第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查绝对值不等式、一元二次不等式的解法以及集合的交集运算，意在考查学生的基本运算能力．
【答案】A
【试题解析】因为，，所以=；故选A.
2．定义运算，则符合条件的复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【命题意图】本题主要考查复数的计算与复平面的概念，意在考查学生的基本运算能力．
【答案】B.
3．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生和都不是第一个出场，不是最后一个出场”的前提下，学生第一个出场的概率为（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查条件概率的应用，意在考查学生的逻辑思维能力．
【答案】A
【试题解析】设“学生和都不是第一个出场，不是最后一个出场”为事件，“学生第一个出场”为事件，则，，由
条件概率的概率公式，得；故选A.
4．若，，按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查程序框图中的条件结构，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力．
【答案】D
【试题解析】因为，，所以，所以，所以答案为D.
5．若点在直线上，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查点和直线的位置关系、诱导公式、二倍角公式等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．
【答案】B
6．实数是直线与直线平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【命题意图】本题考查两直线平行的判定，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．
【答案】C
【试题解析】由直线与直线平行，得,即,解得或，经验证，当时两直线重合，
所以是直线与直线平行的充要条件；故选C.
7．设点、分别是双曲线（，）的右顶点和右焦点，直线交双曲线的一条渐近线于点．若是等腰三角形，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【命题思路】本题考查双曲线的几何性质的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．
【答案】D
8．已知一空间几何体的三视图如题所示，其中正规图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（ ）
A．17 B． C． D．18
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图和几何体的体积，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力．
【答案】C
【试题解析】由三视图，知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长分别为2和4，则棱台的上下底面的面积分别为4和16，侧高为，故棱台
的高为，所以棱台的体积为．又由三视图知棱锥的底面是棱台上底面的一半，高为2，所以棱锥的体积为，所以该几何体的体积，故选C．
9.已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值为（ ）
A． B．13 C．6 D．
【命题意图】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力
【答案】D
10．已知函数，设函数，且函数的所有零点均在区间，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【命题意图】本题考查函数的零点、导数在研究函数中的应用等知识，意在考查学生分析问题、解决问题的综合能力．
【答案】D
【试题解析】由题意，得，则，，．当且时，＞0，所以在上是增函数，且，同理可知在上是减函数，且，所以函数在上有唯一零点，在上有唯一零点，则由与
解得与，所以函数与的零点分别为与，所以函数的零点为．又，所以＝，故选D．
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．等比数列中，，， ．
【命题意图】本题考查等比数列的性质，意在考查学生的基本运算能力．
【答案】
【试题解析】由等比数列的性质，知仍成等比数列，公比为，所以．
12．如果点在平面区域上，则的最大值是 ．
【命题意图】本题考查非线性规划问题求最值，意在考查学生的数形结合思想的应用和基本计算能力．
【答案】
13．的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是______．
【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查学生的基本运算能力．
【答案】1120
【试题解析】因为的展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以为偶数，且展开式共有9项，则，则展开式的通项公式为，令，得，则展开式中的常数项为.
14．已知不等式对任意实数，都成立，则常数的最小值为 ．
【命题意图】本题考查绝对值不等式的最值、基本不等式和不等式恒成立等知识，意在考查学生的分析问题、解决问题的综合能力．
【答案】4
15．以下命题正确的是 ．
①把函数的图象向右平移个单位，可得到的图象；
②四边形为长方形，为中点，在长方形内随机取一点，取得的
点到的距离大于1的概率为；
③在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为，
则在内取值的概率为；
④数学活动小组由名同学组成，现将这名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有种．
【命题意图】本题以命题真假的判定为载体考查三角函数的图象变换、几何概型、排列组合、正态分布等知识，考查学生的逻辑思维能力．
【答案】①③④
【试题解析】把函数的图象向右平移个单位，得的图象，故①正确；由几何概型的概率公式，得所求概率为阴影部分和矩形面积之比（如图所示），即为，故②不正确；因为服从正态分布，所以正态分布的图象的对称轴为，由在内取值的概率为，所以在，又，故③正确的；由题意得，第一组分3人有种选择，第二组分3人有种选择，第三组分3人有种选择，第四组分3人有种选择；第一组选择一名组长有种选择，第二组选择一名组长有
种选择，第三组选择一名组长有种选择，第四组选择一名组长有种选择，由分步计数原理，得满足题目要求的种数有种；故④正确；故填①③④．
三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本小题满分12分）在中，三个内角所对的边分别为，已知函数为偶函数，
（I）求；
（II）若，求的面积
【命题意图】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质、正弦定理、三角形的面积公式等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.
17．（本小题满分12分）已知：矩形，且 ，分别是、的中点，为中点，将矩形沿着直线折成一个的二面角，如图所示.
（Ⅰ）求证： ⊥；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
【命题意图】本题考查平面图形的折叠问题、空间中垂直关系的转化、二面角、线面角以及空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.
∴ ⊥．…………………………………6分
∵ ∴
令 得为平面的一个法向量.………………………10分
与平面所成角的正弦值==.
与平面所成角的正弦值为．…………………………………………12分
18．（本小题满分12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了人，他们年龄大点频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：
年龄
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
频数
5
10
15
10
5
5
支持“生育二胎”
4
5
12
8
2
1
（I）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的把握认为以岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
支持
不支持
合计
（II）若对年龄在的的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的人不支持“生育二胎”人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
参考数据：，，
【命题意图】本题考查独立性检验思想的应用和离散型随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生的逻辑思维能力和数学的应用能力.
【试题解析】(Ⅰ)2乘2列联表
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
支持
32
不支持
18
合 计
10
40
50
………………………………………………2分
＜…………………4分
所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.…………5分
……………………10分
所以的分布列是
所以的期望值是………………………12分
19．（本小题满分12分）已知数列满足（为实数，且），，且成等差数列.
（I）求的值和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【命题意图】本题考查数列的递推式、等差数列、对数的运算和错位相减法等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和解决问题的综合能力.
（Ⅱ）由⑴，得，………………………8分
设数列的前项和为，则
上述两式相减，得
所以数列的前项和为………………………12分
20.（本小题满分13分）已知圆，若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为．
（I）求椭圆的方程；
（II）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于、两点，与圆分别交于、两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围．
【命题意图】本题考查圆的方程、椭圆的方程和几何性质、直线和椭圆的位置关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的综合能力．
（II）设，联立方程得，∴．
， ………………5分
则． ………………6分
又点到直线的距离，则
． ………………7分
21．（本小题满分14分）设函数，，其中，且．
（I）若直线（为自然对数的底数）与曲线和分别交于、两点，且曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相平行，求的值；
（II）设（，且）有两个极值点，，且，证明：．
【命题意图】本题考查导数的几何意义、图象的零点以及导数在研究函数中的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和方程问题、解决问题的综合能力.
【试题解析】（Ⅰ）因为，， ……… 2分
所以，.
由，得. ……… 6分
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