绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
(银川一中第四次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则
A．A∩B=∅ B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B
2．已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．某城市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2548名有车人中有1560名持反对意见，2452名无车人中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否有关系时，用什么方法最有说服力
开始
输入a，b，c
输出a，b，c
结束
A．平均数与方差 B．回归直线方程
C．独立性检验 D．概率
4．已知tan（π﹣α）=﹣2，则
A．﹣3 B．
C．3 D．
5．阅读右边的程序框图，若输入的a、b、c分别是1、2、3，
则输出的a、b、c分别是（ ）
A．3、1、2
B．1、2、3
C．2、1、3
D．3、2、1
6．在△ABC中，sinA=，，则△ABC的面积为
A．3 B． C．6 D．4
7．一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是（0，0，1），（1，0，0），（2，2，0），（2，0，0），画该三棱锥三视图的俯视图时，从轴的正方向向负方向看为正视方向，从轴的正方向向负方向看为俯视方向，以平面为投影面，则得到俯视图可以为
8．已知点P（x，y）是抛物线y2=4x上任意一点，Q是圆C：（x+2）2+（y﹣4）2=1上任意一点，则|PQ|+x的最小值为
A．5 B．4 C．3 D．2
9．已知实数x，y满足，若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为
A．4 B．3 C．2 D．
10．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是
A．
B．
C．
D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在点P，使得c·sin∠PF1F2=a·sin∠PF2F1≠0，则该曲线的离心率e的取值范围是
A．（1，） B．（1，] C．（1，] D． （1，）
12．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），对任意实数x满足，则不等式的解集是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 ．
理科数学试卷 第3页(共6页) 理科数学试卷 第4页(共6页)
14．有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为3，已知球的半径R＝2，则此圆锥的体积为＿＿＿＿.
15．已知三角形ABC中，三边长分别是a，b，c，面积S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则S的最大值是 ．
16．已知，
则 .
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
已知数列是等差数列，且
（1）求{an}的通项公式
（2）若，求数列{bn}的前n项和Sn．
18.（本小题满分12分）
2016年，百年名校银川一中即将迎来110周年校庆。为了了解在校同学们对一中的看法，学校进行了调查，从三个年级任选三个班，同学们对一中的看法情况如下：
对一中的
看 法
非常好，一中奠定了
我一生成长的起点
很好，我的中学很快乐很充实
A班人数
比 例
B班人数
比 例
C班人数
比 例
（1）从这三个班中各选一个同学，求恰好有2人认为一中“非常好”的概率（用比例作为相应概率）；
（2）若在B班按所持态度分层抽样，抽取9人，在这9人中任意选取3人，认为一中“非常好”的人数记为，求的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
N
A
D
M
B
E
C
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60º，AD=2，AM=1，E是AB的中点.
（1）求证：AN∥/平面MEC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P-EC-D
的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，
请说明理由.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C：（a＞b＞0）经过（1，1）与（）两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C
上一点M满足|MA|=|MB|．求证：
为定值．
21．（本小题满分12分）
已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；
（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若x1＞x2＞0，求证：．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，
PC切圆O于点C，直线PQ平分∠APC，分别交AC、
BC于点M、N。
求证：（1）△CMN为等腰三角形；
（2）PB·CM=PC·BN.
23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知三点.
（1）求经过的圆的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（为参数），若圆与圆外切，求实数的值.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，不等式＜4的解集为M。
（1）求M；
（2）若不等式有解，求的取值范围。
银川一中2016届高三第四次模拟考试数学(理科)参考答案
1.C
【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C
2.B
考查复数的相关知识。，实部、虚部均小于0，所以的共轭复数在复平面内对应的点位于第二象限。
3.C
解答： 解：在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，
可得：K2==83.88＞10.828，
故有理由认为性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系，故利用独立性检验的方法最有说服力．故选：C．
4.D
解答： 解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣2，∴tanα=2，
∴====﹣，故选：D．
5.A
6.D
【解答】解：由题意可得•=||•|•cosA=6，
又sinA=，故可得cosA=，故||•|=10，
故△ABC的面积S=||•|•sinA=×10×=4．故选D．
7.D
8.C
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l：x=﹣1
圆C：（x+2）2+（y﹣4）2=1的圆心C（﹣2，4），半径r=1，
由抛物线定义知：点P到直线l：x=﹣1距离d=|PF|，点P到y轴的距离为x=d﹣1，
∴当C、P、F三点共线时，|PQ|+d取最小值，∴（|PQ|+x）min=|FC|﹣r﹣1=5﹣1﹣1=3
故选：C．
9.C
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，
此时z最大，由，解得即A（4﹣m，m），
此时z=2×（4﹣m）+m=8﹣m，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，
此时z最小，由，解得，
即B（m﹣1，m），此时z=2×（m﹣1）+m=3m﹣2，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，
∴8﹣m﹣3m+2=2，即m=2．故选：C．
10.B
解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得0＜A＜1，T=＞2π，
求得0＜ω＜1．再根据f（2π）＜0，结合所给的选项，故选：B．
11.D
解：不妨设P（x，y）在右支曲线上，此时x≥a，由正弦定理得，所以=，
∵双曲线第二定义得：|PF1|=a+ex，|PF2|=ex﹣a，∴=⇒x=≥a，
分子分母同时除以a，得：≥a，∴≥1解得1≤e≤+1，
故答案为：D（1，+1）．
12.C
【解答】解：由题意可得函数g（x）=x2f（x）为R上的奇函数，
∵x2f′（x）＞2xf（﹣x），∴x2f′（x）+2xf（x）＞0，
∴g′（x）=x2f（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0，∴奇函数g（x）=x2f（x）在R上单调递增，
∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）可化为x＜1﹣3x，解得x＜
故选：C
13.
【解答】解：由题意可得所求封闭图形的面积
S=+=x3+（2x﹣x2）=（13﹣03）+（2×2﹣×22）﹣（2×1﹣×12）
=+2﹣= 故答案为：
14.
15.
解：∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即a2﹣b2﹣c2=﹣2bccosA，S△ABC=bcsinA，
∴分别代入已知等式得： bcsinA=2bc﹣2bccosA，即sinA=4﹣4cosA，
代入sin2A+cos2A=1得：cosA=，∴sinA=，∵b+c=8，∴c=8﹣b，
∴S△ABC=bcsinA=bc=b（8﹣b）≤•（）2=，当且仅当b=8﹣b，即b=4时取等号，则△ABC面积S的最大值为．故答案为：．
16.
解：．对等式两边求导得
．继续对此等式两边求导，得
．令得
）
．
17.
【解答】解：（1）由于为等差数列，若设其公差为d，则，
∴，，解得，
于是=2+3（n﹣1），整理得an=．
（2）由（1）得bn=anan+1==，
∴．
18.【解析】（1）记这3位同学恰好有2人认为一中“非常好”的事件为A，则.（5分）
（2）在B班按照相应比例选取9人，则认为一中“非常好”的应该选取6人，认为一中“很好”的应选取3人，则，
且；；
；.
则的分布列为：
0
1
2
3
则的期望值为：（人）.（12分）
19.（I）CM与BN交于F，连接EF．由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．因为E是AB的中点，所以AN∥EF． 又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，
所以AN∥平面MEC．
（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，如图建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），E（，0，0），
C（0，2，0），P（，-1，h），=（，-2，0），=（0，-1，h），
设平面PEC的法向量为=（x，y，z）．则，∴，
令y=h，∴=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），
∴cos＜，＞==，解得h=，
∴在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P-EC-D的大小为．
20.
【分析】（I）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可．
（II）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．
①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．
②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．
【解答】解析（Ⅰ）将（1，1）与（，）两点代入椭圆C的方程，
得解得．
∴椭圆PM2的方程为．
（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．
①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时
=．
同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时
=．
②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），
则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由解得，，
∴=，同理，
所以=2×+=2，
故=2为定值．
21.
【分析】（1）先求出g（x）=ln（x﹣1）﹣x（x＞﹣1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．
（2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围．
（3）本小题等价于．令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0，由此能够证明＞．
【解答】解：（1）∵f（x）=lnx，
∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1，
∴．
当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．
（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，
∴在x＞0上恒成立，进一步转化为，
设h（x）=，则，当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）．要使f（x）≤ax恒成立，必须a．另一方面，当x＞0时，x+，
要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2，∴满足条件的a的取值范围是[，2]．
（3）当x1＞x2＞0时，＞等价于．
令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1则＞0，
∴u（t）在（1，+∞）上单调递增，∴u（t）＞u（1）=0，∴＞．
【点评】本题考查函数最大值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、换元法、等价转化思想的合理运用．
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