黑龙江省牡丹江一中2017届高三开学摸底考试试卷 理数 Word版（含答案）.doc

‎2017届高三摸底考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（选择题） ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部互为相反数，那么等于（ ）‎ ‎ A．-6 B． C． D．2‎ ‎3.设等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）‎ A． 27 B．36 C．45 D．54‎ ‎4.下列命题错误的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”‎ B．若命题，则 C．中，是的充要条件 D．若向量满足，则与的夹角为钝角 ‎5.某几何体的三视图如上图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.若用下边的程序框图求数列的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ - 10 -‎ ‎7.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知实数满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A． B．2 C． D．1‎ ‎9. 若函数y＝（a＞0，且a≠1）的值域为{y｜0＜y≤1}，则函数y＝的图像大致 是 ‎10.已知双曲线与抛物线相交于两点，公共弦恰过它们的公共焦点，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知满足，，，则（ ）A． B． C． D．‎ ‎12.已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（ ）‎ A． B． C． ‎ - 10 -‎ ‎ D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.已知的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 ．‎ ‎14.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 ．‎ ‎15.已知两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有 ．‎ ‎16.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面 ‎，则与平面所成角的正切值的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17． 设是递增的等差数列，为其前项和，且满足，是 的等比中项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足 ，求数列的通项公式．‎ ‎18．雾霾影响人们的身体健康，越来越多的人开始关心如何少产生雾霾，春节前夕，某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度，随机采访了50人，将凋查情况进行整理后制成下表：‎ 年龄（岁）‎ ‎[15，25）‎ ‎[25，35）‎ ‎[35，45）‎ ‎[45，55）‎ ‎[55，65）‎ ‎[65，75]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎（1）以赞同人数的频率为概率，若再随机采访3人，求至少有1人持赞同态度的概率；‎ ‎（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎19．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．‎ - 10 -‎ ‎（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；‎ ‎（2）若EC=2，FD=3，求平面ADF与平面BEF所成角的正弦值．‎ ‎20．已知椭圆C：的右焦点为F，上顶点为A，短轴长为2，O为原点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，且△AOF的面积是△BOF的面积的3倍．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，直线：y=kx+m与椭圆C相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围．‎ ‎21．已知函数 ‎（1）若函数在区间（1，3）上单调，求的取值范围；‎ ‎（2）若函数在上无零点，求的最小值．‎ ‎　‎ 选修4-1：几何证明选讲 ‎22．选修4﹣1：几何证明选讲 如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=，∠APB=30°．‎ ‎（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．选修4﹣4：坐标系与参数方程 - 10 -‎ 在平面直角坐标系中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为．‎ ‎（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；‎ ‎（Ⅱ）若直线与动点的轨迹有且仅有一个公共点，求实数的值．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎24．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M．‎ ‎（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：3|a+b|≤|ab+9|．‎ - 10 -‎ 牡一中2017摸底考试高三数学理参考答案 选择 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B D D C B A A A A B C 填空 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎40‎ ‎ 48‎ ‎ ‎ ‎17、【解答】解：（1）；（2）‎ ‎　‎ ‎18、【解答】解：（1）随机采访的50人中，赞成人数有：4+6+12+7+3+3=35人，‎ ‎∵以赞同人数的频率为概率，∴赞同人数的概率p1==，‎ ‎∴至少有1人持赞同态度的概率p=1﹣（1﹣）3=0.973．‎ ‎（2）从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，‎ 记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X，‎ 依题意得X=0，1，2，3，‎ P（X=0）==， P（X=1）=+=，‎ P（X=2）==， P（X=3）=•=，‎ ‎∴X的分布列是：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎∴X的数学期望EX=+3×=．‎ ‎　【解答】证明：（1）∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD⊥BD，‎ ‎∵AF=BF，∴△ADF≌△BDF，∴AD=BD，‎ 连接DM，则DM⊥AB，‎ - 10 -‎ ‎∵AB∥CD，∠BCD=90°， ∴四边形BCDM是正方形，∴BD⊥CM，‎ ‎∵DF⊥CM，∴CM⊥平面BDF．‎ ‎∵CM⊂平面CFM． ∴平面CFM⊥平面BDF；‎ ‎（2）建立以C为坐标原点，CB，CD，CE分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：‎ ‎∵EC=2，FD=3，BC=CD=2，‎ ‎∴B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（0，2，3），‎ 则=（﹣2，2，0），=（2，0，﹣2），=（0，2，1），‎ 设平面BEF的一个法向量为=（x，y，z），‎ 则得，‎ 令x=1，则y=﹣，z=1，则=（1，﹣，1），‎ 由（1）知AD=BD，∠ABD=45°，则，∠ADB=90°，即AD⊥BD，‎ ‎∵DF⊥BD，∴BD⊥平面ADF，‎ 则=（﹣2，2，0）是平面ADF的一个法向量，‎ 则cos＜，＞==，则sin＜，＞=，‎ 即平面ADF与平面BEF所成角的正弦值是．‎ ‎　20【解答】解：（1）短轴长为2，可得b=1，‎ 即有A（0，1），设F（c，0），B（x0，y0），‎ ‎△AOF的面积是△BOF的面积的3倍，‎ 即为c•1=3•c•|y0|，‎ 可得y0=﹣，由直线AF：y=﹣+1经过B，‎ 可得x0=c，即B（c，﹣），代入椭圆方程可得，‎ ‎+=1，即为a2=2c2，即有a2=2b2=2，‎ 则椭圆方程为+y2=1；‎ - 10 -‎ ‎（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 由OPRQ为平行四边形，可得x1+x2=xR，y1+y2=yR，‎ R在椭圆C上，可得+（y1+y2）2=1，‎ 即为+（k（x1+x2）+2m）2=1，‎ 化为（1+2k2）（（x1+x2）2+8km（x1+x2）+8m2=2，①‎ 由可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，‎ 由△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，即为1+2k2＞m2，②‎ x1+x2=﹣，代入①可得﹣+8m2=2，‎ 化为1+2k2=4m2，代入②可得m≠0，‎ 又4m2=1+2k2≥1，解得m≥或m≤﹣．‎ 则m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．‎ ‎21　【解答】解：（1）f′（x）=3﹣a﹣=，‎ 当a≥3时，有f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（1，3）上单调递减；‎ 当a＜3时，令f′（x）=0，得x=，若函数y=f（x）在区间（1，3）单调，‎ 则≤1或≥3，解得：a≤1或≤a＜3，‎ 综上，a的范围是（﹣∞，1]∪[，+∞）；‎ ‎（2）x→0时，g（x）→+∞，‎ ‎∴g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx＜0在区间（0，）上恒成立不可能，‎ 故要使函数g（x）在（0，）无零点，只需对任意的x∈（0，），g（x）＞0恒成立，‎ 即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，‎ 令l（x）=2﹣，x∈（0，），‎ 则l′（x）=，‎ 令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），‎ - 10 -‎ 则m′（x）=＜0，‎ 故m（x）在（0，）上递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，‎ 从而，l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，‎ ‎∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，‎ 故要使a＞2﹣恒成立，只需a∈[2﹣4ln2，+∞），‎ 综上，若函数g（x）=f（x）﹣x在（0，）上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．‎ ‎22【解答】解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，‎ 所以：∠AOB=60°；‎ ‎∵OA=OB， ∴∠AB0=60°；‎ ‎∵∠ABC=∠AEC ∴∠AEC=60°．‎ ‎（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，‎ 在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．‎ ‎∵BD•DC=AD•DE， ∴DE=．‎ ‎∴AE=DE+AD=．‎ ‎　23【解答】解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），‎ 则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，‎ ‎（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．‎ ‎（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，‎ 由题意可得直线C与圆相切，‎ 故有=3，‎ 解得 a=3 或a=﹣3．‎ ‎24【解答】解：（1）不等式即|x+2|+|x﹣2|≤6，‎ 而|x+2|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和，‎ - 10 -‎ ‎﹣3和3对应点到﹣2、2对应点的距离之和正好等于6，‎ 故不等式的解集为M=[﹣3，3]．‎ ‎（2）要证3|a+b|≤|ab+9|，‎ 只要证9（a+b）2≤（ab+9）2，‎ 即证：9（a+b）2﹣（ab+9）2=9（a2+b2+2ab）﹣（a2•b2+18ab+81）=9a2+9b2﹣a2•b2﹣81=（a2﹣9）（9﹣b2）≤0，‎ 而由a，b∈M，可得﹣3≤a≤3，﹣3≤b≤3，‎ ‎∴（a2﹣9）≤0，（9﹣b2）≥0，∴（a2﹣9）（9﹣b2）≤0成立，‎ 故要证的不等式3|a+b|≤|ab+9|成立．‎ - 10 -‎