武昌区2016届高三年级五月调研考试
理科数学试题及参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数是实数，则实数（ B ）
A． B．1 C． D．2
2．若变量x，y满足约束条件则的最大值是( C )
A． B．0 C． D．
3．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则( B )
A． B． C． D．
4．已知双曲线，点，为其两个焦点，点P为双曲线上一点．若，则的值为( C )
A．2 B． C． D．
5．设，，，则( C )
A． B． C． D．
k=k+2
输出k
结束
开始
S=0，k=0
是
否
6．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( B )
A．
B．
C．
D．
7．的展开式中，的系数为( A )
A．110
B．120
C．130
D．150
2
4
5
3
正视图
侧视图
俯视图
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的
体积为( C )
A．12
B．18
C．24
D．30
9．动点A(x，y)在圆上绕坐标原点沿
逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知
时间时，点A的坐标是，则当
时，动点A的纵坐标y关于t（单位：
秒）的函数的单调递增区间是( D )
A． B． C． D．和
10．已知命题
p1：设函数，且，则在上必有零点；
p2：设，则“”是“”的充分不必要条件．
则在命题：，：，：和：中，真命题是( C )
A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4
11．在中，，M是BC的中点．若，则( A )
A． B． C． D．
12．设直线与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线恰有4条，则r的取值范围是( D )
A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若向量a，b满足：a，(a＋2b)⊥a，(a＋b)⊥b，则|b| ．
答案：
14．已知，则 ．
答案：
15．已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上．若，，则该球的表面积等于 ．
答案：
16．已知函数（k为常数），曲线在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则的单调递减区间为 ．
答案：
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
设数列的前n项和为，已知，．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
解：（Ⅰ）由an＋1＝Sn，及an＋1＝Sn＋1－Sn，得Sn＋1－Sn＝Sn，
整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴＝2·．又＝1，
∴{}是以1为首项，2为公比的等比数列．……………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得＝2n－1，∴Sn＝n·2n－1（n∈N*）．
∴Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1， ①
2Tn＝ 1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n． ②
由②－①，得
Tn＝－(1＋2＋22＋…＋2n－1)＋n·2n＝－＋n·2n＝(n－1)·2n＋1．……12分
18．（本小题满分12分）
某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．
（Ⅰ）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；
（Ⅱ）若从甲部门中随机选取3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X的分布列及数学期望．
男 女
8 8 6 16 8
6 5 4 3 2 17 6
5 4 2 18 5 6
3 2 1 19 0 2
解：（Ⅰ）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，
用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取10×＝4人．
记“至少有一人来自甲部门”为事件A，则
P(A)＝1－＝．
故至少有一人来自甲部门的概率为．…………………………………………5分
（Ⅱ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝．
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．……………………………………12分
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，，，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小．
解：（Ⅰ）以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系D-xyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2)，∴＝(0，2，－2)，＝(－1，1，0)，＝(0，2，0)．
S
D
A
B
C
E
x
y
z
F
设平面SBC的法向量为m＝(a，b，c)，
由m⊥，m⊥，得
∴取m＝(1，1，1)．
又设＝λ（λ＞0），则E(，，)，
∴＝(，，)．
设平面EDC的法向量n＝(x，y，z)，
由n⊥，n⊥，得
∴取n＝(2，0，－λ)．
由平面EDC⊥平面SBC，得m⊥n，
∴m·n＝0，∴2－λ＝0，即λ＝2．
故SE＝2EB．………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），知E(，，)，∴＝(，，)，＝(－，，－)，
∴·＝0，∴EC⊥DE．
取DE的中点F，则F(，，)，∴＝(，－，－)，
∴·＝0，∴FA⊥DE．
∴向量与的夹角等于二面角A-DE-C的平面角．
而cos＜，＞＝＝－，
故二面角A-DE-C的大小为120°．………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
已知，是椭圆的两个顶点，过其右焦点F的直线l与椭圆交于C，D两点，与轴交于P点（异于A，B两点），直线AC与直线BD交于Q点．
（Ⅰ）当时，求直线l的方程；
（Ⅱ）求证：为定值．
解：（Ⅰ）由题设条件可知，直线l的斜率一定存在，F(1，0)，
设直线l的方程为y＝k(x－1)（k≠0且k≠±1）．
由消去y并整理，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0．
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|CD|＝·＝·
＝．
由已知，得＝，解得k＝±．
故直线l的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)，
即x－y－1＝0或x＋y－1＝0．……………………………………………5分
（Ⅱ）由C(x1，y1)，D(x2，y2)，A(0，1)，B(0，－1)，得
直线AC的方程为y＝x＋1，直线BD的方程为y＝x－1，
联立两条直线方程并消去x，得＝，
∴yQ＝．
由（Ⅰ），知y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝，
∴x1y2＋x2y1＋x1－x2＝kx1(x2－1)＋kx2(x1－1)＋x1－x2
＝2kx1x2－k(x1＋x2)＋x1－x2
＝2k·－k·＋x1－x2
＝－＋x1－x2，
x1y2－x2y1＋x1＋x2＝kx1(x2－1)－kx2(x1－1)＋x1＋x2
＝k(x2－x1)＋x1＋x2
＝k(x2－x1)＋
＝－k(－＋x1－x2)，
∴yQ＝－，∴Q(xQ，－)．又P(0，－k)，
∴·＝(0，－k)·(xQ，－)＝1．
故·为定值．………………………………………………………………12分
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）记F(x)＝sinx－x，则F′(x)＝cosx－．
当x∈(0，)时，F′(x)＞0，F(x)在[0，]上是增函数；
当x∈(，1)时，F′(x)＜0，F(x)在[，1]上是减函数．
∵F(0)＝0，F(1)＞0，∴当x∈[0，1]时，F(x)≥0，即sinx≥x．
记H(x)＝sinx－x，则当x∈(0，1)时，H′(x)＝cosx－1＜0，
∴H(x)在[0，1]上是减函数，∴H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x．
综上，x≤sinx≤x，x∈[0，1]．………………………………………………4分
（Ⅱ）∵当x∈[0，1]时，
ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx－4＝(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)sin2
≤(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)(x)2＝(a＋2)x．
∴当a≤－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立．
下面证明：
当a＞－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．
ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx－4＝(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)sin2
≥(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)()2＝(a＋2)x－x2－
≥(a＋2)x－x2＝－x[x－(a＋2)]．
∴存在x0∈(0，1)（例如x0取和中的较小者）满足ax0＋x＋＋2(x0＋2)cosx0－4＞0，
即当a＞－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx－4≤0对x∈[0，1]不恒成立．
综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．………………………………………12分
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
A
B
C
D
E
O
O′
如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E，已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求线段AE的长．
解：（Ⅰ）∵AC切⊙O′于A，∴∠CAB＝∠ADB，
同理∠ACB＝∠DAB，∴△ACB∽△DAB，
∴＝，即AC·BD＝AB·AD．
∵AC＝BD＝3，∴AB·AD＝9．…………………………………………………5分
（Ⅱ）∵AD切⊙O于A，∴∠AED＝∠BAD，
又∠ADE＝∠BDA，∴△EAD∽△ABD，
∴＝，即AE·BD＝AB·AD．
由（Ⅰ）可知，AC·BD＝AB·AD，
∴AE＝AC＝3．……………………………………………………………………10分
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；
（Ⅱ）若P是直线上的一点，Q是曲线C上的一点，当取得最小值时，求P的直角坐标．
解：（Ⅰ）由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，
从而有x2＋y2＝2x，
∴(x－)2＋y2＝3．
∴曲线C是圆心为(，0)，半径为的圆．…………………………………5分
（Ⅱ）由题设条件知，|PQ|＋|QC|≥|PC|，当且仅当P，Q，C三点共线时，等号成立，
即|PQ|≥|PC|－，∴|PQ|min＝|PC|min－．
设P(－t，－5＋t)，又C(，0)，
则|PC|＝＝＝．
当t＝1时，|PC|取得最小值，从而|PQ|也取得最小值，
此时，点P的直角坐标为(－，－)．………………………………………10分
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，，函数的最小值为2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明：与不可能同时成立．
解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，
∴f(x)＝|x－a|＋|x＋b|≥|(x－a)－(x＋b)|＝|－a－b|＝|a＋b|＝a＋b，
∴f(x)min＝a＋b．
由题设条件知f(x)min＝2，
∴a＋b＝2．…………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2≤a＋b＝2，∴ab≤1．
假设a2＋a＞2与b2＋b＞2同时成立，
则由a2＋a＞2及a＞0，得a＞1．
同理b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾．
故a2＋a＞2与b2＋b＞2不可能同时成立．……………………………………10分
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