江西师大附中高三年级三模数学（理）试卷
命（审）题人：廖涂凡、张延良 2016.5
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1.已知集合，，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知z是纯虚数，且（i是虚数单位，），则( )
A.1 B. C.2 D.
3.执行如图所示的程序框图，其输出结果是( )
A.61 B.62 C.63 D.64
4.给出下列三个命题：
①“若，则”为假命题；
②若∧为假命题,则,均为假命题；
③命题：，则.其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.等比数列的前n项和为，已知,，则( )
A. B. C.2 D.
6.设，若，，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若的最小正周期为，，则( )
A. 在单调递增 B. 在单调递减
C.在单调递增 D. 在单调递减
8.若x、y满足约束条件且向量，，则的取值范围是( )
A.[,4] B.[,5] C.[,5] D.[,4]
9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得的近似分数为( )
A. B. C. D.
10.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于
( )cm3.
A.6+ B. 6
C. 4+ D.4+
11.已知焦点在x轴上的椭圆方程为，随着a的增大该椭圆的形状( )
A.越接近于圆 B.越扁 C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆
12.已知定义在上的函数和分别满足，，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13.已知向量,，若向量的夹角为，则在方向上的投影是______.
14.已知定义在R上的函数满足，函数关于点对称，则_________.
15.已知，在的展开式中，项的系数为__________.
16.对大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:仿此，若的“分裂”数中有一个是73，则的值为_____________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，,且.
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若等差数列的公差不为零，且，且成等比数列，求的前项和.
18.（本小题满分12分）
如图，已知长方形中，，，M为DC的中点．将沿折起，使得平面⊥平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为．
19.（本小题满分12分）
为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．
（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；
优分
非优分
总计
男生
女生
总计
50
（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？
（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的期望和方差.
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
附：．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）记与的面积分别为和，求的最大值.
21.（本小题满分12分）
已知函数，其中,为自然对数的底数.
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，对任意的，比较与0的大小.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，内接于圆O，是的中点，∠的平分线分别交和圆于点,．
（Ⅰ）求证：是外接圆的切线；
（Ⅱ）若,，求的值．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．
（Ⅰ）写出的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线经伸缩变换后得到曲线，射线（）分别与和交于,两点，求．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知不等式的解集为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设关于的方程（）有解，求实数的值．
江西师大附中高三年级三模数学（理）试卷
命（审）题人：廖涂凡、张延良
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1.已知集合，，则【A】
A. B. C. D.
2.已知z是纯虚数，且（i是虚数单位，），则【D】
A.1 B. C.2 D.
3.执行如图所示的程序框图，其输出结果是( ) 【C】
A.61 B.62 C.63 D.64
4.给出下列三个命题：
①“若，则”为假命题；
②若∧为假命题,则,均为假命题；
③命题：，则.其中正确的个数是【B】
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】（1）∵命题“若，则”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此（1）不正确；（2）错误;（3）根据含量词的命题否定方式，可知命题(3)正确.
5.等比数列的前n项和为，已知,，则【A】
A. B. C.2 D.
【解析】，所以，即，所以.
6.设，若，，则p是q的【B】
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若的最小正周期为，，则【D】
A. 在单调递增 B. 在单调递减
C.在单调递增 D. 在单调递减
【解析】
8.若x、y满足约束条件且向量，，则的取值范围是【C】
A.[,4] B.[,5] C.[,5] D.[,4]
【解析】三角形可行域的顶点是,,,=
的最值必在顶点处取得，所以当时，最小值为；当时，最大值为5，选C.
9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得的近似分数为【C】
A. B. C. D.
【解析】：由调日法运算方法可知，第二次用调日法后得是更为精确的不足近似值，即，故第三次调日法后得到为的近似分数,选C.
10.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于【A】cm3.
A.6+ B. 6
C. 4+ D.4+
【解析】
11.已知焦点在x轴上的椭圆方程为，随着a的增大该椭圆的形状【D】
A.越接近于圆 B.越扁 C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆
【解析】，，由在上的单调性知先递增后递减，从而椭圆先越扁后接近于圆.选D.
12.已知定义在上的函数和分别满足，，则下列不等式成立的是【D】
A. B.
C. D.
【解析】，，，选D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13.已知向量,，若向量的夹角为，则在方向上的投影是______.
【解析】y=，=3.
14.已知定义在R上的函数满足，函数关于点对称，则_________.
【解析】函数的周期为12，把函数的图象向右平移1个单位，得，因此的图象关于对称，为奇函数，.
15.已知，在的展开式中，项的系数为__________.
【解析】根据题意，可以求得，的展开式中，的系数为,故选B.
16.对大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:仿此，若的“分裂”数中有一个是73，则的值为_____________.
【解析】依题意，m增加1，累加的奇数增加1，从到，用从3开始的连续奇数共有，73是从3开始的36个奇数，当时，从3开始连续的奇数共=35，当时，从3开始的连续奇数共=44，故.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，,且.
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若等差数列的公差不为零，且，且成等比数列，求的前项和.
【解析】（Ⅰ）由得，
所以，………………………………3分
,由,得………………………………6分
（Ⅱ）设的公差为d，由(I)得，且,
，又,,…………9分
……………………12分
18.（本小题满分12分）
如图，已知长方形中，，，M为DC的中点．将沿折起，使得平面⊥平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为．
【解析】（Ⅰ）证明：∵长方形ABCD中，AB=，AD=，M为DC的中点，
∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM
∴BM⊥平面ADM ∵AD⊂平面ADM ∴AD⊥BM；
（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，设，
则平面AMD的一个法向量，，
设平面AME的一个法向量为
取y=1，得 所以，
因为，求得，所以E为BD的中点．
19.（本小题满分12分）
为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．
（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；
优分
非优分
总计
男生
女生
总计
50
（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？
（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的期望和方差.
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
附：．
【解析】（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：
优分
非优分
总计
男生
9
21
30
女生
11
9
20
总计
20
30
50
……………………2分
假设：该学科成绩与性别无关，
的观测值，
因为，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．……………………………………………6分
（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率视作概率………………………………8分
设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，人数为，
则服从二项分布，………………………………………………10分
则EX=……………………………12分
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）记与的面积分别为和，求的最大值.
【解析】（Ⅰ）因为为椭圆的焦点，所以，又，
所以，所以椭圆方程为.……………………………………4分
（Ⅱ）当直线无斜率时,直线方程为,此时,,.…5分
当直线斜率存在时，设直线方程为，设，
联立得，消掉得，
显然，方程有根，且.……………………8分
此时
.………………………………10分
因为，上式，（时等号成立），
所以的最大值为.…………………………12分
21.（本小题满分12分）
已知函数，其中,为自然对数的底数.
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，对任意的，比较与0的大小.
【解析】（Ⅰ）当时，，，
，（2分）
∵当时，，∴.（3分）
∴在上为减函数.…………………………4分
（Ⅱ）设，，，
令，，则，
当时，，有，
∴在上是减函数，即在上是减函数，………………6分
又∵，，
∴存在唯一的，使得，
∴当时，，在区间单调递增；
当时，，在区间单调递减，
因此在区间上，………………9分
∵，∴，将其代入上式得
，……10分
令，，则，
即有，，
∵的对称轴，∴函数在区间上是增函数，且，
∴，
即任意，，∴，
因此，…………………………………………12分
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，内接于圆O，是的中点，∠的平分线分别交和圆于点,．
（Ⅰ）求证：是外接圆的切线；
（Ⅱ）若,，求的值．
【分析】本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．
解析：（Ⅰ）设外接圆的圆心为，连结并延长交圆于点，连结，则，．
因为平分∠，所以，所以，……………………2分
所以，
所以，所以是外接圆的切线．…………………………………5分
（Ⅱ）连接，则，所以是圆的直径，
因为，，
所以．……………………7分
因为平分∠，所以∽,
所以，所以,
因为，所以∽，从而，
所以，
所以．…………………………………………10分
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．
（Ⅰ）写出的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线经伸缩变换后得到曲线，射线（）分别与和交于,两点，求．
【解析】（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程为，
即，………………………………………………………………2分
将代入，得，……………………………4分
所以的极坐标方程为．………………………………………………………5分
（Ⅱ）将代入得，所以的方程为．………………7分
的极坐标方程为，．又，
所以……………………10分
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知不等式的解集为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设关于的方程（）有解，求实数的值．
【分析】本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．
【解析】（Ⅰ）由得，或…………2分
解得．依题意．…………………………………………………5分
（Ⅱ）因为，
当且仅当时取等号，………………………………………………7分
因为关于的方程（）有实数根，所以．……8分
另一方面，，所以，……………………………………………9分
所以或．………………………………………………………………10分
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