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一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）
1.计算：的值为___________．
【答案】
考点：指数对数的运算．
2.参数方程（为参数）化为普通方程为______________．
【答案】
【解析】
试题分析：消去参数可得,故答案为.
考点：参数方程与普通方程的互化．
3.若命题“”为真命题，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
试题分析：因,故，故答案为.
考点：基本不等式的运用．
4.已知二阶矩阵属于特征值的一个特征向量为，则__________．
【答案】
【解析】
试题分析：由特征向量的定义,则,解之得,故,应填.
考点：矩阵的特征值和特征向量．
5.函数的定义域为，函数的定义域为，则_____________．
【答案】
【解析】
试题分析：因,故，应填.
考点：不等式组的解法与集合的运算．
6.现有3个不同的红球，2个相同的黄球排成一排，则共有_________排法（用数字作答）．
【答案】
【解析】
试题分析：由于两个黄球是相同的,因此所有排列种数为，故应填.
考点：排列数的计算．
7.设函数，则满足的的取值范围为__________．
【答案】
考点：分段函数及指数对数不等式．
【易错点晴】本题设置的目的意在考查分类整合思想和解指数对不等式的能力.由于指数不等式和对数不等式都是超越不等式,解答的过程中都借助指数函数与对数函数的单调性进行合理的等价的转化与化归,以达与原不等式等价之目的.如在解不等式时,考虑到底数大于,是递增函数,所以两边取为底的对数进行等价转化,求出的解集,但要注意前提,这也是容易出错的地方之一.
8.的展开式中的系数为____________．
【答案】
考点：二项式定理及通项公式的运用．
9.“函数在其定义域内是减函数”是“”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要不充分”“充要” “既不充分也不必要”）．
【答案】充要
【解析】
试题分析：由函数是减函数可得,由此可得;当时,可得.因此是充充分必要条件,故应填充要.
考点：充分必要条件的判定．
10.如图，用三个不同的元件连接成一个系统，已知每个元件正常工作的概率都是0.8，则此系统正常工作的概率为___________．
【答案】
【解析】
试题分析：由图可知:当正常工作,无论是否正常,整个系统都能正常工作；当不能正常工作,
两个必须都正常工作,整个系统才能正常工作,所以系统正常工作的概率为
.
考点：独立事件的概率及计算．
11.已知是上的奇函数，且，当时，，则____________．
【答案】
【解析】
试题分析：因,故应填答案.
考点：函数的周期性、奇偶性．
【易错点晴】本题设置的目的是考查与检测函数的奇偶性、周期性等基本性质和分析问题解决问题的能力.解答本题的关键是求的值,考虑到不是区间中的数,因此须将其转化到区间上,这里借助的就是这一条件,根据周期函数的定义可知这是一个周期为的周期函数,因此有,到这里注意到,所以还须继续转化,当然这时应借助函数是奇函数这一条件,从而使本题获解.
12.已知函数的解集为，若，则实数的取值范围为__________________．
【答案】
考点：绝对值不等式及解法．
【易错点晴】本题重点考查的分类整合思想和解绝对值不等式的能力.解答本题时,借助,即对任意中的数不等式都成立,所以得到了,即,再利用,并凭借数轴的直观,很容易建立不等式组,最后通过解不等式组,求出实数的取值范围.
13.将边长为4正三角形薄片，用平行于底边的两条直线剪成三块（如图所示），这两条平行线间的距离为，其中间一块是梯形记为，记，则的最小值为___________．
【答案】
考点：基本不等式及运用．
【易错点晴】本题以简单的平面图形为背景考查的是数学建模的意识和思想,检测的是求解最值的思想和方法.解答本题的关键是依据题设条件选取合适的变量建立目标函数,解答中选梯形的上底的长为做变量,然后求出下底的长为
,再解直角三角形求出腰的长为,建立目标函数,进而巧妙地运用基本不等式求出了这个函数的最小值为.
14.对任意实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
考点：不等式恒成立的条件和存在性不等式成立的条件及运用．
【易错点晴】本题设置的不等式恒成立的问题为背景,考查的是运用所学知识分析问题解决问题的能力.解答时先将变量视为主元,由于对任意的实数都成立,借助二次函数的图象列出不等式
,进而将不等式中的参数(包括常数和系数)分离出来,由于题设中是存在实数
,因此在解答时,应求函数的最大值,这一点很容易出错哦.
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知命题“函数在上有零点”．命题“函数在
上单调递增”．
（1）若为真命题，则实数的取值范围；
（2）若为真命题，则实数的取值范围．
【答案】(1)；（2）.
【解析】
试题分析：(1)运用等价转化的方法将问题进行转化与化归；(2)借助题设条件将复合命题分类转化进行求解.
试题解析:
（1）为真命题：因为函数在上有零点，
所以有解，
所以有解，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）因为函数在上单调递增，
所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
因为，所以均为真，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
考点：命题及复合命题的真假的运用．
16.已知矩阵（为实数）．
（1）若矩阵存在逆矩阵，求实数的取值范围；
（2）若直线在矩阵对应的变换作用下变为直线，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，求．
【答案】(1)；(2)；(3).
（3）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
考点：矩阵与变换的有关知识及运用．
17.在极坐标系中，圆与圆关于直线对称．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）为圆上任意一点，求（其中为极点）的取值范围．
【答案】(1) ；(2).
考点：直角坐标与极坐标的互化及运用．
【易错点晴】极坐标与参数方程是苏教版的选修教材之一，也是高考必考的内容之一．这类问题一般都不是太难，解答这类问题的思路都是将其等价地合理的转化为平面直角坐标的问题进行处理,体现了数学中化归与转化的数学思想和方法的运用.极坐标与直角坐标的互化公式是,这是解答极坐标问题中变换的依据.参数方程与直角坐标的互化是消去参数(代入法和加减法等).本题中的第二问是参数方程的利用.本题设置的目的考查的是运用所学知识分析问题解决问题的能力.
18.江苏高考新方案采用“3+3”模式，语数外三门必考，然后在物理、化学、生物、历史、政治、地理六门学科中任选三六进行测试，现有甲、乙、丙三人进行模拟选择：甲的物理非常优秀，所以甲必要选择物理，其余两门随机选择；乙的政治比较薄弱，所以乙一定不选政治，其余随机选择；丙的各门成绩比较平均，所以丙随机选择三门．
（1）则甲、乙、丙三人分别有多少种选择方法；
（2）三人中恰有2人选择物理的概率；
（3）随机变量表示三人中选择物理的人数，写出的概率分布及数学期望．
【答案】(1) 甲：，乙：，丙：；(2)；(3)概率分布见解析，.
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
答：期望为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分
考点：组合数公式概率公式及随机变量的分布列和数学期望公式．
19.已知函数．
（1）若在上的最小值为1，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式；
（3）若关于的方程无实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)当时，，当或时，；(3).
考点：函数的最值、不等式的解法、导数的运用及灵活运用所学知识分析问题解决问题的能
力．
20.已知．
（1）求及的值；
（2）比较与的大小，并说明理由；
（3）求的值．
【答案】(1) ，；(2) ；(3).
【解析】
试题分析：(1)运用赋值法求解；(2)借助题设条件和数学归纳法进行分类推证；(3)借用组合数的性质求解.
试题解析:
（1）令，则 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
令，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）令，则由计算得．．．．．．．．．．．（6分）
下证，，
考点：赋值法、数学归纳法和组合数的性质等有关知识和方法的运用．
【易错点晴】本题是一道将二项式定理与数列知识有机整合的综合问题,考查的是赋值法、验证法、简单枚举法等简单数学思想方法.同时也检测数学归纳法在证明与自然数有关的问题中运用,应用数学归纳法时一定要严格按照数学归纳法证明的步骤进行.也就是说先验证特殊情况的成立，再在此基础上假设时成立,想方设法证明也成立,叙述的格式与语言都要注意符合格式.
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