NCS20160607项目第三次模拟测试卷
数 学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，，则
A． B． C． D．
2．复数（是虚数单位）的共轭复数是
A． B． C． D．
3．函数的定义域为
A. B. C. D.
4．是的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．设函数是周期为6的偶函数，且当时，则
A． B． C． D．
6．设函数，若，则
A． B． C． D．
7．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的
是某零件的三视图，则该几何体的体积是
A． B．
C． D．
8．若动圆的圆心在抛物线上，且与直线y＋3＝0相切，
则此圆恒过定点
A. (0,2) B．(0，－3) C. (0,3) D．(0,6)
9．从1,2,3,4,5,6中任取三个数，则这三个数构成一个等差数列的概率为
A. B. C. D.
10．阅读如右程序框图，运行相应程序，则程序运行后输出的结果
Ａ．97 B. 99 C. 100 D. 101
11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为
，焦距为2c , 直线与双曲线的一个交点M
满足, 则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
12. 已知正△三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为1，点E是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是
A． B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．
13．已知为等差数列，公差为，且是与的等比中项，是的前项和，则 的值为 .
14．已知点A（1，2），点P（）满足， O为坐标原点，则的最大值为 .
15．对大于或等于的自然数的次方可以做如下分解：，，，……，根据上述规律，的分解式中，最大的数是 ．
16．已知椭圆的左、右顶点分别是，，左、右焦点分别是，，若，则离心率的取值范围是____________ ．
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知中，内角A,B,C的对边分别为，且，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求.
18．（本小题满分12分）
某单位有200人，其中100人经常参加体育锻炼,其余人员视为不参加体育锻炼. 在一次体检中，分别对经常参加体育锻炼的人员与不参加体育锻炼的人员进行检查．按照身体健康与非健康人数统计后，构成如下不完整的2×2列联表：
健康
非健康
总计
经常参加体育锻炼
不参加体育锻炼
100
总计
200
已知是展开式中的第三项系数，是展开式中的第四项的二项式系数．
（Ⅰ）求与的值；
（Ⅱ）请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“身体健康与经常参加体育锻炼有关”．
19．（本小题满分12分）
如图，矩形中，，将其沿翻折，使点
到达点的位置，且二面角为直二面角.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设是的中点，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围.
20．（本小题满分13分）
已知两点，，是曲线上一动点，直线斜率的平方差为.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）是曲线上不同的两点，是线段的中点，线段的垂直平分线交曲线于两点，问是否共圆？若共圆，求圆的标准方程；若不共圆，说明理由.
21．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若函数存在单调减区间，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，证明：，总有。
请考生在第22 , 23 , 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分, 作答时请在答题卡中用2B铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙的弦、相交于，过点作⊙的切线与的延长线交于点．，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求⊙的半径．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出直线和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）是曲线上任意一点，求到直线的距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知非零常数、满足，求不等式的解集；
（Ⅱ）若，恒成立，求常数的取值范围．
NCS20160607项目第三次模拟测试卷
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
B
B
D
A
C
A
D
D
C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
17．（本小题满分12分）
解:
…………………………3分
根据余弦定理得：
……………………………7分
（Ⅱ） ，,
,，…………………………………………………… 10分
又， …………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵的展开式通项是， ………1分
∴展开式的第三项是：，
即第三项系数是． …………3分
又∵展开式的第四项的二项式系数为，
∴． …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则
健康
非健康
总计
经常参加体育锻炼
40
60
100
不参加体育锻炼
10
90
100
总计
50
150
200
………………8分
=246.635, …………11分
,
所以按照99%的可靠性要求，能够判断“身体健康与经常参加体育锻炼有关”． ……12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）二面角为直二面角，
平面 ……………2分
平面 …………4分
平面平面 …………6分
（Ⅱ）解法1：如图，以为坐标原点，以长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则
……………7分
则
设平面的法向量为，则，
取，则 ………………………………9分
同理设平面的法向量为 ………………………………10分
………………………………11分
……………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（I）设是曲线上任意一点，
则直线的斜率是，直线的斜率是，………………2分
由已知有，，化简有，
故曲线的方程是.………………4分
（Ⅱ），是抛物线上的点，则，， ，
所以直线的方程是，直线的方程是，………………6分
联立，得，
从而有.………………8分
联立，得，有 ……10分
设的中点为，则，从而有，
故四点共圆且为圆心，故圆的方程是.…………12分
21．（本小题满分12分）
解：（I）由题.
因为函数存在单调减区间，所以方程有解.
而恒成立，所以有解等价于有解，
所以. ………………………………………………………………3分
又，
所以，. …………………………………………………………………………5分
(II)因为，所以，
所以.
而，
又因为，所以.
要证原不等式成立，只需证明
即，在上恒成立.……………………………………7分
记，，
因为，
可见，在时，，即在上是减函数，
在时，，即在上是增函数，
所以,在上， ，所以.
所以，，等号成立当且仅当时………………………………9分
记，， 因为，
可见时，，即在上是减函数，
时，，即在上是增函数，
所以在上，，所以，
所以，，等号成立当且仅当时.………………………………11分
综上所述，，
因为取等条件并不一致，所以，在上恒成立，
所以，总有成立.………………………12分
22．（本小题满分10分）
解（I）PA2＝PC·PD，得PC＝3，.………………1分
所以PD＝12，又EP＝9，所以ED＝3，CE＝6，.………………3分
又AE·EB＝CE·ED，EB＝2.………………5分
（II）作OM⊥AB，PN⊥AB，
设AN＝x，则，
得AN＝2，PN＝.………………7分
△PAN∽△AOM，得：，OA＝＝.………………10分
23．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由消去参数得，……2分
由得……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线：……5分，圆心为，半径为……6分
圆心到直线的距离……8分
到直线的距离的最大值……10分
24．（本小题满分10分）
解：（I）由已知，因为、不为0所以，＝1……………………2分
原不等式相当于｜＋1｜≥1……………………3分
所以，＋1≥1或－2＋1≤－1
解得：……………………5分
（Ⅱ）由已知得，，……………………6分
，
时，恒成立……7分
时，由得，，从而………………8分
时，由得，，从而…………………9分
综上所述，的取值范围为…………………………10分
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