第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.复数，则的模等于（ ）
A． B．2 C． D．5
2.设的展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（ ）
A．375 B．-375 C．15 D．-15
3.函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（ ）
A．1，-1 B．1， -17 C．3，-17 D．3,1
4.已知是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（ ）
5.在各不相同的10个球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出两个球，第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6.函数有（ ）
A．极小值为 B．极大值为 C．极小值为 D．极大值为
7.将4名志愿者全部分配到三个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案总数为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．72
8. ，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C．8 D．-8
9.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
10.如图所示，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好自由曲线与直线及轴所围成的曲边梯形内”，表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则等于（ ）
A． B． C． D．
11.设，若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12.以集合的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)空集和都要选出；(2)对选出的任意两个子集和，必有或，则不同的选法数为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．36
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13.在复平面上，平行四边形的三个顶点对应复数分别为，则点对应的复数为
.
14.某班一共准备了6个节目将参加厦门一中音乐广场活动，节目顺序有如下要求：甲、乙两个节目必须相邻，丙、丁两个节目不能相邻，则在这次活动中节目顺序的编排方案共有
种.
15.已知命题“在等差数列中，若，则”，在正项等比数列中，若，用类比上述命题，则可得到 .
16.已知，且是偶数，则 .
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中有大小相同的5个白球和3个红球，一次从中任意摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖.
(Ⅰ)求中奖的概率；
(Ⅱ)求摸出红球个数的分布列.
18. （本小题满分12分）设函数，
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ)当时，函数有且只有一个零点，求的取值范围.
19. （本小题满分12分）厦门一中高二年级数学兴趣小组中的甲乙两位同学独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙（即至少一人）解出的概率为0.92.
(Ⅰ)求该题被乙独立解出的概率；
(Ⅱ)求解出该题的人数的分布列.
20. （本小题满分12分）已知为抛物线上的点，直线过点，且与抛物线相切，直线交抛物线于点，交直线于点.
(Ⅰ)设的面积为，求及的值（结果用表示）；
(Ⅱ)由抛物线、直线和所围成图形的面积为，求证; 的值恒为与无关的常数.
21. （本小题满分12分）
已知数列的前项和，（为正整数）.
(Ⅰ)求，并猜想数列的通项公式(不必证明)；
(Ⅱ)试比较与的大小，并予以证明.
22. （本小题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）设若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，若在上恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题
1. C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.D 9.B 10.A 11.B 12.D
二、填空题
13． 14. 144 15. 16.
第12题解法1：分集合为单元素集和双元素集两种情况，共有选法数为种.
解法2：的子集共有16个，按元素个数不同分为5组：组0个元素：空集；组1个元素：；组2个元素：；组3个元素：；组4个元素：.根据条件1，组，组必选，还有2个，如果要满足条件2，剩下的2个必不能在同一组中.必在组，组，组.分3种情况：在组和组中选共有3+3+3+3=12种；在和组中选共3+3+3+3=12种；在和组中选共2+2+2+2+2+2=12种，合计：12+12+12=36.
第16题解答：由，在区间上，两边取积分可得：
，即.
三、解答题
17．解：(Ⅰ)设摸出的3个球中有2个红球、3个红球分别为事件，则，∵为两个互斥事件，∴，即中奖的概率为.………………6分
(Ⅱ) 取值分别为0,1,2,3.
,.……………………10分
∴摸出红球个数的分布列为 ………………12分
0
1
2
3
18.解：（Ⅰ）.………………2分
当时，或；…………4分
当时，或；
当时，恒成立，
综上知：
当时，的递增区间为和，递减区间为；当时，的递增区间为和，递减区间为；当时，的递增区间为，无递减区间.………………6分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，当时，取得极大值；当时，取得极小值.…………8分
19.解：（Ⅰ）记甲、乙分别解出此题的事件记为.
设甲独立解出此题的概率为，乙为.则，…………2分.
，∴，则，即.………………6分
（Ⅱ），………………7分
，…………9分
.………………10分
的分布列为：………………12分
0
1
2
0.08
0.44
0.48
20.解：（Ⅰ）由得，∴直线的方程为，即.…………2分
得点坐标为，由得点坐标.点到直线的距离为，…………4分
∴.…………6分
(Ⅱ) …………8分
，…………10分
又，∴，即的值恒为与无关的常数.………………12分.
21.解：(Ⅰ)在中，令，可得，即.
当时，，∴，∴，即，由，得，同理可得，，猜想.………………5分
（Ⅱ）因，，……………………6分
所以，只要比较与的大小，当时，，即，当时，猜想.………………8分.
证法1：当时，显然，假设当时，猜想成立，即，则当时，，而，于是，所以，当时，猜想成立.……11分
证法2：设，则，当时，，所以在上递增在上递增，……
证法3：当时，由二项式定理，
，……………
综上可知，当时，；当时，.…………12分
22.解：(Ⅰ)（1）当时，函数.令得.………………2分
当变化时，的变化情况如表：………………4分
1
+
0
—
0
+
单调递增
极大
单调递减
极小
单调递增
当时，有极大值，求极大值=，当时，有极小值，且极小值=—2.……6分
（Ⅱ）解法1：由，则，令，解得；令，解得，所以在上是减函数，在上是增函数，即最小值=.…………7分
对于任意的，不等式恒成立，则有即可.即不等式对于任意恒成立.
解法2：由解法1中可得：恒成立，…………7分
作出函数的大致图象（如右图所示），直线过定点，当与函数的图象相切时，不妨设切点为，则切线方程形式为：
，将点坐标代入得：，…………9分
整理得：，易得恒成立，故只有，即切点为，…………11分
所以直线与函数的图象相切时，斜率为1，由图可见欲使直线在函数的图象上方，必有.……14分
（Ⅲ）由题意知：在上恒成立.令，……9分
①当时，，所以恒成立，所以在上单调递增，所以在上恒成立，所以均符合要求.…………11分
②当时，在上单调递增，满足且，故在上存在唯一零点，……12分
当时，，所以在上单调递减，从而，所以在上单调递减，从而当时，，即，不合题意.综上，实数的取值范围为
.…………………………14分
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