九江一中高三上学期第三次月考
理科数学试题
试卷分值：150分 答题时间：120分钟
命题人：高三数学组 审题人：高三数学组
第Ⅰ卷（选择题60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若复数为实数（为虚数单位），则实数的值是（ ）
A．3 B．或1 C．3或 D．
2．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设向量满足 ，，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．已知满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量且，若均为正数，则的最小值是（ ）
A．24 B．8 C． D．
6．在平面直角坐标系中，满足的点的集合对应的平面图形为圆的，它的面积为；类似的，在空间直角坐标系中，满足的点的集合对应的空间几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
9．如果实数满足不等式组，目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．有两个等差数列，其前项和分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，三棱锥的高，M、N分别在BC和PO上，且,.则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N﹣AMC的体积V与变化关系的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知.在区间上存在三个不同的实数，使得以为边长的三角形是直角三角形.则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答.
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知为等比数列，若，则 ．
14．设函数，若，则 _______．
15．如右图，在中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，则的值是 ．
16．下列命题：
①函数的单调减区间为；
②函数图象的一个对称中心为；
③函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到；
④若方程在区间上有两个不同的实数解，则．
其中正确命题的序号为 ．
三．解答题（共6小题，共70分）
17．（本小题满分12分）在中，内角A、B、C所对的边分别为，.
（1）求的最大值；
（2）若为锐角三角形，求面积的取值范围.
18．（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．
（1）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；
（2）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．
19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为4，它们所在平面互相垂直，
FD⊥平面ABCD，且．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）若，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．
20．（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的增区间；
（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45°，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；
（3）求证：．
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知直线（t为参数）与圆C：（为参数）相交于A，B两点．
（1）求直线及圆C的普通方程
（2）已知，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数的值域为[﹣2，2]．
（1）求实数的值；
（2）若存在，使得，求实数的取值范围．
九江一中高三上学期第三次月考理科数学试题答案
一、选择题 CABAB BAABD AD
二、填空题 13、100 14、 15、 16、（1）（2）（4）
三、解答题 17.（1） （2）.
18.解：（Ⅰ）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，
因为有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，
故P（A）==．
（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3．
由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标．
P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，
P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．
ξ的分布列如下表：
ξ
0
1
2
3
P
∴Eξ=．
19．（Ⅱ）连接HA 由（Ⅰ），得H 为BC 中点，
又∠CBA=60°，△ABC 为等边三角形，
∴AH⊥BC，
分别以HB，HA，HE 为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz．
则 B（1，0，0），F（﹣2，，），E（0，0，），A（0，，0）
=（﹣3，，），=（﹣1，，0），=（﹣1，0，），
设平面EBF 的法向量为=（x，y，z）．
由 得
令z=1，得=（，2，1）．
设平面ABF的法向量为=（x，y，z）．
由 得
令y=1，得=（，1，2）
cos＜，＞====，
∵二面角A﹣FB﹣E是钝二面角，
∴二面角A﹣FB﹣E的余弦值是﹣．
20.
设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=﹣
又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4
=﹣，
y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4=
设存在点E（0，m），则，
所以=
=
要使得 =t（t为常数），
只要 =t，从而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0
即由（1）得 t=m2﹣1，
代入（2）解得m=，从而t=，
故存在定点 ，使 恒为定值 ．
21．解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3
∴
，
由题意知在上有解，即在上有解，
又为上的减函数，故
∴。故.
（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
22．解：（1）直线l的普通方程为x﹣﹣1=0，
圆C的普通方程为（x﹣2）2+y2=9．
（2）将代入（x﹣2）2+y2=9得t2﹣﹣8=0，
∴t1+t2=，t1t2=﹣8．
∴|FA|+|FB|=|t1﹣t2|==．
【点评】本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义的应用，属于基础题．
23．解：（1）对于任意x∈R，
f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|∈[﹣|a﹣4|，|a﹣4|]，
可知|a﹣4|=2，解得：a=2或a=6；
（2）依题意有﹣2≤m﹣m2，
即m2﹣m﹣2≤0，
解得：m∈[﹣1，2]．
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