北京市海淀区2016届高三查漏补缺数学试题 Word版含答案.doc

‎2016年北京市海淀区高三数学查漏补缺题 说明： 个别题目有难度 ，个别题目方向有偏差，请谨慎选用！‎ 1、 提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题。‎ 2、 教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用，也可以不用。‎ 3、 后期教师要根据自己学校情况, 注意做好保温练习，合理安排学生时间。‎ 4、 因为是按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错，希望老师们及时指出问题，以便及时改正。‎ 简易逻辑部分 ： ‎ ‎1.已知实数，直线，，则“”是“//”的（ ）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 ‎ C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B ‎2.已知曲线的方程为，则“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的（ ）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 ‎ C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C ‎3.设集合，若且，（Card（X）表示集合X中的元素个数）令表示X中最大数与最小数之和，则 ‎（1）当n=5时，集合X的个数为 20 ‎ ‎（2）所有的平均值为 n+1 ‎ 解答（2）,对所有的X进行配对，‎ 当时，‎ 令，，必有不妨设，则，.如果则有，如果则。‎ 同理，当时 令，必有,不妨设，则，。如果则有，如果则。‎ 所以，在每一组元素个数相同的子集中，的平均值为n+1.‎ 综上，所有的算术平均值为n+1‎ 三角函数部分 ‎1.若角的终边过点，则 解：‎ ‎2.把函数向右平移个单位，然后把横坐标变为原来的2倍，则所得到的函数的解析式为________________ ‎ 解：函数向右平移个单位，得，‎ 把横坐标变为原来的2倍，得 ‎3.设函数的最小正周期为，且，则：‎ A．在上单调递减 B.在上单调递减 ‎ C．在上单调递增 D.在上单调递增 解：，由最小正周期得，又由于，可知函数为偶函数，因此，又因为，可得，所以，在上单调递减。所以选A ‎4. 已知函数，现有如下几个命题：‎ ①该函数为偶函数；‎ ②该函数最小正周期为；‎ ③该函数值域为；‎ ④该函数单调递增区间为.‎ 其中正确命题为.‎ 解：答案：①③④‎ 先分析函数奇偶性为偶函数，从而只用考虑y轴一侧的图像，如右侧.然后由诱导公式或者④的提醒应该分析出最小正周期为，而非.这样只需要画一个周期的函数图像即可，‎ 在上函数很容易画出，然后函数图像就出来了，就好下结论了.‎ ‎5. 在中，分别是角的对边，且 ‎（I）求角的取值范围；‎ ‎（II）若，求；‎ 解：（I）‎ 又, ‎ ‎（II）（2）‎ ‎，‎ ‎6. 已知函数。‎ ‎(I) 若在.‎ ‎(II)求在区间上的取值范围；‎ 解：（I）‎ 时，由正弦定理得， ‎（II）‎ 所以在区间上的取值范围是.‎ ‎7.如图，在直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线与射线交于点，与轴交于点．记，且．‎ ‎（Ⅰ）若，求； ‎ ‎（Ⅱ）求面积的最大值. ‎ 解：﹙Ⅰ﹚因为，且，所以． ‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）由三角函数定义，得，从而 所以 ‎ ‎ 因为，所以当时，等号成立 ‎ 所以面积的最大值为 . ‎ 立体几何部分：‎ ‎1. 已知为异面直线，平面,平面,直线满足，则（）‎ A．，且 B．，且 C．与相交，且交线垂直于 D．与相交，且交线平行于 答案D ‎ ‎2.(理科) 已知正方体中，为直线上的动点，为直线上的动点，则与面所成角中最大角的正弦值为_________.‎ 解：点在中点，点在时成角最大，最大成角的正弦值为 ‎3. 如图所示几何体中，底面是正方形，平面，//,,为的中点.‎ ‎（I）证明：// 平面；‎ ‎(II) 线段上是否存在一点，使平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.‎ 解：（I）取中点，连、.则////，,‎ 所以四边形是平行四边形，所以，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以// 平面.（取PD中点M，连ＦＭ，ＢＭ，通过面面平行证明也可）‎ ‎(II) 线段上存在一点，使平面，．‎ 过做于，连，因为平面，平面，‎ 所以，，，所以，‎ 因为//,所以平面，平面，‎ 所以，，，所以，‎ 所以与全等，因为，所以，又因为，‎ 平面，所以平面 因为平面，平面，所以，//，‎ 所以，在中 所以 ‎4.如图，已知三棱锥中，，，平面，为的中点.‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求二面角的大小；‎ ‎(3)在棱上是否存在点，使得？‎ 解答：‎ ‎(1).证明：平面，平面，‎ ‎ 又为等腰直角三角形，为的中点，‎ ‎，平面 平面， 故 ‎(2).在平面内，过点作的平行线 故平面所以两两垂直，‎ 以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系 ‎，，‎ 因为平面，所以为平面的一个法向量，‎ 设为平面的一个法向量，，故 不妨设，则，故 所以，所以二面角的大小为.‎ ‎(3)假设存在点在棱上，则，‎ 即 所以，则，，有，即，‎ 即存在点为的靠近点C的四等分点使得 ‎5. 已知一几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为___ ；‎ 表面积为____.‎ ‎ 参考答案：‎ 概率：‎ ‎1. 在一个盒中放置6张分别标有号码1，2，…，6的卡片,现从盒中随机抽出一张，设卡片编号为a.调整盒中卡片，保留所有号码大于a的卡片，然后第二次从盒中再次抽出一张，则第一次抽出奇数号卡片，第二次抽出偶数号卡片的概率值为.‎ 解：设“第一次抽出奇数号卡片，第二次抽出偶数号卡片”为事件A.则 ‎.‎ 所以第一次抽出奇数号卡片，第二次抽出偶数号卡片的概率为.‎ ‎２.袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．‎ ‎（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；‎ ‎（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差.‎ 解：（Ⅰ）记 “摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A，‎ 摸出一球得白球的概率为，‎ 摸出一球得黑球的概率为， ‎ 所以P（A）＝×＋×＝‎ 答：两球颜色不同的概率是 ‎（Ⅱ）由题知可取0，1，2，依题意得 ‎ 则， ‎ ‎ 答： 摸出白球个数的期望和方差分别是，.‎ 解析几何 ‎1．已知圆C：，若椭圆M以圆心C及（2，0）为左、右焦点，且圆C与椭圆M没有公共点，则椭圆M的离心率的取值范围是.‎ 解： ‎ ‎2. 双曲线E：的左、右顶点分别为A1、A2，点P是线段OA2的中垂线与双曲线E的渐近线的交点（O为双曲线中心），若PA1⊥PA2，则双曲线E的离心率e＝_________. 解：2‎ ‎3. 曲线C是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论：‎ ‎①曲线C关于轴、轴均对称 ‎②曲线C上存在一点,使得 ‎③若点P在曲线C上，则△FPF的面积最大值是1‎ 三角形面积的最大值为 其中所有真命题的序号是3, ‎ 命题意图：‎ 定义一个新曲线，考察学生即时学习的能力，培养学生创新意识。从数（方程）与形（曲线）两个角度认识事物。两种方式有交叉，互为补充，‎ 解答：设曲线C上任意一点坐标为由题意可知：C的方程为 （1） 错误。在此方程中，用分别取代，可知C只关于轴对称，不关于轴对称。‎ （2） 错误。若则 （3） 正确。因为 所有的P点都应该在椭圆D:内（含边界）曲线C与D有唯一公共点A，此时，三角形面积最大。值为1. ‎ 三角形面积的最大值为（错误）‎ 此时需要先考虑以为焦点实半轴为的椭圆E，‎ 其短轴顶点到直线距离为 此时三角形的面积为，‎ 但是曲线C应该在此椭圆内部，所以三角形的面积应小于 ‎4. 设,直线与直线交于点P（x,y）,则点P到直线l：距离的最大值为________‎ 解：直线与直线垂直，并且分别过定点（0,0），（2,4），则点P的轨迹为以（1,2）为圆心，为半径的圆，圆心到直线l的距离为3大于半径，则所求最大值为 ‎5.已知椭圆：，椭圆短轴长为，且椭圆过点，‎ ‎1）求椭圆的方程；2）直线与椭圆相交于点，请问在椭圆上是否存在点，四边形为矩形，若存在，请求出矩形的面积，若不存在，请说明理由。‎ 解：因为2b=2,故b=1‎ 因为 , 故 ‎ ‎ 因为 故 因椭圆过点, 故 ,‎ ‎ 即 , 即 ,,椭圆方程为 ‎2）存在四边形为矩形 ‎①斜率不存在时，显然对角线不等，故不符合题意；‎ ‎②斜率存在时，假设存在四边形为矩形 设直线方程为：‎ ‎ 消去得： ‎ 即： --------①‎ ‎,‎ 四边形为矩形 故, 即 故 ‎ 即 即：‎ 整理得：②‎ 由①②得 ③‎ 又因为四边形为矩形, 故 设 则 所以 因为在椭圆上, ‎ 即 故④‎ 结合②④ 解得 符合题意 ‎, 而到距离：‎ ‎6. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，点、都是抛物线上的点，且点与点关于y轴对称。‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程和焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）圆，过点P作圆C的两条切线，分别与抛物线交于两点(M、N不与点P重合)，若直线与抛物线在点Q处的切线平行，求点的坐标。‎ 解：（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）方法1：设，uy过点P的圆E的切线：‎ 由圆心到切线距离为1，得：。‎ 即。‎ 由题可知：直线均与轴不垂直，故可设直线的斜率分别为，则。（*）‎ 由解得点的横坐标，‎ 同理，点的横坐标。‎ 于是，直线的斜率。‎ 又因为对于抛物线来说，，‎ 故点处切线的斜率为，‎ 所以，由题得。‎ 代入（*）式得：或。‎ 所以，点的坐标为或。‎ ‎７.已知椭圆的左右两个顶点分别为，点是直线上任意一点，直线，分别与椭圆交于不同于两点的点，点. ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率和右焦点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）（i）证明三点共线；‎ ‎（ii）求面积的最大值.‎ 解:（Ⅰ），，所以，。‎ 所以，椭圆的离心率。‎ 右焦点。‎ ‎（Ⅱ）（i），。设，显然。‎ 则，。‎ 由解得 由解得 当时，，三点共线。‎ 当时，，‎ ‎，‎ 所以，，所以，三点共线。‎ 综上，三点共线。‎ ‎（Ⅱ）因为三点共线，所以，△PQB的面积 设，则 因为，且，所以，，且仅当时，，‎ 所以，在上单调递减。‎ 所以，，等号当且仅当，即时取得。‎ 所以，△PQB的面积的最大值为. ‎ 数列：‎ ‎1.已知数列的前项和为，，下列叙述正确的是（ ）‎ A. 当时，数列是等差数列 B. 当时，数列是等比数列 C. 当时， D. 当时，‎ 解：答案为C ‎2. 数列满足，其前n项和为，则 ‎（1） ；‎ ‎（2）————.‎ 解：（1）50；（2）‎ ‎３.已知数列的前项和 若是中的最大值，则实数的取值范围是_____.‎ 答案　　‎ ‎４. 已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，都有成立，求正整数的值.‎ 解: （Ⅰ）设的公差为，则 ‎ 所以，‎ ‎ 故的通项公式为（）.‎ ‎ 设，则为等比数列.‎ ‎，‎ 设的公比为，则，故.‎ 则，即 所以（）‎ 故的通项公式为.‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）由题意，应为数列的最大项.‎ ‎ 由（）‎ 当时，，，即；‎ 当时，，即；‎ 当时，，，即 综上所述,数列中的最大项为和.‎ 故存在或，使，都有成立.‎ 函数与导数： ‎ ‎1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ‎ A． B． C． D．‎ 答案 C ‎2.已知函数，则，，的大小关系为A．　　　　　　　B．‎ C．　　　 　　　 D．‎ 答案Ａ ‎３.已知函数若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是______.‎ 答案 ‎ ‎４. 已知,函数：‎ ‎（Ⅰ）若，判断函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）求函数的最大值.‎ 解：（Ⅰ）若，则，‎ 令，‎ 所以在区间单调递减，且有 所以，函数在区间上单调递增；‎ ‎（Ⅱ）‎ 令 ‎1）当，是函数的极小值点，也是最小值点，因为，‎ 所以函数在区间上单调递增，；‎ ‎2）当，，函数在区间上递减，，‎ 所以函数在区间上单调递增，‎ 当时，函数取得最大值；‎ ‎3）当时，,，‎ 所以函数在区间上递增，‎ 当时，函数取得最大值；‎ 综上所述，当时，函数的最大值为 ‎５. 已知函数：‎ ‎（Ⅰ）若函数的最小值为-1，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且有，求证：. ‎ 解：（Ⅰ）定义域为 R， ‎ 因为，令，得 当变化时，，变化如下表：‎ ‎0‎ ‎ 单调递减 极小值 单调递增 所以是函数极小值点，也是最小值点，‎ 所以，解得；‎ ‎（Ⅱ）由题可知，并且有，‎ ‎，‎ 记，‎ ‎，‎ 当时，，即，‎ 所以在区间上单调递增，‎ 所以有，结论成立.‎ ‎６.　设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若函数的递增区间为，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）证明：，由题意及导数的几何意义得 ‎，　（1）‎ ‎，（2）‎ 又，可得，即，故 由（1）得，代入，再由，得 ‎，（3）‎ 将代入（2）得，即方程有实根．‎ 故其判别式得 ，或，（4）‎ 由（3），（4）得；‎ ‎（Ⅱ）由的判别式，‎ 知方程有两个不等实根，设为，‎ 又由知，为方程（）的一个实根，则由根与系数的关系得 ‎，‎ 当或时，，当时，，‎ 故函数的递增区间为，由题设知，‎ 因此，由（Ⅰ）知得 的取值范围为.‎ ‎７.（仅限理科）已知函数（其中）.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求在上的最大值与最小值.‎ ‎（Ⅰ）解：.‎ 令，解得：.‎ 因为当时，；‎ 当时，，‎ 所以的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎, ‎ 所以在上的最大值为，最小值为.‎ ‎８（仅限理科）已知函数在处有极值. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若直线与函数有交点，求实数的取值范围. ‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以 由，可得 ‎ 经检验时，函数在处取得极值，‎ ‎，‎ 而函数的定义域为，‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ 极小值 由表可知，的单调减区间为，的单调增区间为 ‎（Ⅱ）若，则有，其中，‎ 所以有大于的根，‎ 显然，设 则其对称轴为，根据二次函数的性质知道，‎ 只要 解得或 .‎ ‎９.（仅限理科） 已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）求的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在，，使得，求的取值范围.‎ ‎（Ⅰ）解：‎ ‎① 当时，令，解得 ‎ 的单调递减区间为；单调递增区间为，‎ 当时，令，解得 ，或 ‎② 当时，的单调递减区间为，‎ 单调递增区间为，‎ ‎③ 当时，为常值函数，不存在单调区间 ‎④ 当时，的单调递减区间为，‎ 单调递增区间为，‎ ‎（Ⅱ）解：① 当时，若，‎ 若，，不合题意 ‎② 当时，显然不合题意 ‎③ 当时，取，则 取，则，符合题意 ‎④ 当时，取，则 取，则，符合题意 综上，的取值范围是．‎ 排列组合（理科）：‎ ‎1. 某校高三数学备课组有六位理科老师和两位文科老师，在三天的雾霾停课期间，安排老师坐班答疑，要求每天都有一位文科老师和两位理科老师答疑，其中每位老师至少答疑一天，至多答疑两天，则不同的安排方法有多少种？‎ 解：文科安排：，理科安排：（每人值一天），二者相乘即可。‎ ‎2. 将2,0,1,4四个数字填入图中位置，只允许一个数字重复出现，并且满足以下要求：‎ E A B C D ① 各位置数字之和为偶数；‎ ② 相同数字不可相邻；‎ ③ 中间E处的数字可被其余四个数字之和整除；‎ 则不同的填写方法有多少种？‎ 解：只能1重复，并且填在BD或AC处，2种情况；中间放0，‎ 可以，2种情况，中间放4，可以，2种情况，故8种情况 复数：‎ ‎1. 在复平面内，复数对应的点位于第四象限,则实数的取值范围是__________解：‎ 极坐标系：（理科）‎ ‎2. 在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为______．‎ 解：‎ ‎3.在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为，若以极点为原点，极轴所在直线为轴建立直角坐标系，则C1的直角坐标方程为_____；曲线C2在直角坐标系中的参数方程为（参数），则C2的直角坐标方程为_____；C1.被C2‎ 截得的弦长为___.‎ 解：，, 4. ‎ ‎4.如图，弦平分，切⊙于点，延长弦 交于点，若⊙的半径长为，，则,‎ ‎.‎ 解：, ‎ ‎5.如图，圆与等腰直角三角形的两直角边相切，交斜边于两点，且，则圆的半径等于____.‎ 解：，‎ ‎6. 如图，与圆相切于点，割线与圆交于两点，垂直直径于，且，则等于________.‎ 解：‎