（2）设是的中点，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围.
18. （本题满分15分）
已知二次函数的图象过点.
（1）记函数在上的最大值为，若，求的最大值；
（2）若对任意的，存在，使得，求的取值范围.
19. （本题满分15分）
已知椭圆的两个焦点为，焦距为2，设点满足是等腰三角形.
（1）求该椭圆方程；
（2）过轴上的一点作一条斜率为的直线，与椭圆交于点两点，问是否存在常数，使得的值与无关？若存在，求出这个的值；若不存在，请说明理由.
20. （本题满分15分）
设正项数列满足：，且对任意的，，均有成立.
（1）求，的值，并求的通项公式；
（2）（ⅰ）比较与的大小；
（ⅱ）证明：.
2016年温州市高三第二次适应性测试
数学（理科）试题参考答案 2016.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
A
B
D
C
B
B
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9. ， 10. ， 11. ，
12. ， 13．1 14. 15.
三、解答题：本大题共5小题，共7４分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本题14分）解：（Ⅰ）由得：
即
，………………………………… 2分
（也可以由数量积的几何意义得出）
与都是锐角
………………………4分
得：………………………………………………………………………9分
又 ……………………11分
△中，由余弦定理得：
……………………………………………………………………14分
17．（本题15分）（Ⅰ）二面角为直二面角，
平面 ……………2分
平面 …………4分
平面平面 …………6分
（Ⅱ）解法1：如图，以为坐标原点，以长为一个单位长度，
建立如图空间直角坐标系，则
……………8分
则
设平面的法向量为
则，取，则 ………………………………10分
同理设平面的法向量为 ………………………………12分
………………………………14分
…………………………………15分
解法2：过作于，过作于，连，则
则二面角的平面角为 …………………………………9分
为的中点
由，得 …………………………………11分
…………………………………14分
…………………………………15分
18. （本题15分）解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）过点，，……1分
是开口向上的抛物线， …………………………………3分
………………………………………………………………5分
两式相加得，即的最大值为 …………………………………………………………6分
解法二： 由
解得： ……………………6分
（Ⅱ）由题意，存在，使
……………………8分
其对称轴为
①当即时，在上单调递增
均符合题意 ………………………10分
②当即时，
在上递减，在上递增且
由 得：符合题意 ………………………12分
③当即时，
在上递减，在上递增且
由 得：
符合题意 …………………………13分
④当即时，在上单调递减
均符合题意 …………………………14分
综上所述：或 …………………………15分
19. （本题15分）解：（Ⅰ）根据题意，有 ………………4分
解得： 故所求椭圆方程为 ……………………6分
（Ⅱ）联立方程：，整理得：
在的情况下有： ……………………9分
……………………………13
分
令，得，即
此时与无关符合题意 ……………………………15分
（若设直线，其中，则化简过程相对简捷，可得
，结果同样可得）
20. （本题15分）
解：（Ⅰ）令，得，从而，所以 ………………2分
令，得
从而，，又，
所以， …………………4分
从而 可知当为偶数时，；
令，得，可知当为奇数时，
综上可得 ． …………………6分
（Ⅱ）（i）
所以 …………………9分
（ii）即证明
由（i）得， ，…，
将上述的个式子相加，得
所以
所以，只需证
即 ……………………………12分
事实上，当时
（因为，）
所以
从而
．…………………………………………15分
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