www.ks5u.com
2015—2016学年度高二第二学期学段考试
数 学（理 科）
命题人：张海兵
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝（ ）
A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．设数列的前n项和为．且，，则=（ ）
A． B． C． D．
4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
5．设，那么等于（ ）
A． B． C． D．
6. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种
7．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数（）的部分图像如图所示，
则 的图象可由 的图象向( ) 个单位
A.右平移 B.左平移 C.右平移 D.左平移
9．过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，
且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.设，则的值是（ ）
A． B． C． D．
11.已知为圆的一条直径，点为直线上任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12. 已知函数，若数列满足：，（）．若对，都，使得恒成立，则整数M的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．根据定积分的几何意义，则的值是 .
14．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 .
15．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为；……；依此规律得到级分形图．级分形图中所有线段长度之和为 ．
16．8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，现将这8张奖券分发给4名同学，每人2张，则不同的获奖情况有 种.
三、解答题（共5小题，每小题14分，共70分）
17．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的最大值．
18．（本小题满分14分）
某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙公司和丙公司面试的概率均为p，，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记为该毕业生得到面试的公司个数，若P＝．
（1）求p的值；
（2）求随机变量的分布列及数学期望．
19．（本小题满分14分）
如图，在中，已知，在上，且，又平面，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
20．（本题满分14分）
已知抛物线，圆，点为抛物线上的动点, 过点的圆的两切线，设其斜率分别为，.
（Ⅰ）求证：，
（Ⅱ）求过点的圆的两切线与轴围成的三角形面积的最小值．
21．（本题满分14分）
已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设，如果对任意，均存在，使得成立，求实数a的取值范围．
参 考 答 案
一、选择题
1-12 BDBAD BAACB AA
13、； 14、； 15、； 16、60.
17、解：（Ⅰ）∵，，
∴， ∵C为△ABC内角， ∴，
则；
（Ⅱ）由，得，
∵，
∴，当且仅当时“”成立，
则S△ABC的最大值是．
18、解：（1）依题意，应有
解得：．
答：p的值是
（2）依题意，的取值为0，1，2，3，
；
；
；
，
的分布列为
0
1
2
3
数学期望．
19、解：（Ⅰ）题设得，
由平面，知⊥平面.
从而
在中为直角三角形，故
又，又平面
平面，平面
故∵∴平面 ……6分
（Ⅱ）以所在射线分别为轴，建立直角坐标系如图
则由（Ⅰ）知，,
由（Ⅰ）知平面是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
令，则 ……11分
由图可知，二面角的余弦值为 …14分
20、解：（I）设切线方程，即
切线与轴交为，圆心到直线的距离 3分
，
化简得： 5分
由两切线的斜率分别为，
则，， ……7分
（Ⅱ）
……12分
等号成立，当且仅当，即
故两切线与轴围成的三角形面积的最小值为 ……14分
21、解：（1）， ……2分
所以，
其单调递增区间为，，单调递减区间为． ……5分
（2）若要命题成立，只需当时，．
由可知，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，故， ……7分
所以只需．
对函数来说，．
当≤0时，由，，函数在区间上单调递增，
，故≤0
当≤2时，，由，，故，
函数在区间上单调递增，
，
故≤2满足题意
当时，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
．
若时，显然小于，满足题意；
若时，可令，，
可知该函数在时单调递减，
，满足题意，所以满足题意．
综上所述：实数a的取值范围是 ……14分
微信/支付宝扫码支付