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高三第三次调研考试数学参考答案与评分标准 ‎（三稿）‎ 一、填空题 ‎1． 2． 3．1　　 4． 　5．3　 6． 7．　　8． ‎ ‎9． 10． 11． 12． 13． 14．‎ 二、解答题 ‎15．（1）因为，所以． ………2分 所以 ‎， ……………………………………6分 在△中，由正弦定理得． …………………8分 ‎（2）因为， 所以． ………………10分 在△中，由余弦定理，‎ 得，解得，　 　……………………………………12分 所以. …………………14分 ‎16．（1）因为直三棱柱，所以底面，‎ 因为底面，所以， ……………………………2分 又因为为中点，且，所以．‎ 又 N A M P C B A1‎ C1‎ B1‎ D 所以平面． ………………………………………………4分 又因为平面，‎ 所以平面平面．…………6分 ‎（2）取中点，连结，，，.‎ 由于，分别为，的中点，‎ 所以且 故且.‎ 则四边形为平行四边形，所以.‎ 又平面，平面，‎ 所以平面. ……………………………………………………………………9分 第 8 页 共 8 页 由于分别为，的中点，‎ 所以.‎ 又，分别为，的中点，所以.‎ 则.‎ 又平面，平面，所以平面. ………………………12分 由于,所以平面平面.‎ 由于平面，所以平面. ………………………………………14分 ‎17．（1）由题意知，，. ………………………………………………2分 解得，所以椭圆的方程为. …………………………4分 ‎（2）设，，则的中点坐标为，的中点坐标为．‎ 因为四边形是平行四边形，所以即………………6分 由点，是椭圆的两点，所以………………8分 解得或 ……………………………………………………………12分 由得由得 所以，点，；或，．……………………14分 ‎18. (1) 若，由，得．‎ ‎ 解得 ． …………………………………………………………………3分 ‎ 因为，所以．‎ 设该商品的月销售额为，则……………………………5分 当时，． ……………………………………7分 当时，，‎ 第 8 页 共 8 页 则，‎ 由，得，‎ 所以在上是增函数，在上是减函数，‎ 当时，有最大值．　　…………………………………………10分 ‎(2) 设,‎ 因为，所以在区间上是增函数，‎ 若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数在区间上有零点，………12分 所以即解得． ………………………15分 答：（1）若，商品的每吨价格定为8百元时，月销售额最大；‎ ‎　（2）若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数a的取值范围是．………16分 ‎19．（1）因为，所以，……………………………………………２分 令，得． ……………………………………………………………………3分 当时，，是增函数；‎ 当时，，是减函数．‎ 所以在时取得极大值，无极小值． …………………………5分 ‎（2）由（1）知，当时，单调递增；当时，单调递减.‎ 又因为，‎ 所以当时，函数的值域为. …………………………7分 当时，在上单调，不合题意； …………………………8分 当时，，‎ 故必须满足，所以． …………………………10分 此时，当 变化时，的变化情况如下：‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调减 最小值 单调增 第 8 页 共 8 页 所以．‎ 所以对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，‎ 使得，当且仅当满足下列条件 即 ………………………………13分 令 ，‎ ‎，由，得．‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增．‎ 所以，对任意有 ‎ 即对任意恒成立． ‎ 由，解得 ‎ 综上所述，当时，对于任意给定的，在区间上总存在两个不同的，，使得． ………………………………16分 ‎20．（1）由题意，数列的奇数项是以为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以为首项，公比为3的等比数列. ……………………1分 所以对任意正整数，. ‎ 所以数列的通项公式. ……………………3分 ‎（2）①当为奇数时，由，得 ，‎ 所以，令 ，‎ 由，‎ 第 8 页 共 8 页 可知在上是增函数，‎ 所以，‎ 所以当且仅当时，满足，即. ……………………6分 ‎②当为偶数时，由得，‎ ‎，即,‎ 上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立.‎ 综上，满足的正整数的值只有1. ……………………8分 ‎（3） ‎ ‎,.‎ ‎. ……………………10分 假设存在正整数，使得，‎ 则,‎ ‎ 所以,（*）‎ ‎ 从而，所以, ‎ 又，所以. ……………………12分 ① 当时，（*）式左边大于0，右边等于0，不成立.‎ ② 当时，（*）式左边等于0，所以,‎ 所以． ……………………14分 ③ 当时，（*）式可化为，‎ 则存在，，使得， 且，‎ 从而，所以，，‎ 所以，，于是，．‎ 综上可知，符合条件的正整数对只有两对：，．…………………16分 第 8 页 共 8 页 附加题答案 ‎21．A．连接，因为为圆的直径，所以，‎ 又，则四点共圆，‎ 所以．　…………………………………………………………………5分 又△∽△，‎ 所以，即，‎ 所以．…………………10分 B. 因为 ，由，得或． ………………3分 当时，对应的一个特征向量为；当时，对应的一个特征向量为．‎ 设，解得 ……………………………………………………6分 所以． ………………………………………………10分 C．直线的普通方程为，① ……………………3分 曲线的直角坐标方程为，② ……………………6分 联立①②解方程组得 或 根据x的范围应舍去 故P点的直角坐标为(0，0). ……………………10分 第 8 页 共 8 页 D．证明:因为，，所以要证: ,‎ 只要证:,‎ 只要证.(因为) ……………………4分 取函数,因为，‎ 所以当时,,所以函数在上是单调递减.‎ 所以，当时,有，即. ……………………10分 ‎22．(1)设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件， ‎ 则． …………………………4分 ‎ (2)设“在1次摸奖中，获奖” 为事件，‎ 则获得一等奖的概率为；‎ 获得三等奖的概率为；‎ 所以．……………………………………………………………8分 由题意可知的所有可能取值为0，1，2． ‎ ‎，，．‎ 所以的分布列是 所以． ……………………………10分 第 8 页 共 8 页 ‎23．(1)当时，集合为，‎ 当时，偶子集有，奇子集有，，； ‎ 当时，偶子集有，奇子集有，‎ ‎，； …………………………………………3分 当时，偶子集有，奇子集有，‎ ‎，；　　 …………………………………………4分 ‎(2)当为奇数时，偶子集的个数， ‎ 奇子集的个数，‎ 所以．　 　…………………………………6分 当为偶数时，偶子集的个数，‎ 奇子集的个数，‎ 所以 ‎． ………7分 一方面，‎ 所以中的系数为 ‎； …………………8分 另一方面，，中的系数为，‎ 故．‎ 综上，　　 ……………………………………………10分 第 8 页 共 8 页