重庆市永川区景圣中学2015-2016学年九年级数学12月月考试题
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内．
1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件为必然事件的是（ ）
A．小王参加本次数学考试，成绩是150分
B．某射击运动员射靶一次，正中靶心
C．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻
D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
3．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．一个不透明的袋子中有3个白球，4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则它是黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．边心距为2的等边三角形边长是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
7．如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（ ）
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A．60° B．50° C．40° D．30°
9．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么能正确反映函数y=ax+b图象的只可能是（ ）
A． B． C． D．
10．我市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
A．12% B．30% C．19% D．10%
11．对于抛物线y=﹣（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标（﹣5，3）
C．与y轴的交点坐标是（0，3） D．当x＞5时，y随x的增大而减小
12．如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6厘米，BC=12厘米，点P、Q同时从 顶点A出发，点P沿A→B→C→D方向以2厘米/秒的速度前进，点Q沿A→D方向以1厘米/秒的速度前进，当Q到达点D时，两个点随之停止运动．设运动时间为x秒，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y（cm2），则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上．
13．关于x的一元二次方程x2﹣2x+p=0的一个解为1，则p= ．
14．一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为 ．
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15．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为 ．
16．如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 ．
17．有四张正面分别标有数字﹣2，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的函数y=（a+1）x2+ax+1的图象与x轴没有交点，且使关于x的不等式组有解的概率为 ．
18．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8．半径为的⊙M与射线BA相切，切点为N，且AN=3．将Rt△ABC顺时针旋转120°后得到Rt△ADE，点B、C的对应点分别是点D、E．此时Rt△ADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系是 ．
三．解答题（本大题两小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．
19．解方程：x2+2x﹣3=0．
20．已知关于x的方程x2+ax﹣2=0的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
四．解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC．
（1）写出A、C的坐标；
（2）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°得△A1BC1；
（3）求出（2）旋转过程中点A所经过的路径长．（结果保留π）
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22．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=1，求⊙O的直径．
23．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图：
（1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有 家．请将折线统计图补充完整；
（2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率．
24．定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2﹣2x+2是黄金抛物线．
（1）将y=2x2﹣2x+2先向下平移3个单位，再向左平移2个单位，则平移后的新抛物线的解析式为 ；
（2）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式 ；
（3）若抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）．
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五．解答题（本大题两个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
25．一个广告公司制作广告的收费标准是：以面积为单位，在不超过规定面积a（m2）的范围内，每张广告收费100元，若超过am2，则除了要交这100元的基本广告费以外，超过部分还要按每平方米5a元缴费．如表是该公司对两家用户广告的面积及相应收费情况的记载：
单位
广告的面积（m2）
收费金额（元）
烟草公司
6
140
食品公司
3
100
红星公司要制作一张大型公益广告，其材料形状是矩形ABCD，如果它的四周是空白，并且四周各空0.5m，空白部分不收广告费，中间的矩形EFGH部分才是广告面积，若矩形ABCD的长宽之比为3：2，并且红星公司只能支出11040元的广告费
（1）求a的值；
（2）求矩形ABCD的长和宽各是多少？（参考数据：1152=13225，232=529）
26．已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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2015-2016学年重庆市永川区景圣中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内．
1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
2．下列事件为必然事件的是（ ）
A．小王参加本次数学考试，成绩是150分
B．某射击运动员射靶一次，正中靶心
C．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻
D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
【分析】根据事件的分类的定义及分类对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、小王参加本次数学考试，成绩是150分是随机事件，故A选项错误；
B、某射击运动员射靶一次，正中靶心是随机事件，故B选项错误；
C、打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻是随机事件，故C选项错误．
D、口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球是必然事件，故D选项正确；
故选：D．
3．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，
所以原方程没有实数根．
故选：D．
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（ ）
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A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】连接OC，由垂径定理求出CE的长，再根据勾股定理得出线段OE的长．
【解答】解：连接OC
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=CD，
∵CD=8，∴CE=4，
∵AB=10，
∴由勾股定理得，OE===3．
故选C．
5．一个不透明的袋子中有3个白球，4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则它是黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．
【解答】解：根据题意可得：袋子中有有3个白球，4个黄球和5个红球，共12个，
从袋子中随机摸出一个球，它是黄色球的概率=．
故选B．
6．边心距为2的等边三角形边长是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【分析】根据题意画出图形，先根据等边三角形的性质得出∠OBD=30°，根据锐角三角函数的定义得出BD的长，由垂径定理即可得出结论．
【解答】解：如图所示，
∵△ABC是等边三角形，边心距OD=2，
∴∠OBD=30°，
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∴BD==2，
∵OD⊥BC，
∴BC=2BD=4．
故选：B．
7．如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
【分析】∠AOC就是旋转角，根据等边三角形的性质，即可求解．
【解答】解：旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°．
故选A．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．
【解答】解：在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径），
∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；
∵∠OCB=40°，∠C0B=180°﹣∠OBC﹣∠0CB，
∴∠COB=100°；
又∵∠A=∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠A=50°，
故选B．
9．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么能正确反映函数y=ax+b图象的只可能是（ ）
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A． B． C． D．
【分析】由图象开口向上可知a大于0，又对称轴x=﹣＜0．可得b＞0，由此可得出此题答案．
【解答】解：图象开口向上可知a大于0，
又对称轴x=﹣＜0．可得b＞0，
所以，函数y=ax+b图象是递增趋势，且与y轴的交点坐标大于0，
故选B．
10．我市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
A．12% B．30% C．19% D．10%
【分析】根据每次的均价等于上一次的价格乘以（1﹣x）（x为平均每次下调的百分率），可列出一个一元二次方程，解此方程可得平均每次下调的百分率．
【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，
则有：5000（1﹣x）2=4050，
（1﹣x）2=，
（1﹣x）=±，
解得：x1=10%，x2=190%（舍去），
即：平均每次下调的百分率为10%．
故选：D．
11．对于抛物线y=﹣（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标（﹣5，3）
C．与y轴的交点坐标是（0，3） D．当x＞5时，y随x的增大而减小
【分析】根据抛物线的解析式，由a的值可得到开口方向，由顶点式可以得到顶点坐标，令x=0代入解析式可得y的值，从而得到与y轴的交点，根据开口方向和对称轴，可知在对称轴左侧与右侧的单调性．
【解答】解：∵抛物线y=﹣（x﹣5）2+3，
∴a=﹣＜0，抛物线的开口向下，故选项A错误；
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顶点坐标是（5，3），故选项B错误；
x=0时，y=﹣，故选项C错误；
a=﹣＜0，抛物线的开口向下，对称轴是x=5，当x＞5时，y随x的增大而减小，故选项D正确；
故选D．
12．如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6厘米，BC=12厘米，点P、Q同时从 顶点A出发，点P沿A→B→C→D方向以2厘米/秒的速度前进，点Q沿A→D方向以1厘米/秒的速度前进，当Q到达点D时，两个点随之停止运动．设运动时间为x秒，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y（cm2），则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】当点P在AB上时，易得S△APQ的关系式；当点P在BC上时，高不变，但底边在增大，所以P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积关系式为一个一次函数；当P在CD上时，表示出所围成的面积关系式，根据开口方向判断出相应的图象即可．
【解答】解：当点P在AB上时，即0≤x≤3时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积=x×=；
当点P在BC上时，即3≤x≤9时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积=×3×+（2x﹣6+x﹣3）=﹣，y随x的增大而增大；
当点P在CD上时，即9≤x≤12时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积=12×﹣（12﹣x）（﹣+12）=+12x﹣36；
综上，图象A符合题意．
故选A．
二．填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上．
13．关于x的一元二次方程x2﹣2x+p=0的一个解为1，则p= 1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的意义，将x=1代入关于x的一元二次方程x2﹣2x+p=0，然后解关于p的一元一次方程即可．
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【解答】解：∵于x的一元二次方程x2﹣2x+p=0的一个解为1，
∴x=1满足一元二次方程x2﹣2x+p=0，
∴1﹣2+p=0，即﹣1+p=0，
解得，p=1；
故答案为：1．
14．一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为 10cm ．
【分析】求出扇形的弧长，此弧长即为圆锥底面圆的周长，据此即可求出圆锥底面半径．
【解答】解：扇形弧长为=20πcm；
设圆锥的底面圆半径为r，则r==10cm．
故答案为：10cm．
15．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为 x1=﹣1或x2=3 ．
【分析】由二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系即可得到关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解．
【解答】解：依题意得二次函数y=﹣x2+2x+m的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（3﹣1）=﹣1，
∴交点坐标为（﹣1，0）
∴当x=﹣1或x=3时，函数值y=0，
即﹣x2+2x+m=0，
∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为x1=﹣1或x2=3．
故答案为：x1=﹣1或x2=3．
16．如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 （7，3） ．
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【分析】根据旋转的性质﹣﹣旋转不改变图形的形状和大小解答．
【解答】解：直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，4）两点，由图易知点B′的纵坐标为O′A=OA=3，横坐标为OA+O′B′=OA+OB=7．则点B′的坐标是（7，3）．
故答案为：（7，3）．
17．有四张正面分别标有数字﹣2，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的函数y=（a+1）x2+ax+1的图象与x轴没有交点，且使关于x的不等式组有解的概率为 ．
【分析】由y=（a+1）x2+ax+1的图象与x轴没有交点，依据根的判别式△=b2﹣4ac＜0、联立二次项系数＞0得出关于a的一元二次不等式组，解不等式组可得出a的取值范围；根据关于x的不等式组有解亦可得出a的取值范围；将两个条件合在一起结合题意，可知a只能为0或1，结合随机事件的概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵y=（a+1）x2+ax+1的图象与x轴没有交点，
∴，
解得：2﹣2＜a＜2+2．
解不等式组得：a≤1．
∴a的取值可以为0，1．
P==．
故答案为：．
18．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8．半径为的⊙M与射线BA相切，切点为N，且AN=3．将Rt△ABC顺时针旋转120°后得到Rt△ADE，点B、C的对应点分别是点D、E．此时Rt△ADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系是 相切 ．
【分析】过M作AD的垂线，设垂足为H，然后证MH与⊙M半径的大小关系即可；连接AM、MN，由于AE是⊙M的切线，故MN⊥AE，在Rt△AMN中，通过解直角三角形，易求得∠MAN=30°，由此可证得AM是∠DAE的角平分线，根据角平分线的性质即可得到MH=MN，由此可证得⊙M与AD相切．
【解答】解：AD与⊙M相切．理由如下
由旋转的性质得：∠DAE=∠BAC=60°，
过点M作MH⊥AD于H，连接MN，MA，则MN⊥AE，且MN=，
在Rt△AMN中，tan∠MAN==，∴∠MAN=30°，
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∵∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠MAD=30°，
∴∠MAN=∠MAD=30°，
∴MH=MN，
∴直线AD与⊙M相切．
故答案为：相切．
三．解答题（本大题两小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．
19．解方程：x2+2x﹣3=0．
【分析】观察方程x2+2x﹣3=0，可因式分解法求得方程的解．
【解答】解：x2+2x﹣3=0
∴（x+3）（x﹣1）=0
∴x1=1，x2=﹣3．
20．已知关于x的方程x2+ax﹣2=0的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
【分析】把x=1代入已知方程得到关于a的新方程，通过解新方程来求a的值；利用根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：把x=1代入x2+ax﹣2=0，得
12+a﹣2=0，
解得a=1．
根据根与系数的关系得到方程的另一根为： =﹣2．
综上所述，a的值为1，该方程的另一根是﹣2．
四．解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC．
（1）写出A、C的坐标；
（2）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°得△A1BC1；
（3）求出（2）旋转过程中点A所经过的路径长．（结果保留π）
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【分析】（1）根据第二象限点的坐标特征写出A、C的坐标；
（2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、C的对应点A1、C1即可得到△A1BC1；
（3）先利用勾股定理计算出BA，由于点A到点A1经过路径是以点B为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧，于是根据弧长公式可计算出点A到点A1经过的路径的长．
【解答】解：（1）A点坐标为（2，3），C点坐标为（﹣1，2）；
（2）如图，△A1BC1为所作；
（3）BA==，
所以点A所经过的路径长==π．
22．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=1，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理首先求得∠AOC的度数，然后根据等腰三角形的性质求得∠OAP=90°，从而求解；
（2）根据直角三角形的性质，直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠B=60°，
19
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）设该圆的半径为x．
在Rt△OAP中，∵∠P=30°，
∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，
∴1+x=2x，
解得：x=1
∴OA=PD=1，
所以⊙O的直径为2．
23．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图：
（1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有 16 家．请将折线统计图补充完整；
（2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率．
【分析】（1）根据3月份有4家，占25%，可求出某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有的家数，再求出1月份的家数，进而将折线统计图补充完整；
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（2）设该镇今年3月新注册的小型企业为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙为餐饮企业，根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙2家企业恰好被抽到的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）根据统计图可知，3月份有4家，占25%，
所以某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有：4÷25%=16（家），
1月份有：16﹣2﹣4﹣3﹣2=5（家）．
折线统计图补充如下：
（2）设该镇今年3月新注册的小型企业为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙为餐饮企业．画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，甲、乙2家企业恰好被抽到的有2种，
∴所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率为： =．
24．定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2﹣2x+2是黄金抛物线．
（1）将y=2x2﹣2x+2先向下平移3个单位，再向左平移2个单位，则平移后的新抛物线的解析式为 y=2x2+2x﹣1 ；
（2）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式 y=2x2+2x+2 ；
（3）若抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）．
【分析】（1）先利用配方法得到y=2（x﹣）2+，则抛物线的顶点坐标为（，），再利用点平移的规律得到点（，）平移后的对应点的坐标为（﹣，﹣），于是利用顶点式可写出平移后的新抛物线的解析式；
（2）根据黄金抛物线写出的二次函数各项的系数满足b2=ac即可；
（3）由于△=b2﹣4ac，而b2=ac时，则△=﹣4ac，利用△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数进行讨论：当c=0时，△=0，该黄金抛物线与x轴只有一个公共点；当c≠0时，由于a、c同号，则△＜0，则可判断该黄金抛物线与x轴没有公共点．
【解答】解：（1）y=2x2﹣2x+2=2（x﹣）2+，则抛物线的顶点坐标为（，），
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把点（，）先向下平移3个单位，再向左平移2个单位得到点（﹣，﹣），
所以平移后的新抛物线的解析式为y=2（x+）2﹣，即y=2x2+2x﹣1；
（2）抛物线y=2x2+2x+2是黄金抛物线；
（3）△=b2﹣4ac，
因为b2=ac时，
所以△=ac﹣4ac=﹣4ac，
当c=0时，△=0，该黄金抛物线与x轴只有一个公共点，即原点；
当c≠0时，而a、c同号，则△＜0，所以该黄金抛物线与x轴没有公共点．
故答案为y=2x2+2x﹣1；y=2x2+2x+2．
五．解答题（本大题两个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
25．一个广告公司制作广告的收费标准是：以面积为单位，在不超过规定面积a（m2）的范围内，每张广告收费100元，若超过am2，则除了要交这100元的基本广告费以外，超过部分还要按每平方米5a元缴费．如表是该公司对两家用户广告的面积及相应收费情况的记载：
单位
广告的面积（m2）
收费金额（元）
烟草公司
6
140
食品公司
3
100
红星公司要制作一张大型公益广告，其材料形状是矩形ABCD，如果它的四周是空白，并且四周各空0.5m，空白部分不收广告费，中间的矩形EFGH部分才是广告面积，若矩形ABCD的长宽之比为3：2，并且红星公司只能支出11040元的广告费
（1）求a的值；
（2）求矩形ABCD的长和宽各是多少？（参考数据：1152=13225，232=529）
【分析】（1）从表知：3≤a＜6，所以根据烟草公司的交费情况来列方程100+5a（6﹣a）=140
（2）求出a的值，又知道红星公司支出的11040，然后设广告面积为S，根据条件可列方程100+5×4（S﹣4）=11040．求出S，设广告的长是3x，宽是2x，根据长方形的面积公式求解．
【解答】解：（1）由表知：3≤a＜6，
由题意得：100+5a（6﹣a）=140，
整理得：a2﹣6a+8=0，
解得a1=4，a2=2（舍去），
答：a的值为4．
（2）设广告的收费部分为S平方米，
100+5×4（S﹣4）=11040，
解得：S=551，
设广告的长，宽分别为3x米，2x米，
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（3x﹣1）（2x﹣1）=551，
6x2﹣5x﹣550=0，
解得x=10或x=﹣（舍去），
3x=30，2x=20，
答：这张广告的长和宽分别是30米和20米．
26．已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据OC=3OB，B（1，0），求出C点坐标（0，﹣3），把点B，C的坐标代入y=ax2+2ax+c，求出a点坐标即可求出函数解析式；
（2）图，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．设M（m，﹣m﹣3）则D（m，m2+2m﹣3），然后求出DM的表达式，把S四边形ABCD分解为S△ABC+S△ACD，转化为二次函数求最值；
（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形．
【解答】解：（1）∵OC=3OB，B（1，0），
∴C（0，﹣3）．
把点B，C的坐标代入y=ax2+2ax+c，得a=1，c=﹣3，
∴抛物线的解析式y=x2+2x﹣3．
（2）由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，
如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．
设M（m，﹣m﹣3）则D（m，m2+2m﹣3），
DM=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m=﹣（m+）2+，
∴﹣1＜0，
∴当x=时，DM有最大值，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×4×3+×3×DM，此时四边形ABCD面积有最大值为6+×=．
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（3）存在．
讨论：①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，
此时四边形ACP1E1为平行四边形．
∵C（0，﹣3），令﹣3=x2+2x﹣3
∴x1=2，x2=﹣2．
∴P1（﹣2，﹣3）．
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，﹣3），
∴可令P（x，3），3=x2+2x﹣3，得x2+2x﹣6=0
解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，
此时存在点P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3），
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：
P1（﹣2，﹣3），P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3）．
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