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第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合或，，，则集合等于（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
【答案】C
考点：集合运算。
2.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
【答案】C
【解析】
试题分析：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，所以答案A错误；两个平面内的两条直线平行，这两个平面不一定平行，所以答案B错误；两个平面同时垂直于两条平行直线，这两个平面平行，所以答案C正确；两条平行直线中的一条平行于一个平面，另一条不一定平行于该平面，所以答案D错误。
考点：直线与直线平行、平面与平面平行的判定。
3.若数列的前n项和满足，则（ ）
（A）16 （B） （C）8 （D）
【答案】D
【解析】
试题分析：因为，所以当时,，以上两式相减得，
故数列为等比数列。可知，,所以.故选D。
考点：数列通项公式的求法。
4. “ ”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：，等价于，恒成立。换元法可求得，，故.显然当时，，即成立；反之，a不一定等于1.因此“ ”是“”的充分不必要条件。故选A。
另：也可用集合的观点理解充分性、必要性。
考点：充分性、必要性的判断恒成立问题求参数范围。
5.设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
考点：由函数性质解不等式。
6.已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得，且，则∠BAC 的值为（ ）
A B C D
【答案】A
【解析】
试题分析：设线段AC的中点为点D，则直线ODAC 。因为，所以.
又因为，所以点O、B、D三点共线，即点B在线段AC的中垂线上，则AB=BC=3.在△ABC中，由余弦定理得，.故选A。
考点：平面内三点共线的充要条件：点A、B、C三点共线的充要条件是存在实数使，其中。余弦定理求三角形内角的余弦值。
7.已知、分别是双曲线（，）的左、右焦点，且是抛物线（）的焦点，双曲线与抛物线的一个公共点是．若线段的中垂线恰好经过焦点，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
考点：双曲线与抛物线的综合问题、求双曲线的离心率。
8.知函数，当时，关于的方程的所有解的和为（ ）
A．55 B．100 C．110 D．120
【答案】B
【解析】
试题分析：设,则。又因为,所以当时，.同理，不妨设时,（k=0,1,2,…,9）。
则（k=0,1,2,…,9）,解得，（k=0,1,2,…,9）
故所有解之和为1+3+5+…+19=100.故选B。
考点：求函数解析式、求方程的解、数列求和。
二、填空题：本大题有7小题，9-12每题6分，13-15题每题4分，共36分。把答案填在答题卷的相应位置。
9.若经过点的直线与圆相切，则圆心坐标是 ；半径为 ；切线在轴上的截距是 .
【答案】
【解析】
试题分析：,所以圆心坐标为（-2，1），半径为；经过点P的切线方程为,所以在y轴上的截距为-3.
考点：由圆的一般方程求圆心坐标、半径、切线方程同时考查如何将圆的一般方程化成标准方程。
10.设函数则 ；
若，则的值为
【答案】
【解析】
试题分析：2.当时,,所以且,因此.
考点：分段函数求值。
11.在中，角所对的边长分别为，已知，
，则的面积为__________，_________.
【答案】
考点：正弦定理解三角形、求三角形面积、倍角公式。
12.某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，
则其体积是 cm3, 其侧视图的面积是 cm 2．
【答案】
【解析】
试题分析：由三视图知该几何体是一个三棱锥
（如图所示），
AB平面BCD，BCCD，AB=2，BC=3，CD=4.所以其体积为，其侧视图的面积为
考点：三视图的应用、求三棱锥的体积。
D
C
B
A
13.若实数满足不等式组
则的取值范围是
【答案】
【解析】
试题分析：不等式组表示的平面区域为三角形ABC及其内部，可得A（6，-1），B（0，1），C（-2，-1），
D（0，-1）。目标函数，可看作函数在y轴上的截距，显然函数图象过点D时，截距最小即z最小且最小值为2×0+（-1）=-1.当函数图象向上继续平移至过点A（由图象的对称性知，过点C时不时最大）时截距最大且最大值为2×6+（-1）=11，所以的取值范围是。
考点：线性规划求目标函数的最值。
14.已知为正数，且，则的最大值为
【答案】8
考点：均值不等式求最值。
15.已知函数，若存在使同时成立，则实
数的取值范围为
【答案】
【解析】
X'2
X'1
X2
X1
试题分析：函数与的交点横坐标为：
与直线交点横坐标为。（如图所示）
题目等价于若，则。
结合图像由如下分析：
令由求根公式得，
结合图像知，解得，
令由求根公式得，,
结合图像知，解得，
综上，,即.
考点：
三、解答题 （本大题共5小题，共74分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分14分）在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角；
求的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【解析】
试题分析：（I）由正弦定理将三角函数值化到对应的边上，从而得到关于三边a，b，c的一个关系式，然后用余弦定理即可求出。（II）利用第（I）的结论知，A+C =,将化到关于一个角的三角函数，并求出角的范围，进而转化为三角函数求值域。
试题解析：
（Ⅰ）由得， ………………………………2分
化简得：即，
所以． ………………………………5分
故 ． ………………………………7分
（Ⅱ） ………………………………8分
=， ………………………………9分
=， ……………………………………10分
=， …………………………12分
由可知 ，
所以， ……………………………………13分
故．
故．
所以． …14分
考点：余弦定理的应用、三角函数求值域。
17.（本小题满分15分）
如图（1）所示，直角梯形中，，，，．过 作于，是线段上的一个动点．将沿向上折起，使平面平面．连结，，（如图（2））．
（Ⅰ）取线段的中点，问：是否存在点，使得平面？若存在，求出 的长；不存在，说明理由；
（Ⅱ）当时，求平面和平面所成的锐二面角的余弦值．
A
B
E
C
D
A
D
C
B
E
P
Q
P
•
【答案】（Ⅰ）存在．当为的中点时，满足平面；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）是否存在性问题，常假设存在去分析，寻找到结果后可转化为证明题；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，分别求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角大小的关系求出答案。
试题解析：（Ⅰ）存在．当为的中点时，满足平面．………1分
取的中点，连结，．
由为的中点，得，且，……2分
A
D
C
B
E
P
M
Q
又，且，
所以，，
所以四边形为平行四边形，……………………4分
故．……………………………………………5分
又平面，平面，
所以平面． ………………………………6分
从而存在点，使得平面，此时．……………… 7分
（Ⅱ）由平面平面，交线为，且，
Q
x
y
z
A
D
C
B
E
P
所以平面，又，………………………………8分.Com]
以E为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间
直角坐标系（如图），则，，，，
．…………………………………………………………10分
，．…………………………………11分
平面的一个法向量为， ……………………12分
设平面的法向量为，
由得 ………………………………………13分
取，得， ……………………………………………14分
所以，
即面和平面所成的锐二面角的余弦值为．……………15分
考点：存在性问题、求二面角的大小。
18.（本小题满分15分）已知二次函数（，）．
若，且不等式对恒成立，求函数的解析式；
若，且函数在上有两个零点，求的取值范围．
【答案】；。
试题解析：(Ⅰ)因为，所以， …………………………………3分
因为当，
都有，所以有， ………………………6分
即，所以； ………………………………7分
(Ⅱ)解法1：因为在上有两个零点，且，
所以有 ………………………………………11分
（图正确，答案错误，扣2分）
通过线性规划可得. ……………………………………………15分
（若答案为，则扣1分）
解法2：设的两个零点分别，所以，……9分
不妨设，， … ………………………11分
因为，且，， …………13分
所以，所以. …………………………………15分
（若答案为，则扣1分）
考点：求解析式、线性规划求值域。
19.（本小题满分15分）
已知A、B是椭圆的左、右顶点，，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ（不垂直X轴）的中垂线交X轴与于T点
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△MNT的面积的最大值
【答案】（1）；（2）
试题解析：（1）设
直线PA，PF，PB的斜率成等差数列………3分
所以椭圆方程………4分
（2）设直线MN方程为
联立得………6分
所以………9分
由点差法可知RQ中垂线与x轴相交于点，
………12分
当时，………15分
考点：求椭圆方程、直线与椭圆的综合问题。
20.（本小题满分15分）
设是等差数列的前n项和，其中，且，
（Ⅰ）求常数的值，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，设数列的前n项和为，求最小的正整数，使得对任意的，都有成立.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小正整数k为4.
试题解析：（Ⅰ）由及得，所以------2分
所以------------------2分
（Ⅱ），用错位相减法求得 ------------------2分
要使，即， --------------------1分
记，则
即单调递减， --------------------1分
又易得故当时，恒有，-------------------1分
所以所求的最小正整数k为4. -----------------------1分
考点：求数列的通项公式、错位相减法求数列的前n项和。
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