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2015-2016学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合A={x|lnx≥0}，B={x|x2＜16}，则A∩B=（ ）
A．（1，4） B．[1，4） C．[1，+∞） D．[e，4）
2．复数（）2=（ ）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
3．函数f（x）=sinx的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ）
A． B． C．3π D．
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．∃x0∈R，e≤0
B．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1
C．∀x∈R，2x＞x2
D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
5．现有2个男生.3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
6．已知向量=（1，x），=（1，x﹣1），若（﹣2）⊥，则|﹣2|=（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y= C．y=±x D．y=
8．在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，D在边BC上，且CD=2DB，则AD=（ ）
A． B． C．5 D．
9．某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），…若程序运行中输出的一个数组是（x，﹣10），则数组中的x=（ ）
A．32 B．24 C．18 D．16
10．如图1，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，动点M，N，Q分别在线段AD1，B1C，C1D1上，当三棱锥Q﹣BMN的俯视图如图2所示，三棱锥Q﹣BMN正视图的面积等于（ ）
A． B． a2 C． D． a2
11．已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C．[﹣1，3] D．（﹣∞，3]
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p= ．
14．点M（x，y）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x﹣y+m≥0总成立，则m的取值范围是 ．
15．若三棱锥P﹣ABC的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 ．
16．设a=（sinx﹣1+2cos2）dx，则（a﹣）6的展开式中常数项是 ．
三、解答题：本大题共8个小题，共70分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．若数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1（n∈N*），等差数列{bn}满足b1=3a1，b3=S2+3．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设cn=，求数列{cn}的前n项和为Tn．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（1）证明：PB⊥CD；
（2）求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．
19．2013年12月21日上午10时，省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
[65，75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；
（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
20．如图，已知抛物线C1：y2=4x的焦点为F，椭圆C2的中心在原点，F为其右焦点，点M为曲线C1和C2在第一象限的交点，且||=．
（1）求椭圆C2的标准方程；
（2）设A，B为抛物线C1上的两个动点，且使得线段AB的中点D在直线y=x上，P（3，2）为定点，求△PAB面积的最大值．
21．已知函数f（x）=exlnx+．
（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）证明：f（x）＞1．
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．选修4﹣1：几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．
（1）求证：CE•EB=EF•EP；
（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．
[选修4-4；坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l的参数方程为，其中t为参数，求直线l被曲线C截得的弦长．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x|+|x﹣1|，g（x）=﹣|x﹣4|+m．
（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+1﹣m＞0；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．
2015-2016学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合A={x|lnx≥0}，B={x|x2＜16}，则A∩B=（ ）
A．（1，4） B．[1，4） C．[1，+∞） D．[e，4）
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即A=[1，+∞）；
由B中的不等式解得：﹣4＜x＜4，即B=（﹣4，4），
则A∩B=[1，4）．
故选：B．
2．复数（）2=（ ）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．
【解答】解：（）2=[]2=（1﹣2i）2=﹣3﹣4i．
故选A．
3．函数f（x）=sinx的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ）
A． B． C．3π D．
【考点】正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦函数的图象的对称性和周期性，求得图象中相邻的两条对称轴间距离．
【解答】解：函数解析式化简得，函数的周期为，
由正弦函数图象可知，相邻的两条对称轴间距离为半个周期，则，
故选：A．
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．∃x0∈R，e≤0
B．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1
C．∀x∈R，2x＞x2
D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A．根据指数函数的性质进行判断，
B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断，
C．当x=2时，不等式不成立，
D．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：A．∀x∈R，ex＞0，则∃x0∈R，e≤0为假命题．
B．当a=b=0时，满足a+b=0但=﹣1不成立，故B错误，
C．当x=2时，2x=x2，则2x＞x2为假命题．
D．若a＞1，b＞1则ab＞1成立，即a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件成立，故D正确
故选：D
5．现有2个男生.3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
【考点】计数原理的应用．
【分析】分三步，先排男生，再排女生，最后排老师，根据分步计数原理可得．
【解答】解：第一步：先排2名男生有A22=2种，
第二步：排女生，3名女生全排形成了4个空，
第三步，将这1个老师插入3名女生形成的2空（不含3名女生两端的空）中，
根据分步计数原理可得，共有A22A33A21=24种，
故选：B．
6．已知向量=（1，x），=（1，x﹣1），若（﹣2）⊥，则|﹣2|=（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】向量的坐标运算和向量的数量积求出x的值，再根据向量的模计算即可．
【解答】解：∵向量=（1，x），=（1，x﹣1），
∴﹣2=（1，x）﹣2（1，x﹣1）=（﹣1，2﹣x），
∵（﹣2）⊥，
∴（﹣2）•=0，
即﹣1+x（2﹣x）=0，
解得x=1，
∴﹣2=（﹣1，1），
∴|﹣2|==，
故选：A．
7．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y= C．y=±x D．y=
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．
【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），
则离心率e===，即4b2=a2，
故渐近线方程为y=±x=x，
故选：D．
8．在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，D在边BC上，且CD=2DB，则AD=（ ）
A． B． C．5 D．
【考点】余弦定理．
【分析】在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，进而确定出BD与CD的长，再三角形ABD与三角形ACD中分别利用余弦定理表示出cos∠ADB与cos∠ADC，根据两值互为相反数求出AD的长即可．
【解答】解：在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，
利用余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC=27+9﹣27=9，即BC=3，
∴BD=1，CD=2，
在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB=，
在△ADC中，由余弦定理得：cos∠ADC=，
∴cos∠ADB=﹣cos∠ADC，即=﹣，
解得：AD=（负值舍去），
故选：A．
9．某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），…若程序运行中输出的一个数组是（x，﹣10），则数组中的x=（ ）
A．32 B．24 C．18 D．16
【考点】程序框图．
【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是依次输出的（x，y）值，其中每一组有序实数对中，x是每次变为原来的2倍，y每次减小2，依次写出每次循环输出的数组，即可得解．
【解答】解：模拟程序的运行过程，可得：
运行第一次，输出（1，0），n=3，x=2，y=﹣2；
运行第二次，输出（2，﹣2），n=5，x=4，y=﹣4；
运行第三次，输出（4，﹣4），n=7，x=8，y=﹣6；
运行第四次，输出（8，﹣6），n=9，x=16，y=﹣8；
运行第五次，输出（16，﹣8），n=11，x=32，y=﹣10；
运行第六次，输出（32，﹣10），n=13，x=64，y=﹣12．
故选：A．
10．如图1，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，动点M，N，Q分别在线段AD1，B1C，C1D1上，当三棱锥Q﹣BMN的俯视图如图2所示，三棱锥Q﹣BMN正视图的面积等于（ ）
A． B． a2 C． D． a2
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】由三棱锥Q﹣BMN的俯视图可得Q在D1，N在C，所以三棱锥Q﹣BMN正视图为△D1EC（E为D1D的中点），即可求出三棱锥Q﹣BMN正视图的面积．
【解答】解：由三棱锥Q﹣BMN的俯视图可得Q在D1，N在C，
所以三棱锥Q﹣BMN正视图为△D1EC（E为D1D的中点），
其面积为=．
故选：B．
11．已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
【分析】由题意可得区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=sin（2ωx+）+，再根据2016π≥•，求得ω的最小值．
【解答】解：由题意可得，f（x0）是函数f（x）的最小值，f（x0+2016π）是函数f（x）的最大值．
显然要使结论成立，只需保证区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可．
又f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）=sin2ωx+=sin（2ωx+）+，
故2016π≥•，求得ω≥，
故则ω的最小值为，
故选：D．
12．已知函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C．[﹣1，3] D．（﹣∞，3]
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【分析】根据函数f（x）的图象，得出值域为[﹣2，6]，利用存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，得出2g（a）的值域满足﹣2≤2a2﹣4a≤6，即可．
【解答】解：∵g（x）=x2﹣2x，设a为实数，
∴2g（a）=2a2﹣4a，a∈R，
∵y=2a2﹣4a，a∈R，
∴当a=1时，y最小值=﹣2，
∵函数f（x）=，
f（﹣7）=6，f（e﹣2）=﹣2，
∴值域为[﹣2，6]
∵存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，
∴﹣2≤2a2﹣4a≤6，
即﹣1≤a≤3，
故选；C
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p= 2 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．
【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，
∴=，∴p=2，
故答案为：2．
14．点M（x，y）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x﹣y+m≥0总成立，则m的取值范围是 m≥3 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：若2x﹣y+m≥0总成立⇔m≥y﹣2x总成立即可，
设z=y﹣2x，即求出z的最大值即可，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=y﹣2x得y=2x+z，
平移直线y=2x+z，由图象可知当直线经过点C（0，3）时，直线的截距最大，此时z最大，
此时z=3﹣0=3，
∴m≥3，
故答案为：m≥3
15．若三棱锥P﹣ABC的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据已知可得三棱锥的外接球的直径为2，进而求出球半径，代入球的体积公式，可得答案．
【解答】解：若三棱锥P﹣ABC的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，
将此三棱锥的外接球的直径为2，
故此三棱锥的外接球的半径为1，
故此三棱锥的外接球的体积V=，
故答案为：．
16．设a=（sinx﹣1+2cos2）dx，则（a﹣）6的展开式中常数项是 ﹣1280 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项式定理可知（a﹣）6的展开式中通项公式Tk，进而可确定展开式中常数项为T3，利用微积分基本定理化简可知a=2，代入计算即可．
【解答】解：（a﹣）6的展开式中通项公式Tk==（﹣1）ka6x3﹣k，
令x3﹣k=1，解得k=3，即展开式中常数项为T3=﹣20a6，
又∵a=（sinx﹣1+2cos2）dx
=（sinx+cosx）dx
=sinx﹣cosx
=2，
∴T3=﹣20×26=﹣1280，
故答案为：﹣1280．
三、解答题：本大题共8个小题，共70分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．若数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1（n∈N*），等差数列{bn}满足b1=3a1，b3=S2+3．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设cn=，求数列{cn}的前n项和为Tn．
【考点】数列的求和；等差数列的性质．
【分析】（1）由数列递推式求出a1，在数列递推式中取n=n﹣1得另一递推式，作差后得到数列{an}为等比数列，则数列{an}的通项公式可求，再由b1=3a1，b3=S2+3求出数列{bn}的首项和公差，则{bn}的通项公式可求；
（2）把数列{an}、{bn}的通项公式代入cn=，直接由错位相减法求数列{cn}的前n项和为Tn．
【解答】解：（1）当n=1时，2S1=3a1﹣1，∴a1=1，
当n≥2时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=（3an﹣1）﹣（3an﹣1﹣1），即an=3an﹣1，
∵a1=1≠0，
∴数列{an}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列，∴，
设{bn}的公差为d，b1=3a1=3，b3=S2+3=7=2d+3，d=2．
∴bn=3+（n﹣1）×2=2n+1；
（2）∵cn==，
∴ ①
②
由①﹣②得，
=．
∴．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（1）证明：PB⊥CD；
（2）求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）取BC的中点E，连接DE，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OE，OD，推出OE⊥PB，证明OE∥CD，得到PB⊥CD．
（2）由OE，OB，OP两两垂直．以O为原点，OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，
建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出相关点的坐标，求出平面PAD的法向量，平面PBD的法向量为，利用空间向量的数量积求解即可．
【解答】解：（1）证明：取BC的中点E，连接DE，则ADEB为正方形，
过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，
连接OA，OB，OE，OD，…
由△PAB和△PAD都是等边三角形可知PA=PB=PD，
所以OA=OB=OD，
即点O为正方形ADEB对角线的交点…
故OE⊥BD，从而OE⊥平面PBD，所以OE⊥PB，
因为O是BD的中点，E是BC的中点，
所以OE∥CD，因此PB⊥CD…
（2）由（1）可知，OE，OB，OP两两垂直．
以O为原点，OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，
建立如图所示的直角坐标系O﹣xyz，…
设|AB|=2，则，，，，，…
设平面PAD的法向量，，，
取x=1，得y=1，z=﹣1，即，…
因为OE⊥平面PBD，设平面PBD的法向量为，取，
由图象可知二面角A﹣PD﹣B的大小为锐角，…
所以二面角A﹣PD﹣B的余弦值为…
19．2013年12月21日上午10时，省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
[65，75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；
（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（I）利用频率分布表，根据频率=求得各组的频率，再根据小矩形的高=求得小矩形的高，画出频率分布直方图；
（II）先确定ξ的所有可能取值为：0，1，2，3．利用排列组合知识求ξ的各个可能值的概率，画出分布列，根据Eξ=求得期望．
【解答】解：（Ⅰ）根据频率=得各组的频率分别是：0.1；0.2；0.3；0.2；0.1；0.1．
由组距为10，可得小矩形的高分别为0.01；0.02；0.03；0.02；0.01；0.01．
由此得频率分布直方图如图：
（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为：0，1，2，3．
P（ξ=0）=•=；
P（ξ=1）=•+•=；
P（ξ=2）=•+•=；
P（ξ=3）=•=．
∴ξ的分布列是：
ξ
0
1
2
3
P
ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×==．
20．如图，已知抛物线C1：y2=4x的焦点为F，椭圆C2的中心在原点，F为其右焦点，点M为曲线C1和C2在第一象限的交点，且||=．
（1）求椭圆C2的标准方程；
（2）设A，B为抛物线C1上的两个动点，且使得线段AB的中点D在直线y=x上，P（3，2）为定点，求△PAB面积的最大值．
【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．
【分析】（1）设出椭圆C2的标准方程，根据题意求出c、a和b2的值，即得椭圆的标准方程；
（2）设出点D（m，m），A（x1，y1），B（x2，y2），由题意求出直线AB的斜率与方程，与抛物线方程联立成方程组，消去x，求出|AB|及点P到直线AB的距离d，写出S△PAB的表达式，求出它的最小值即可．
【解答】解：（1）设椭圆C2的方程为+=1（a＞b＞0），半焦距为c；
由已知，点F（1，0），则c=1；…
设点M（x0，y0），（x0、y0＞0），
根据抛物线的定义，得|MF|=x0+1；
由已知，x0+1=，则x0=；从而y0==，
所以点M（，）；…
设点E为椭圆的左焦点，则E（﹣1，0），|ME|==；
根据椭圆的定义，得2a=|ME|+|MF|=+=6，则a=3；…
从而b2=a2﹣c2=8，
所以椭圆C2的标准方程是+=1；…
（2）设点D（m，m），A（x1，y1），B（x2，y2），
则=4x1①，=4x2②，
两式相减，得﹣=4（x1﹣x2），
即=；
因为D为线段AB的中点，则y1+y2=2m，
所以直线AB的斜率为k===，
从而直线AB的方程为y﹣m=（x﹣m），即2x﹣my+m2﹣2m=0；
联立方程组，
消去x得y2﹣2my+2m2﹣4m=0，则y1y2=2m2﹣4m；
所以|AB|=|y1﹣y2|=•=•；
设点P到直线AB的距离为d，则d=；
所以S△PAB=|AB|d=•|6﹣4m+m2|；
由4m﹣m2＞0，得0＜m＜4，
令=t，则S△PAB==3t﹣t3（0＜t≤2）；
设f（t）=3t﹣t3（0＜t≤2），则f′（t）=3﹣t2，
由f′（t）＞0，得0＜t＜，
则f（t）在（0，）上是单调增函数，在（，2上是单调减函数，
所以f（t）min=2，即△PAB面积的最大值是2．
21．已知函数f（x）=exlnx+．
（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）证明：f（x）＞1．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f′（1）=e，进一步求得f（1）=2，则函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程可求；
（2）函数f（x）=exlnx+﹣1的定义域为（0，+∞），由（1）得到函数在定义域内的最小值为1，则答案得证．
【解答】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），…
由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，
故曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=e（x﹣1）+2； …
（2）证明：由（1）知，f（x）=exln x+ex﹣1，
从而f（x）＞1等价于xln x＞xe﹣x﹣．…
设函数g（x）=xln x，
则g′（x）=1+ln x，
所以当x∈（0，）时，g′（x）＜0；
当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．
故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．…
设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．
所以当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．
故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．…
因为gmin（x）=h（1）=hmax（x），
所以当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．…
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．选修4﹣1：几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．
（1）求证：CE•EB=EF•EP；
（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行线的性质可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA．于是得到EA•ED=EF•EP．利用相交弦定理可得EA•ED=CE•EB，进而证明结论；
（II）利用（I）的结论可得BP=，再利用切割线定理可得PA2=PB•PC，即可得出PA．
【解答】（I）证明：∵DE2=EF•EC，∠DEF公用，
∴△DEF∽△CED，
∴∠EDF=∠C．
又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，
∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA
∴△EDF∽△EPA．
∴，∴EA•ED=EF•EP．
又∵EA•ED=CE•EB，
∴CE•EB=EF•EP；
（II）∵DE2=EF•EC，DE=3，EF=2．
∴32=2EC，∴．
∵CE：BE=3：2，∴BE=3．
由（I）可知：CE•EB=EF•EP，∴，解得EP=，
∴BP=EP﹣EB=．
∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB•PC，
∴，解得．
[选修4-4；坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l的参数方程为，其中t为参数，求直线l被曲线C截得的弦长．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）先消去参数，求出曲线的普通方程，然后利用普通方程和极坐标方程之间的关系进行转化求解即可．
（2）直线方程的极坐标为，代入曲线C的极坐标方程求出ρ即可．
【解答】解（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），
∴曲线C的普通方程为，
将代入并化简得：，
即曲线C的极坐标方程为；
（2）将代入得弦长为．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x|+|x﹣1|，g（x）=﹣|x﹣4|+m．
（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+1﹣m＞0；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）问题转化为||x|+|x﹣1|﹣4|＜1，解出即可；（Ⅱ）问题转化为m＜|x|+|x﹣1|+|x﹣4|恒成立，求出m的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）由g[f（x）]+2﹣m＞0
得：||x|+|x﹣1|﹣4|＜1，
∴3＜|x|+|x﹣1|＜5，
故不等式的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3）；
（Ⅱ）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，
∴f（x）＞g（x）恒成立，
即m＜|x|+|x﹣1|+|x﹣4|恒成立，
令h（x）=|x|+|x﹣1|+|x﹣4|，
①x≥4时，h（x）=3x﹣5，h（x）∈[7，+∞），
②1＜x＜4时，h（x）=x+3，h（x）∈（4，7），
③0≤x≤1时，h（x）=5﹣x，h（x）∈[4，5]，
④x＜0时，h（x）=5﹣3x，h（x）∈（5，+∞），
故h（x）的最小值是4，
∴m的取值范围为m＜4．
2016年8月15日
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