河南省新乡市2015-2016学年高二下学期期末数学试卷（文科） Word版（含解析）.doc

www.ks5u.com ‎2015-2016学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每题5分）‎ ‎1．直线﹣y+a=0（a为常数）的斜率为（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎2．复数=（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（　　）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎4．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设集合M={x|x＜2011}，N={x|0＜x＜1}，则下列关系中正确的是（　　）‎ A．M∪N=R B．M∩N=∅ C．N∈N D．M∩N={x|0＜x＜1}‎ ‎6．已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．双曲线的顶点到渐近线的距离等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数f（x）=sin（2x+θ），其中0＜θ＜2π，若x=是函数的一条对称轴，且f（）＞f（π），则θ等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ 其中，真命题是（　　）‎ A．①④ B．②③ C．①③ D．②④‎ ‎10．4cos50°﹣tan40°=（　　）‎ A． B． C． D．2﹣1‎ ‎11．对具有线性相关关系的变量x，y测得一组数据如下表：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ 根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为（　　）‎ A．210 B．211.5 C．212 D．212.5‎ ‎12．函数y=f（x）的最小正周期为2，且f（﹣x）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=﹣x+1，那么在区间[﹣3，4]上，函数y=f（x）的图象与函数的图象的交点个数是（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分）‎ ‎13．设等比数列{an}的公比，前n项和为Sn，则=　　　　　　．‎ ‎14．已知不等式组表示的平面区域为S，点P（x，y）∈S，则z=2x+y的最大值为　　　　　　．‎ ‎15．如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是　　　　　　．‎ ‎16．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn；‎ ‎（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求分数在[120，130）内的频率；‎ ‎（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；‎ ‎（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．‎ ‎19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC、AD的中点 ‎（1）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值；‎ ‎（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求四棱锥P﹣ABCD全面积．‎ ‎20．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）设函数g（x）=f（x）﹣2x+2，求g（x）在其定义域上的最值．‎ ‎21．已知椭圆C1过点（﹣2，0），（，），抛物线C2的焦点在x轴上，过点（3，﹣2）‎ ‎（1）求C1、C2的标准方程；‎ ‎（2）请问是否存在直线l满足条件：①过点C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1几何证明选讲]|‎ ‎22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．‎ ‎（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；‎ ‎（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4坐标系与参数方程]|‎ ‎23．已知曲线C1：（α为参数）与曲线C2：ρ=4sinθ ‎（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线C1和C2公共弦的长度．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5不等式选讲]|‎ ‎24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．‎ ‎　‎ ‎2015-2016学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题5分）‎ ‎1．直线﹣y+a=0（a为常数）的斜率为（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】根据题意，由直线的方程可得y=x+a，即可求出直线的斜率．‎ ‎【解答】解：根据题意，直线﹣y+a=0可以变形为y=x+a，‎ 其斜率k=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．复数=（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：复数=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（　　）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．‎ ‎【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．‎ 所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．‎ 故：B．‎ ‎　‎ ‎4．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，‎ ‎∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，‎ ‎∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴A=．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．设集合M={x|x＜2011}，N={x|0＜x＜1}，则下列关系中正确的是（　　）‎ A．M∪N=R B．M∩N=∅ C．N∈N D．M∩N={x|0＜x＜1}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】根据集合M和集合N之间的关系，然后根据交集，并集的定义进行求解，最后进行判定即可．‎ ‎【解答】解：∵M={x|x＜2011}，N={x|0＜x＜1}，‎ ‎∴N⊆M，M∩N={x|0＜x＜1}，M∪N={x|x＜2011}，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】由已知中平面向量，满足，与的夹角为60°，分别判断“m=1”⇒“”与“”⇒“m=1”的真假，根据充要条件的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵向量，满足，与的夹角为60°，‎ ‎∴=1， •=1‎ 当m=1时， ==﹣•=0‎ 故 当时，﹣m•=1﹣m=0，‎ 故m=1‎ 故“m=1”是“”的充要条件 故选C ‎　‎ ‎7．双曲线的顶点到渐近线的距离等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．‎ ‎【解答】解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，‎ 则顶点到渐近线的距离d=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数f（x）=sin（2x+θ），其中0＜θ＜2π，若x=是函数的一条对称轴，且f（）＞f（π），则θ等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】由x=是函数的一条对称轴，可得θ=kπ+；再根据f（）＞f（π），可得sinθ＜0，从而求得θ的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得，2×+θ=kπ+，k∈Z，即θ=kπ+，‎ 再根据f（）=sin（π+θ）=﹣sinθ＞f（π）=sin（2π+θ）=sinθ，可得 sinθ＜0，‎ 故θ=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ 其中，真命题是（　　）‎ A．①④ B．②③ C．①③ D．②④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．‎ ‎【解答】解：‎ 对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确 对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确 对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，‎ 根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确 对应④m有可能在平面α内，故不正确，‎ 故选C ‎　‎ ‎10．4cos50°﹣tan40°=（　　）‎ A． B． C． D．2﹣1‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用；二倍角的正弦．‎ ‎【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．‎ ‎【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=‎ ‎==‎ ‎===．‎ 故选C ‎　‎ ‎11．对具有线性相关关系的变量x，y测得一组数据如下表：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ 根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为（　　）‎ A．210 B．211.5 C．212 D．212.5‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】求出样本中心，然后确定回归直线方程，即可求解预测当x=20时，y的估计值．‎ ‎【解答】解：由题意可知： ==5，‎ ‎==54．‎ 因为回归直线方程经过样本中心，所以54=10.5×5+， =1.5，‎ 回归直线方程为： =10.5x+1.5，‎ 当x=20时，y的估计值为：10.5×20+1.5=211.5．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．函数y=f（x）的最小正周期为2，且f（﹣x）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=﹣x+1，那么在区间[﹣3，4]上，函数y=f（x）的图象与函数的图象的交点个数是（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【考点】函数的周期性；指数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】本题只要由函数的性质，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，即可的答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知，函数y=f（x）周期为2，且为偶函数，函数为偶函数，在同一个坐标系中作出它们的图象，可得交点个数为6，‎ 故选C ‎　‎ 二、填空题（每题5分）‎ ‎13．设等比数列{an}的公比，前n项和为Sn，则=　15　．‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】先通过等比数列的求和公式，表示出S4，得知a4=a1q3，进而把a1和q代入约分化简可得到答案．‎ ‎【解答】解：对于，∴‎ ‎　‎ ‎14．已知不等式组表示的平面区域为S，点P（x，y）∈S，则z=2x+y的最大值为　6　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 由z=2x+y得y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，‎ 此时z最大．‎ 由，解得，即A（2，2），‎ 代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6．‎ 即目标函数z=2x+y的最大值为6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎15．如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是　（﹣∞，﹣1]∪[，]　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由程序框图得出函数y=f（x）的解析式，并根据其单调性求出相应的自变量x的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：由程序框图可知：f（x）=，‎ ‎∵输出的函数值在区间[﹣2，]内，‎ ‎∴必有当x≤0时，0＜2x≤；‎ 当x＞0时，﹣2≤log2x≤．‎ 解得x≤﹣1或≤x≤．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[，]．‎ ‎　‎ ‎16．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是　16π　．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，‎ 三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC，侧棱长是2，‎ 三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接球的半径，‎ ‎∵△ABC是边长为3的等边三角形，MN=2，‎ ‎∴AM=，OM=1，‎ ‎∴这个球的半径r==2，‎ ‎∴这个球的表面积S=4π×22=16π，‎ 故答案为：16π．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn；‎ ‎（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（I）设等差数列{an}的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得，解出利用等差数列的前n项和公式即可得出；‎ ‎（Ⅱ）bn===，利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，‎ ‎∴，解得a1=3，d=2．‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．‎ ‎∴数列{an}的前n项和Sn==n2+2n．‎ ‎（Ⅱ）bn===，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=++…+==．‎ ‎　‎ ‎18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求分数在[120，130）内的频率；‎ ‎（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；‎ ‎（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．‎ ‎【考点】频率分布直方图；分层抽样方法．‎ ‎【分析】（1）根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1，求出分数在[120，130）内的频率；‎ ‎（2）由频率分布直方图计算出平均分；‎ ‎（3）计算出[110，120）与[120，130）分数段的人数，用分层抽样的方法在各分数段内抽取的人数组成样本，‎ 求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”概率即可．‎ ‎【解答】解：（1）分数在[120，130）内的频率为 ‎1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；‎ ‎（2）估计平均分为 ‎=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121；‎ ‎（3）依题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人），‎ ‎[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）；‎ ‎∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，‎ ‎∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；‎ 在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；‎ 设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，‎ 则基本事件有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种；‎ 则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种；‎ ‎∴P（A）==．‎ ‎　‎ ‎19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC、AD的中点 ‎（1）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值；‎ ‎（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求四棱锥P﹣ABCD全面积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）根据一对对边平行且相等，得到一个四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行，把两条异面直线所成的角表示出来，放到△PBF中，利用余弦定理求出角的余弦值．‎ ‎（2）利用四棱锥P﹣ABCD的体积为，求出PD，求出PA=PC=2，即可求出四棱锥P﹣ABCD全面积．‎ ‎【解答】解：（1）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形 ‎∴DF∥BE且DF=BE ‎∴DFBE为平行四边形 ‎∴DE∥BF ‎∴∠PBF是PB与DE的所成角 ‎△PBF中，BF=，PF=，PB=3，‎ ‎∴cos∠PBF=，‎ ‎∴异面直线PB和DE所成角的余弦值为；‎ ‎（2）设PD=a，则 ‎∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，‎ ‎∴=，‎ ‎∴a=2，‎ ‎∵PD⊥AB，AD⊥AB，PD∩AD=D，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，‎ ‎∴AB⊥PA，‎ 同理BC⊥PC，‎ 从而PA=PC=2，‎ ‎∴四棱锥P﹣ABCD全面积S=2×=8+4．‎ ‎　‎ ‎20．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）设函数g（x）=f（x）﹣2x+2，求g（x）在其定义域上的最值．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；‎ ‎（2）求得f（x），g（x）的解析式，求出导数，求得单调区间和极值、最值 ‎【解答】解：（1）f（x）=x+ax2+blnx的导数f′（x）=1+2a+（x＞0），‎ 由题意可得f（1）=1+a=0，f′（1）=1+2a+b=2，‎ 得；‎ ‎（2）证明：f（x）=x﹣x2+3lnx，g（x）=f（x）﹣2x+2=3lnx﹣x2﹣x+2（x＞0），g′（x）=﹣2x﹣1=﹣，‎ x ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ g′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ g（x）‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，‎ 可得g（x）max=g（1）=﹣1﹣1+2=0，无最小值．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C1过点（﹣2，0），（，），抛物线C2的焦点在x轴上，过点（3，﹣2）‎ ‎（1）求C1、C2的标准方程；‎ ‎（2）请问是否存在直线l满足条件：①过点C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则点（3，﹣2）代入，可得p=2；设椭圆方程为mx2+ny2=1，利用椭圆C1过点（﹣2，0），（，），求出m，n，可得椭圆方程．‎ ‎（2）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），由y=k（x﹣1）代入椭圆方程消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，再由韦达定理能够导出存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则点（3，﹣2）代入，可得p=2，‎ ‎∴C2：y2=4x；‎ 设椭圆方程为mx2+ny2=1，‎ ‎∵椭圆C1过点（﹣2，0），（，），‎ ‎∴4m=1，2m+n=1，‎ ‎∴m=，n=1，‎ ‎∴椭圆方程为x2+y2=1；‎ ‎（2）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；‎ 当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），‎ 设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）‎ 由y=k（x﹣1）代入椭圆方程，消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，‎ 于是x1+x2=，x1x2=‎ y1y2=k（x1﹣1）×k（x1﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣②‎ 由，得x1x2+y1y2=0（*），‎ 将①、②代入（*）式，得﹣=0‎ 解得k=±2；‎ 所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1几何证明选讲]|‎ ‎22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．‎ ‎（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；‎ ‎（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．‎ ‎【分析】（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得证．‎ ‎（2）由（1）中的所证条件∠ABE=∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．‎ ‎【解答】解：（1）BE平分∠ABC，理由如下：‎ 证明：∵AC=CD，‎ ‎∴∠CAD=∠ADC，‎ ‎∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD，‎ ‎∵∠CAD=∠EBC，‎ ‎∴∠ABC=2∠EBC，‎ ‎∴BE平分∠ABC；…‎ ‎（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC，‎ ‎∴E是弧AC的中点，‎ ‎∴AE=EC=6，‎ 又∠EBC=∠CAD=∠ADC，‎ ‎∴ED=BD=8…‎ ‎∵A、B、C、E四点共圆，‎ ‎∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF ‎∴△AEF∽△DEC ‎∴，‎ ‎∴EF==…‎ ‎　‎ ‎[选修4-4坐标系与参数方程]|‎ ‎23．已知曲线C1：（α为参数）与曲线C2：ρ=4sinθ ‎（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线C1和C2公共弦的长度．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）利用sin2θ+cos2θ=1消参数得到C1的普通方程，对ρ=4sinθ两边同乘以ρ即可得到曲线C2的普通方程；‎ ‎（2）曲线C1和C2公共弦所在额直线为2x﹣4y+3=0，求出圆心距，即可求出公共弦长．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的普通方程围为（x﹣1）2+y2=4，‎ 曲线C2的直角坐标方程x2+y2﹣4y=0，‎ ‎（2）曲线C1和C2公共弦所在额直线为2x﹣4y+3=0，‎ 且点C1（1，0）到直线2x﹣4y+3=0的距离为=，‎ 所以公共弦的长度为2=．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5不等式选讲]|‎ ‎24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．‎ ‎【考点】不等式的证明；带绝对值的函数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；‎ ‎（Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）2﹣（4+ab）2＜0，即可得到结论．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=‎ 当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；‎ 当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；‎ 当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．‎ 所以M=（﹣2，2）．…‎ ‎（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，‎ ‎∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，‎ ‎∴4（a+b）2＜（4+ab）2，‎ ‎∴2|a+b|＜|4+ab|．…‎ ‎　‎ ‎2016年8月9日